一類稀疏投資組合雙層參數(shù)估計(jì)模型及其應(yīng)用

徐鳳敏,景 奎,梁 循

(1.西安交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院, 陜西 西安 710061; 2.中國人民大學(xué)信息學(xué)院, 北京 100872)

1 引言

投資組合的參數(shù)估計(jì)是現(xiàn)代金融研究領(lǐng)域中的一個(gè)熱點(diǎn)問題[1-3]。Markowitz于1952年提出的均值-方差模型[4]是現(xiàn)代投資組合理論的基石。該模型旨在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下最大化預(yù)期收益或給定收益水平下最小化投資風(fēng)險(xiǎn)，已經(jīng)在投資組合資產(chǎn)選擇和配置當(dāng)中得到了廣泛的應(yīng)用。

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)度量方式以及真實(shí)市場條件的不同，經(jīng)典的均值-方差模型發(fā)展出了很多拓展形式。其中一個(gè)重要的方面是將基數(shù)約束納入考慮，因?yàn)閷?shí)際投資組合中資產(chǎn)數(shù)量是存在限制的[5-6]。這一改進(jìn)能夠減輕投資者的管理負(fù)擔(dān)，降低交易費(fèi)用。Chang等[7]最早建立了帶基數(shù)約束的均值-方差模型。由于帶基數(shù)約束的投資組合優(yōu)化問題是混合整數(shù)二次規(guī)劃問題，容易證明此問題是NP難的[8]。針對基約束下的投資組合問題的研究主要集中在兩個(gè)方面，一是采用放松約束條件或者目標(biāo)函數(shù)來逼近原問題從而得到解析解，二是采用啟發(fā)式算法求解基數(shù)約束問題。

對帶基約束的投資組合模型涉及的參數(shù)進(jìn)行有效的估計(jì)能夠使該模型更好地為投資者決策發(fā)揮積極的指導(dǎo)作用。Best和Grauer[9]發(fā)現(xiàn)由樣本得到的最優(yōu)投資組合對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的變化非常敏感。Broadie[10]指出參數(shù)的估計(jì)誤差對最優(yōu)投資組合有明顯的影響且會促使各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例產(chǎn)生極端結(jié)果。由此可見，最優(yōu)投資組合的有效性與參數(shù)的選擇有著緊密的聯(lián)系。

為了給出市場參數(shù)更有效的估計(jì)，盡量減輕估計(jì)誤差的影響，學(xué)者們進(jìn)行了不懈地探索，逐步發(fā)展出以下兩種策略：用統(tǒng)計(jì)方法取代樣本方法重新估計(jì)市場參數(shù)；優(yōu)化構(gòu)造出的參數(shù)集(例如擾動集或優(yōu)化問題的最優(yōu)解集合)。對市場參數(shù)的統(tǒng)計(jì)重估方法可以被分為三類。第一類是結(jié)構(gòu)因子模型，即CAPM[11]、FF3[12]、BARRA[13]和ATP[14]方法。第二類是貝葉斯收縮估計(jì)，這類方法可進(jìn)一步分為考慮投資者的先驗(yàn)信息與否兩種。對于前者，BL模型[15-16]是最受歡迎的方法之一，如Lejeune[17]給出了考慮VaR和交易約束的FOF基金選擇問題的VaR BL模型，然后設(shè)計(jì)了一種特殊的分支定界算法來構(gòu)造最優(yōu)FOF基金。對于后者，Ledoit和 Wolf[18-19]提出了一種變形的股票協(xié)方差矩陣收縮估計(jì)方法，這種方法可以估計(jì)樣本協(xié)方差矩陣和單指數(shù)協(xié)方差矩陣之間的最優(yōu)加權(quán)平均。最后一類是分層抽樣[20-21]和時(shí)間序列聚類[22-23]。如Wang Meihua等[24]提出了一種新的投資組合策略：這種策略結(jié)合了已有抽樣策略和用于求解指數(shù)追蹤問題中混合整數(shù)規(guī)劃模型的優(yōu)化抽樣策略。Focardi 和Fabozzi[22]引入了距離函數(shù)的概念，并提出了利用時(shí)間序列聚類來識別具有相似行為的資產(chǎn)。Dose和Cincotti[23]將時(shí)間序列聚類方法應(yīng)用于指數(shù)跟蹤中，發(fā)現(xiàn)聚類方法提高了噪聲抑制能力，且與隨機(jī)選擇技術(shù)相比，在魯棒預(yù)測應(yīng)用中有更好的效果。

