結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的截?cái)嗫傮w最小二乘法①

王學(xué)航， 楊秋偉， 白志超

(紹興文理學(xué)院土木工程學(xué)院, 浙江 紹興 312000)

0 引 言

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法開(kāi)展了大量的研究[1]。其中，利用結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的變化來(lái)進(jìn)行損傷識(shí)別的方法已成為眾多工程領(lǐng)域共同關(guān)注的熱點(diǎn)。靈敏度分析方法能夠直接利用不完備的模態(tài)數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別，受到了廣泛研究。

基于靈敏度分析進(jìn)行損傷識(shí)別的方法中，往往是采用最小二乘法對(duì)靈敏度方程進(jìn)行求解。最小二乘法是在殘差范數(shù)平方和極小的準(zhǔn)則約束下求解最佳的相關(guān)參數(shù)，其僅考慮了測(cè)量項(xiàng)引起的誤差,然而在構(gòu)造靈敏度矩陣時(shí)僅保留了一階項(xiàng)而忽略了高階項(xiàng)，與真正的靈敏度矩陣也存在一定偏差。對(duì)此，采用總體最小二乘法在一些其他領(lǐng)域中得到了較好結(jié)果[9]。另外，由于測(cè)試數(shù)據(jù)不完備與誤差的影響，構(gòu)建出的靈敏度矩陣往往容易出現(xiàn)病態(tài)矩陣而導(dǎo)致識(shí)別結(jié)果不穩(wěn)定甚至完全失真。目前已有學(xué)者提出嶺估計(jì)[10]和截?cái)嗥娈愔捣纸鈁11]等方法來(lái)克服病態(tài)方程組問(wèn)題。相比于嶺估計(jì)，截?cái)嗥娈愔导夹g(shù)是一種較簡(jiǎn)單、直接的方法[12]。Fierro等利用廣義奇異值分解技術(shù)研究了病態(tài)總體最小二乘法問(wèn)題，并提出了截?cái)嗫傮w最小二乘法[13]。

基于特征對(duì)靈敏度分析，結(jié)合截?cái)嗫傮w最小二乘法，提出了一種結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的截?cái)嗫傮w最小二乘法。以一個(gè)平面桁架結(jié)構(gòu)為例，對(duì)所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 基本原理

1.1 特征對(duì)靈敏度

首先，對(duì)特征對(duì)靈敏度方法[7]作簡(jiǎn)單回顧，不失一般性，考慮一個(gè)n自由度的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，那么其自由振動(dòng)的方程為：

Kφi=λiMφii=1,2,…,n

(1 )

其中，K和M分別為系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，φi和λi為第i個(gè)振型和特征值。結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷通常僅引起剛度的變化，結(jié)構(gòu)第i個(gè)特征對(duì)的一階靈敏度可以由以下兩個(gè)方程式計(jì)算得到：

(2)

(3)

其中，αj和Kj分別是第j個(gè)單元的損傷參數(shù)和剛度矩陣，λr和φr為第r個(gè)特征值和振型。結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后，第i個(gè)特征對(duì)的變化量可表示為：

Δλi=λdi-λi

(4)

Δφi=φdi-φi

(5)

其中，Δλi和Δφi分別為結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷前后特征值和振型的變化量，λdi和φdi分別為損傷后第i個(gè)特征值和振型。根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，Δλi和Δφi的一階近似值可由以下兩個(gè)方程式計(jì)算得到：

(6)

(7)

其中，N為單元體的總數(shù)。若只有m個(gè)模態(tài)的l個(gè)自由度被測(cè)量時(shí)，一階靈敏度方程可表示為：

{Δλ}=H1{α}

(8)

{Δφ}=H2{α}

(9)

(10)

由線性方程組(10)，可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)的單元損傷參數(shù){α}。

1.2 結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的截?cái)嗫傮w最小二乘法

對(duì)于方程組(10)的求解，通常利用廣義逆技術(shù)，然后采用最小二乘法計(jì)算得出結(jié)構(gòu)的單元損傷參數(shù){α}。但是最小二乘法僅僅考慮了方程組(10)左邊測(cè)量項(xiàng)的誤差，實(shí)際注意到方程組(10)中右邊的靈敏度矩陣H1和H2僅保留了一階項(xiàng)而忽略了高階項(xiàng)，與實(shí)際的靈敏度矩陣也存在一定偏差，對(duì)于這種情況，在一些其他領(lǐng)域中采用總體最小二乘法得到了較好的結(jié)果。將總體最小二乘法應(yīng)用于損傷識(shí)別中，以期取得更加合理的識(shí)別結(jié)果。

總體最小二乘法的求解是通過(guò)奇異值分解技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。其主要步驟為：首先方程組(10)可改寫(xiě)為：

(11)

Bm(l+1)×(N+1)=

(12)

TLS解可由增廣矩陣右奇異向量V的最后一列求得，即結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)由下式解得：

(13)

由于測(cè)量誤差和測(cè)量的不完整問(wèn)題，線性方程組(10)往往是病態(tài)的，直接采用總體最小二乘法或者最小二乘法得到的結(jié)果往往是不合理和不穩(wěn)定地，許多學(xué)者就此也提出了方法。采用截?cái)嗥娈愔导夹g(shù)(TSVD)對(duì)病態(tài)方程組進(jìn)行求解，其基本思想是去掉矩陣中的較小奇異值來(lái)削弱矩陣的病態(tài)。Fierro等[17]對(duì)總體最小二乘法做了相關(guān)研究，并給出了具體的截?cái)嗫傮w最小二乘法解的公式：

(14)

其中，V12和V22由對(duì)方程式(12)中的矩陣V分塊得到(t表示截?cái)鄥?shù))：

(15)

