串并混聯(lián)仿生機械腿靜力學性能分析

王曉磊 金振林 李曉丹

(1.燕山大學機械工程學院， 秦皇島 066004； 2.遼寧工業(yè)大學機械工程與自動化學院， 錦州 121001)

0 引言

近年來，仿生機械腿一直是機器人研究領(lǐng)域的熱點。文獻[1]采用3-RPS為機構(gòu)原型設(shè)計了并聯(lián)仿生機械腿，并對其進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化及分析；文獻[2]以3-RRR并聯(lián)機構(gòu)與擺動關(guān)節(jié)作為腿部機構(gòu)研究了一種串并混聯(lián)四足機器人；文獻[3]采用(U+UPR)P+UPS并聯(lián)機構(gòu)為機構(gòu)原型設(shè)計了3自由度(DOF)的仿生機械腿；文獻[4-5]采用2RUS+RU機構(gòu)與FD機構(gòu)的組合設(shè)計了一種新型仿生機械腿；文獻[6-7]研究了一種6自由度農(nóng)業(yè)機器人的機械仿生腿；文獻[8]以3-RPC并聯(lián)機構(gòu)作為步行器的機械腿進行了動力學研究；文獻[9]采用偏置輸出的3-RRR+(S-P)并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計了仿生機器人的踝關(guān)節(jié)。上述并聯(lián)仿生機械腿都是由純并聯(lián)機構(gòu)組成，具有承載能力大、移動速度慢的特點，為實現(xiàn)快速行走，需要移動副快速移動很長的距離，這就要求伺服系統(tǒng)具有很高的動態(tài)響應特性，一般這種機器人不適合于快速行走。

對于仿生機器人來說，其腿部性能對腿式機器人的整體性能起著決定性的作用[10-11]。大多數(shù)并聯(lián)機構(gòu)所受的靜力是耦合、非線性的，在不同的位置受力不同，靜力學性能指標是評估機器人承載能力的一項重要指標[12]。因此，許多學者對并聯(lián)機構(gòu)的靜力學性能進行了較為深入的研究[13-21]。

本文首先闡述串并混聯(lián)仿生機械腿的結(jié)構(gòu)形式，對機械腿的并聯(lián)機構(gòu)進行運動學分析，推導并聯(lián)機構(gòu)的靜力學傳遞平衡方程，建立靜力學性能評價指標，分析各評價指標在工作空間的分布，為機器人承載時軌跡規(guī)劃奠定基礎(chǔ)。

1 串并聯(lián)仿生機械腿部機構(gòu)模型

串并混聯(lián)四足機器人腿部機構(gòu)模型如圖1所示，由RPR機構(gòu)和兩自由度并聯(lián)機構(gòu)組成。兩自由度并聯(lián)機構(gòu)由伺服液壓缸驅(qū)動帶動五桿機構(gòu)驅(qū)動下方的雙菱形機構(gòu)實現(xiàn)足端的抬起和前后擺動。RPR機構(gòu)也由伺服液壓缸驅(qū)動，帶動兩自由度并聯(lián)機構(gòu)足端實現(xiàn)側(cè)擺運動。

圖1 腿部機構(gòu)模型Fig.1 Leg mechanism model1.RPR機構(gòu) 2.兩自由度并聯(lián)機構(gòu) 3.緩沖彈簧 4.足端

圖2 平面并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Structural diagram of planar parallel mechanism

2 兩自由度并聯(lián)機構(gòu)運動學

2.1 位置模型

為了便于分析，建立圖2所示的固定坐標系XOZ和動坐標系UIW。O為固定坐標系原點，X軸沿OC方向，Z軸垂直X軸向上。I為動坐標系原點，W軸沿IO方向，U軸垂直W軸。設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)‖OA‖=l1，‖AB‖=l2，‖BC‖=l3，‖CD‖=l4，‖OD‖=l5，‖OC‖=l6，各方向單位矢量分別為wi(i=1,2,3,4,5,6)，雙菱形OFGE和GHIJ邊長均為l。AOF為一桿件，其中OF桿與X軸的夾角為β，OA與OF夾角為φ。OE與X軸夾角為α，為了盡量避免結(jié)構(gòu)干涉，OE桿件不是直線，而是使OD與OE線有一夾角為γ，OF與OG夾角為θ。兩自由度并聯(lián)機構(gòu)的2個液壓缸伸縮協(xié)調(diào)運動，使該機構(gòu)的末端可以實現(xiàn)足端具有沿固定坐標系中心O的前后擺動與沿Z方向的移動，設(shè)沿中心O的轉(zhuǎn)角為φ。