參數(shù)集合的優(yōu)化方法分為兩類。一類是在設(shè)計(jì)的擾動集上進(jìn)行優(yōu)化，在數(shù)學(xué)上稱為魯棒優(yōu)化[25-26]。它已被廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代投資組合中，以系統(tǒng)地對抗最優(yōu)投資組合對相關(guān)市場參數(shù)估計(jì)中統(tǒng)計(jì)和建模誤差的敏感性[27]。如對一個(gè)魯棒最優(yōu)資產(chǎn)分配問題，Lobo 和 Boyd[28]在考慮資產(chǎn)收益率均值和協(xié)方差的不確定性的情況下，對組合的最壞情況風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行建模，并提出一種比蒙特卡羅方法更精確、更快的內(nèi)點(diǎn)方法。Tutuncu和 Koenig[29]針對資產(chǎn)收益率結(jié)構(gòu)不可靠情況下的基金穩(wěn)健優(yōu)化配置問題，提出了保守策略，并構(gòu)造了最優(yōu)最壞情況資產(chǎn)組合。Garlappi等[30]通過最大似然估計(jì)將MV 投資組合模型擴(kuò)展到多階段，以明確地考慮預(yù)期收益估計(jì)的不確定性。另一個(gè)是對參數(shù)優(yōu)化問題的最優(yōu)解集進(jìn)行優(yōu)化，稱為雙層規(guī)劃(BLP)。相應(yīng)的求解方法有三種。一種是通過最優(yōu)條件將內(nèi)層規(guī)劃轉(zhuǎn)換為均衡約束[31]，另一種是利用內(nèi)層規(guī)劃的值函數(shù)設(shè)計(jì)迭代算法[32]，最后一種是通過構(gòu)建內(nèi)外層規(guī)劃的可行方向集進(jìn)行直接搜索[33]。如Chen Xiaojun[34]針對雙層組合管理模型，提出了一種平滑直接搜索算法，其中內(nèi)層為經(jīng)典MV模型，外層為夏普比率最大化。他們精確地求解了投資組合權(quán)重和風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子的最優(yōu)上界和下界，或者得到了它們的緊致范圍。

傳統(tǒng)的投資組合模型中參數(shù)主要包括各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率以及這些預(yù)期收益率之間的協(xié)方差矩陣等，通常根據(jù)歷史數(shù)據(jù)對這些參數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)。Merton[35]于1980年指出預(yù)測各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率的均值比預(yù)測這些收益率的協(xié)方差更加困難，同時(shí)他還指出均值的估計(jì)誤差比協(xié)方差矩陣的估計(jì)誤差對投資組合的影響要大得多。1993年Chopra和Ziemba[36]的研究表明預(yù)期收益率均值的估計(jì)誤差對最優(yōu)投資組合的影響要比協(xié)方差矩陣估算誤差的影響要大數(shù)倍。因此，對稀疏投資組合模型的預(yù)期收益率進(jìn)行科學(xué)的估計(jì)是參數(shù)估計(jì)的重點(diǎn)。

與傳統(tǒng)的投資組合選擇模型不同，帶基約束的投資組合問題還有一個(gè)特有的參數(shù)，即投資組合的規(guī)模，通常用稀疏度表示。雖然帶基約束的投資組合問題在求解方面取得了很多進(jìn)展，但是對稀疏度的最優(yōu)選擇問題，研究還十分匱乏。許啟發(fā)等[37]使用LASSO分位數(shù)回歸方法(1范數(shù))對帶有范數(shù)約束的CVaR高維投資組合進(jìn)行求解，并建立了SIC準(zhǔn)則與GS準(zhǔn)則對最優(yōu)的約束參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。因?yàn)閆hao Zhihua等[38]發(fā)現(xiàn)當(dāng)使用p(p∈[0,1])范數(shù)對投資組合的稀疏性進(jìn)行刻畫時(shí)，隨著p的減小，投資組合模型的稀疏性增強(qiáng)，即0范數(shù)對最優(yōu)稀疏約束的刻畫更為精準(zhǔn)。因此本文在對控制標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)目時(shí)采用了更有優(yōu)勢的0范數(shù)。