利用方程(14)可以獲得魯棒性更好的解，這就是本文提出的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的截?cái)嗫傮w最小二乘法，在下一章中將通過(guò)數(shù)值算例來(lái)比較這種方法相比于直接使用總體最小二乘法直接求解特征對(duì)靈敏度的優(yōu)越性，討論在模態(tài)參數(shù)不完備情況下，測(cè)試誤差水平的大小對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果的影響。

2 算 例

以圖1所示的平面桁架結(jié)構(gòu)[6]為例來(lái)驗(yàn)證上述方法的可行性。該結(jié)構(gòu)的主要參數(shù)如下：橫截面面積A=0.004m2，桿件長(zhǎng)度L=1.52m，彈性模量E=70GPa，密度ρ=2770kg/m2。該結(jié)構(gòu)有限元模型由31個(gè)桿件單元、14個(gè)節(jié)點(diǎn)、25個(gè)自由度組成。由于在工程實(shí)踐中，測(cè)試得到的模態(tài)參數(shù)往往是不完整的且在整個(gè)結(jié)構(gòu)中的所有自由度方向上都布置傳感器也不經(jīng)濟(jì)，因此本例中只考慮前6階模態(tài)，且假設(shè)只在節(jié)點(diǎn)3、6、7、10、11所對(duì)應(yīng)的10個(gè)自由度上布置了測(cè)試傳感器。

假設(shè)單元10剛度損傷15%。為了驗(yàn)證改進(jìn)后方法的可行性，首先單獨(dú)使用特征對(duì)靈敏度的方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別，分別考慮無(wú)誤差和5%誤差兩種測(cè)試水平，識(shí)別結(jié)果如圖2、3所示。其中由圖2可以看出，當(dāng)測(cè)試無(wú)誤差時(shí)，可以較為準(zhǔn)確地判斷出單元10發(fā)生了損傷；但由圖3可以看出，當(dāng)測(cè)試考慮5%誤差時(shí)，識(shí)別結(jié)果已經(jīng)嚴(yán)重失真。因此，在測(cè)試模態(tài)參數(shù)不完備以及測(cè)試誤差影響的情況下，僅使用特征對(duì)靈敏度的方法已經(jīng)很難對(duì)結(jié)構(gòu)損傷狀況作出準(zhǔn)確判斷。

圖1 平面桁架結(jié)構(gòu)(31單元)

圖2 單元10損傷15%時(shí)的識(shí)別結(jié)果(測(cè)試無(wú)誤差)

圖3 單元10損傷15%時(shí)的識(shí)別結(jié)果(5%噪聲水平)

下面驗(yàn)證所提的改進(jìn)方法即聯(lián)合特征對(duì)靈敏度與截?cái)嗫傮w最小二乘法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別的能力。假設(shè)兩種損傷情況：第一種情況是單元10的剛度損失15%，第二種情況是單元10和單元25的剛度分別損失15%。損傷識(shí)別結(jié)果如下圖4、5所示。其中，每種情況分別討論三種測(cè)試噪聲水平，即無(wú)噪聲、5%噪聲、10%噪聲。注意，截?cái)嗫傮w最小二乘法的公式(15)中截?cái)嗨街祎取12。

對(duì)于第一種損傷情況(單一損傷)，由圖4可知，在無(wú)噪聲影響下，通過(guò)截?cái)嗫傮w最小二乘法可以獲得滿意的識(shí)別結(jié)果；當(dāng)噪聲水平為5%時(shí)，識(shí)別結(jié)果仍然良好，可以較為準(zhǔn)確地識(shí)別出損傷的位置以及程度；當(dāng)噪聲水平為10%時(shí)，識(shí)別結(jié)果雖然會(huì)出現(xiàn)誤判，但可以明顯判斷出單元10發(fā)生了損傷。

圖4 單元10損傷15%時(shí)的識(shí)別結(jié)果

圖5 單元10和25同時(shí)損傷15%時(shí)的識(shí)別結(jié)果

對(duì)于第二種損傷情況(多處損傷)，由圖5可知，同樣在無(wú)噪聲影響下，通過(guò)該方法可以獲得滿意的識(shí)別結(jié)果；當(dāng)噪聲水平為5%時(shí)，識(shí)別結(jié)果仍然良好，且精度較好；當(dāng)噪聲水平為10%時(shí)，識(shí)別結(jié)果同第一種情況一樣，雖然出現(xiàn)了一些誤判，但是可以看到，對(duì)于真正發(fā)生損傷的單元10和25，其損傷識(shí)別程度值明顯大于其他值，可以判斷出單元10和25發(fā)生了損傷。以上結(jié)果表明：將截?cái)嗫傮w最小二乘法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中，可以獲得魯棒性較好的解。

3 結(jié) 論

將特征對(duì)靈敏度方法與截?cái)嗫傮w最小二乘法結(jié)合起來(lái)，提出一種結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的總體最小二乘法。以一平面桁架結(jié)構(gòu)為例，在測(cè)試數(shù)據(jù)不完備的情況下，詳細(xì)討論了誤差水平對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響。結(jié)果表明：所提方法在模態(tài)參數(shù)不完備的情況下，當(dāng)數(shù)據(jù)無(wú)噪聲時(shí)，可以獲得比較精確的識(shí)別結(jié)果；當(dāng)數(shù)據(jù)噪聲水平較小時(shí)，可以獲得較為準(zhǔn)確的識(shí)別結(jié)果；當(dāng)數(shù)據(jù)噪聲水平較大時(shí)，仍然可以判斷出損傷的部位。所提方法對(duì)于測(cè)試噪聲具有較強(qiáng)的魯棒性，可供實(shí)際工程應(yīng)用參考。