結(jié)合圖2，根據(jù)結(jié)構(gòu)約束條件可得到

(1)

(2)

由圖2可知，OABC為一個矢量環(huán)，ODC為另一個矢量環(huán)，閉環(huán)矢量方程為

l1w1+l2w2=l6w6+l3w3

(3)

l4w4+l5w5=l6w6

(4)

參考點I的位置為

(5)

若已知動平臺參考點位置即IX、IZ，通過式(5)可求出θ、φ，根據(jù)式(3)、(4)求出α與β，根據(jù)式(2)可求∠AOC與∠DOC，即得到驅(qū)動桿長度l2、l4，為該并聯(lián)機構(gòu)的位置反解。

2.2 速度雅可比矩陣求解

對式(3)和式(4)求導，可得

l1ω1×w1+l2ω2×w2+v2w2=0

(6)

l4ω4×w4+v4w4+l5ω5×w5=0

(7)

對式(6)和式(7)分別點乘w2、w4得

(8)

(9)

(10)

(11)

其中

整理式(10)和式(11)得

(12)

(13)

將式(12)和式(13)寫成矩陣形式

(14)

其中

同時對式(5)求導，得

(15)

寫成矩陣形式為

(16)

其中

對式(1)進行求導，得

(17)

整理得

(18)

其中

將式(16)、(18)、(14)整理得

(19)

其中

GV=JθφJZJαβ

式中GV——機構(gòu)的速度雅可比矩陣

3 靜力學性能

設(shè)計機器人時都需考慮它的承載能力，因此需要該并聯(lián)機構(gòu)在平面空間內(nèi)都具有一個較好的靜力學性能、承載能力和靜力學傳遞[22]。分析靜力學在工作空間的分布，有助于機器人運動空間的軌跡規(guī)劃[23]，避免元件過度疲勞遭到破壞。

3.1 靜力學傳遞方程

當兩自由度平面機構(gòu)只受沿XZ兩個方面的作用時，該機構(gòu)中所有構(gòu)件都處于靜力平衡狀態(tài)。由于仿生機器人腿部機構(gòu)末端為球弧形，所以兩自由度動平臺輸出的廣義力矢量為F=(FX,FZ)T，機構(gòu)輸入的廣義力矢量為Q=(Q1,Q2)T。設(shè)動平臺參考點的虛位移為δP，δP=(δIX,δIZ)T，輸入驅(qū)動桿件的虛位移為δL=(δl2,δl4)T，根據(jù)虛功原理，除約束力外，所有輸入驅(qū)動力所做的虛功之和等于所有輸出力所做虛功之和，即

FTδP=QTδL

(20)

由于該平面并聯(lián)機構(gòu)的虛位移并非獨立存在，由機構(gòu)輸入輸出位移微分關(guān)系得

δP=GVδL

(21)

由式(20)、(21)可得

F=NQ

(22)

其中

式中N——驅(qū)動力雅可比矩陣

3.2 靜力學性能評價指標

從式(22)可以看出，機構(gòu)在不同位形時，機構(gòu)輸入力與機構(gòu)輸出力關(guān)系與驅(qū)動力雅可比矩陣有關(guān)。根據(jù)矩陣范數(shù)理論對式(22)取2范數(shù)，可得

‖F(xiàn)‖2=QTNTNQ

(23)

設(shè)輸入為單位矢量，QTQ=1，引用拉格朗日算子

MP=QT(NTN)Q-κλ(QTQ-I)

(24)

式中κλ——拉格朗日乘子

根據(jù)式(24)得到輸出力的極值條件為

(25)

由式(25)可得輸出力的極值為

(26)

對于工作空間內(nèi)任一位形，根據(jù)式(26)即可得到該位形時的輸出力最大值和最小值。在設(shè)計過程中，希望機構(gòu)輸入很小的力得到很大的輸出力，因此定義輸出力最大值為該機構(gòu)的承載能力性能指標，即

KF=‖F(xiàn)‖max

(27)

在工作空間內(nèi)，兩個輸入力的差值隨位形的變化而變化。當兩個輸入力的差值變化較大時，機構(gòu)的使用性能變差。為了合理地判別該機構(gòu)輸入力的情況，定義輸入力均衡性能評價指標為