本文基于帶基約束的投資組合模型，從一個(gè)全新的視角出發(fā)，對該模型的預(yù)期收益率和稀疏度進(jìn)行了估計(jì)。在帶基約束的均值-方差模型的基礎(chǔ)上，以投資組合效用(用夏普比率度量)極大化為外層目標(biāo)，內(nèi)層極小化投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，以0范數(shù)控制投資組合中的資產(chǎn)數(shù)量，并利用上下界約束控制各項(xiàng)資產(chǎn)的權(quán)重，建立了雙層參數(shù)估計(jì)模型；其次分析了該模型的收益率以及投資組合的稀疏度選取范圍，并結(jié)合無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化方法設(shè)計(jì)了基于ADMM的雙層參數(shù)估計(jì)算法；在實(shí)證部分，我們對投資組合預(yù)期收益率以及稀疏度進(jìn)行了數(shù)值分析。仿真結(jié)果表明，本文模型得到的參數(shù)估計(jì)結(jié)果更符合實(shí)際，對投資活動有指導(dǎo)意義。

2 稀疏度的影響分析

考慮一個(gè)由6支股票的6期收益率組成的收益率矩陣(如表1所示)，在此矩陣中，不同股票的收益率是高度相關(guān)的。表2列出了分別由MV模型和稀疏MV模型求解得到的最優(yōu)解。從表2可以看出，稀疏MV模型只投資其中兩支股票就可以達(dá)到MV模型投資6支股票所取得的夏普比率，這個(gè)結(jié)果說明對于中小投資者而言，關(guān)注相對少量的投資標(biāo)的而不影響組合的整體回報(bào)是可能的，同時(shí)，也可以節(jié)約交易費(fèi)用。

下面通過一個(gè)數(shù)值算例來闡述我們研究的動機(jī)，即為何要對稀疏投資組合模型的稀疏度進(jìn)行選擇。圖1是OR-Library中五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集[39]的稀疏度-夏普比率曲線，圖中折線的折點(diǎn)表示在稀疏度取相鄰的五個(gè)整數(shù)時(shí)，夏普比率的平均值。由圖1易知，稀疏投資組合的夏普比率并不隨稀疏度單調(diào)地進(jìn)行變化，因此，研究稀疏度的最優(yōu)選擇問題是十分有價(jià)值的。

表1 股票收益率矩陣

表2 最優(yōu)投資比例

圖1 稀疏度-夏普比率圖線

3 建立模型

3.1 經(jīng)典的MV模型

Markowitz的均值-方差模型[4](MV)：

3.2 考慮基約束的MV模型

對基約束的刻畫主要有兩種方法，一種間接控制投資組合中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)數(shù)目的稀疏優(yōu)化方法是在目標(biāo)函數(shù)上增加一個(gè)關(guān)于投資組合權(quán)重的懲罰項(xiàng)。Brodie等[40]于2009 提出了基于1范數(shù)的稀疏投資組合模型，但是1范數(shù)并不能有效地與賣空機(jī)制結(jié)合，因此Chen等[7]提出了基于p(0

3.3 基于夏普比率的雙層MV模型

在投資組合問題的研究中，為了同時(shí)對存在一定沖突的不同目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，往往應(yīng)用雙層規(guī)劃構(gòu)建模型進(jìn)行求解。樓振凱[41]構(gòu)建了應(yīng)急物流系統(tǒng)LRP的雙層規(guī)劃模型并設(shè)計(jì)了一種帶啟發(fā)式規(guī)則的兩階段混合模擬退火算法對其進(jìn)行近似求解;李鏡儒[42]運(yùn)用雙層規(guī)劃對投資組合中風(fēng)險(xiǎn)與收益的沖突進(jìn)行建模，為投資者選擇理想的投資方案。夏普比率在投資組合績效評價(jià)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[43]，其含義是投資組合每承受一單位總風(fēng)險(xiǎn)，會產(chǎn)生多少的超額回報(bào)。根據(jù)William Sharpe的工作，夏普比率可以表示為：

(1)

3.4 SBPE模型

本文基于雙層規(guī)劃的思想，建立了帶基約束的投資組合雙層參數(shù)估計(jì)模型(SBPE)。

ω(ρ,K)=argminωTCω

s.t.ω∈W

(2)

模型(2)是一個(gè)結(jié)合了夏普比率的雙層參數(shù)估計(jì)模型，包含了未知參數(shù)ρ和K，我們的目標(biāo)是選取最優(yōu)的ρ和K，使得組合的績效最大。該模型外層目標(biāo)函數(shù)為極大化夏普比率，其自變量為ω(ρ,K)，該自變量的可行域由模型的內(nèi)層決定。由于外層目標(biāo)是含參的非凸函數(shù)，梯度類方法難以施展，求解十分復(fù)雜；模型的內(nèi)層是考慮上下界約束與基數(shù)約束的均值-方差模型，其中的投資上界u是給定的非負(fù)常數(shù)，預(yù)期收益率ρ是未知參數(shù)，而在給定ρ時(shí)，模型的內(nèi)層則是一個(gè)混合整數(shù)二次規(guī)劃問題。含0范數(shù)的基約束條件使其成為了NP難問題，很難找到該問題的全局最優(yōu)解。

4 算法設(shè)計(jì)

模型(2)是一個(gè)稀疏約束非光滑非凸優(yōu)化問題，具體地，其外層目標(biāo)函數(shù)不能直接進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，故使用無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化方法[44]求解，而內(nèi)層由于含有基約束，使用ADMM[45]對子問題進(jìn)行求解。

4.1 無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化算法框架

SBPE 直接搜索算法步驟1 選擇一個(gè)初始點(diǎn)x∈Ω, 步長h和迭代系數(shù)alpha;步驟2 計(jì)算ω(x)和f(x)的值;步驟3 計(jì)算ω(y)的值,其中y=x±hν,ν∈V且y∈Ω并計(jì)算fmax;步驟4 當(dāng)fmax≤fx時(shí),用αh更新迭代步長h;否則, 設(shè)x=y*且f(x)=f(y*),其中y*∈y|f(y) =fmax,y=x±hυ,υ∈v且y∈Ω;步驟5 當(dāng)h≤β時(shí),終止計(jì)算, 否則返回步驟3。

4.2 求解子問題的ADMM算法

ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers) 算法是機(jī)器學(xué)習(xí)中使用比較廣泛的約束最優(yōu)化方法，它是增廣拉格朗日乘子法的一種延伸，將無約束優(yōu)化的部分用塊坐標(biāo)下降法分別進(jìn)行優(yōu)化，因此可以有效地對模型(2)的內(nèi)層進(jìn)行求解。首先我們引入中間變量τ和約束條件ω=τ將模型(2)的內(nèi)層轉(zhuǎn)化成如下形式：

minωTCω

s.t.Aω=b,

l≤ω≤u,

ω=τ.

(3)

其中A=[μ；e]T，b=[ρ;1]T。利用增廣拉格朗日函數(shù)，則模型(3)可轉(zhuǎn)化為：

(4)

其中λ是關(guān)于約束條件ω=τ的拉格朗日乘子，φ是懲罰因子。模型(4)可以分成兩個(gè)子問題，第一個(gè)子問題是關(guān)于變量τ的約束優(yōu)化問題，另一個(gè)則是關(guān)于變量ω的無約束優(yōu)化問題。我們用L(τ,ω,λ,φ)來表示模型(4)的目標(biāo)函數(shù)，用Δ表示模型(4)中關(guān)于變量τ的可行域，通過分別對兩個(gè)子問題進(jìn)行求解并更新拉格朗日乘子，得到ADMM算法框架如下：

(5)