KJ=(‖F(xiàn)‖max-‖F(xiàn)‖min)/‖F(xiàn)‖max

(28)

其中，KJ是無量綱，表示輸入力最大值和最小值的關(guān)系，當KJ越大，表示‖F(xiàn)‖max與‖F(xiàn)‖min相差越大，機構(gòu)的使用性能越差，機構(gòu)的使用壽命會大大降低，所以KJ越小越好。

3.3 性能評價指標在工作空間的分布

設(shè)定結(jié)構(gòu)參數(shù)為l1=l5=45 mm，l6=305 mm，l3=240 mm，‖OF‖=260 mm，γ=15°，∠OCB=75°。根據(jù)式(19)～(28)，可以得到在整個運動空間內(nèi)靜力學承載能力性能指標和力均衡性能圖譜，如圖3、4所示。

圖3 承載能力指標分布Fig.3 Distribution of bearing capacity index

圖4 力均衡指標分布Fig.4 Distribution of force equilibrium index

從圖3可以看出，承載能力分布總體呈軸對稱分布，在工作空間的底部承載能力最大，向上逐漸減小，到達頂部最小。

從圖4可以看出，力均衡性能指標在工作空間內(nèi)中間部位性能最優(yōu)，性能更穩(wěn)定，機構(gòu)的使用壽命較長；越趨近于邊界，性能指標越差，機構(gòu)的使用壽命越短。

從上述分析可知，該機構(gòu)各靜力學性能指標在工作空間中部較好，所以在承載時，運動軌跡處于中部左右最優(yōu)，可延長其使用壽命，避免過早疲勞破壞。

4 仿真與實例驗證

利用ANSYS軟件驗證承載能力指標理論的正確性。通過式(25)、(26)得出給定位姿點的承載能力指標與對應的輸入單位向量，將得到的輸入單位向量施加到ANSYS環(huán)境中的2個液壓缸的活塞桿上，在忽略重力情況下，在ANSYS環(huán)境中測出末端的反力。由于工作空間內(nèi)的點較多，選取具有代表性的位姿離散點進行驗證，選取點的原則為從上到下、中間向右邊緣方向取點，點的位置及驗證結(jié)果如表1所示。

由表1可以看出，二者的承載能力性能指標差值較小，驗證了承載能力指標理論的正確性。

同時采用ANSYS有限元仿真軟件進行靜力學分析，驗證力均衡指標分布規(guī)律的正確性。同樣采取上述給定的位姿點，在足端施加垂直向上500 N的力，通過ANSYS有限元仿真軟件得到了給定姿態(tài)點的應力與變形量云圖，如圖5所示。

從圖5可以看出，在中部(位姿點2、5)的變形量和應力相對較小，在頂部(位姿點1、4、7)和底部(位姿點3、6、8)變形量和應力較大，說明對機構(gòu)不利，容易疲勞損壞，同時也間接地驗證了機構(gòu)力均衡性能評價指標的正確性。

表1 8組位姿點承載能力指標驗證Tab.1 Verification of eight sets of pose and bearing capacity index

圖5 兩自由度平面并聯(lián)機構(gòu)應力及變形量云圖Fig.5 Stress and deformation cloud charts of 2-DOF planar parallel mechanism

目前，該腿部結(jié)構(gòu)已應用于上海交通大學開發(fā)的四足機器人，已實現(xiàn)快速地上行走，如圖6所示。

圖6 四足機器人實物樣機Fig.6 Prototype of quadruped robot

5 結(jié)論

(1)研究了一種兩自由度平面并聯(lián)機構(gòu)，建立了運動學模型與靜力學傳遞方程，定義了靜力學性能評價指標。

(2)揭示了兩自由度平面并聯(lián)機構(gòu)靜力學承載能力性能指標在工作空間的分布規(guī)律。結(jié)果表明，位于工作空間中下方性能指標較好，承載能力較大，并呈軸對稱分布。

(3)揭示了兩自由度平面并聯(lián)機構(gòu)靜力學力均衡性能評價指標在工作空間的分布規(guī)律。結(jié)果表明，腿部在承受外部載荷時，在工作空間中間部位力均衡性能指標較好，越趨近于邊界，性能指標越差，對機構(gòu)越不利。

(4)通過實例與ANSYS軟件仿真，驗證了靜力學性能指標分布規(guī)律的正確性。