設(shè)定ε1>0，φ>0，U>0，ζ>0，并有初始值ω0，λ0，σ0，我們用k代表算法迭代次數(shù)，則算法的第k+1次迭代過程為：

研究發(fā)現(xiàn)A會計(jì)師事務(wù)所在合并之后CPA的人數(shù)不斷增長，員工的專業(yè)水平和獨(dú)立性都有了提高，事務(wù)所的業(yè)務(wù)收入綜合排名都有提升，非標(biāo)審計(jì)意見的數(shù)量也有所增加，表明審計(jì)質(zhì)量有所提高，但是審計(jì)質(zhì)量提高的幅度較小，事務(wù)所的合并對審計(jì)質(zhì)量的影響還不是很顯著，非標(biāo)審計(jì)意見比例這個(gè)指標(biāo)體現(xiàn)得最為明顯。但由于選取的衡量指標(biāo)較少，數(shù)據(jù)樣本的有限，可能結(jié)論會有一定的局限性。

1.求解τk+1，即求解下列方程：

(6)

轉(zhuǎn)步2；

2.求解ωk+1，即求解下列方程：

(7)

轉(zhuǎn)步3；

3.更新拉格朗日乘子λk+1：

λk+1=λk+φ(ωk+1-τk+1)

(8)

轉(zhuǎn)步4；

σk+1=min(ζσk,U)

(9)

轉(zhuǎn)步5；

否則返回步2。

在第k+1次迭代中，子問題(6)可轉(zhuǎn)換為如下形式：

Bτ≤d.

(10)

其中B=[-eT,eT]，d=[lT,uT]，為簡化運(yùn)算，取l是n×1維元素全為0的列向量。該問題是一個(gè)0范數(shù)約束的優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)為一個(gè)凸函數(shù)，利用硬閾值算法[46]可以獲得該問題的顯式解為：

中前s個(gè)最大值對應(yīng)在指標(biāo)序列。對于子問題(7)，這是一個(gè)無約束優(yōu)化問題，結(jié)合式(8)其一階最優(yōu)性條件為：

2∑ω+λk+1+σkAT(Aω-b)=0

(11)

解之得：

(12)

5 實(shí)證分析

5.1 數(shù)據(jù)生成過程

我們使用HangSeng31、DAX100、FTSE100、S&P100和Nikkei225等5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集[39]，以及來自于中國市場的上證50和中證100數(shù)據(jù)集。其中來自O(shè)R-library的5個(gè)數(shù)據(jù)集是從1992年到1997年的周收益率數(shù)據(jù)，上證50以及中證100數(shù)據(jù)集則是從2013年到2015年的日收益率數(shù)據(jù)。將每個(gè)數(shù)據(jù)集都等分成兩部分，分別作為訓(xùn)練集和測試集。訓(xùn)練集用于得到得到模型(2)中的最優(yōu)參數(shù)，測試集用于測試訓(xùn)練集所得參數(shù)的性態(tài)。

(13)

同理，記含上下界約束的MV模型的夏普比率為SRMV，SBPE方法相對于等權(quán)重策略的優(yōu)勢可表示為Sup(A,C)。SBPE方法得到的夏普比率的估計(jì)值與該數(shù)據(jù)集上夏普比率的最大值之間的差值記為：

(14)

由于本文選取的數(shù)據(jù)集記錄的是各指數(shù)成分股每周或每日的收盤價(jià)格，對應(yīng)無風(fēng)險(xiǎn)利率較小，因此我們設(shè)定無風(fēng)險(xiǎn)利率rf=0?？紤]到?jīng)]有賣空機(jī)制，投資者不會考慮將資金投入到負(fù)收益的資產(chǎn)上，因此預(yù)期收益下界取min(0,ρ)，其上界則不應(yīng)超過成分股中的收益率最大值max(ρ)。投資權(quán)重的上界約束u取為n×1維分量全部為0.5的列向量。算法精度ε=10-5，初始迭代步長為h=0.005并且設(shè)置步長更新比例α=0.6。

5.2 對預(yù)期收益率的估計(jì)

圖2 預(yù)期收益率-夏普比率圖線

根據(jù)表3，比較SBPE模型得到的預(yù)期收益率與等權(quán)重策略的預(yù)期收益率，結(jié)果顯示71.43%(5/7)的數(shù)據(jù)集中，SBPE模型估計(jì)得到預(yù)期收益率取值更大。將SBPE模型參數(shù)估計(jì)值對應(yīng)的夏普比率與等權(quán)重策略的夏普比率進(jìn)行比較，結(jié)果表明SBPE模型遠(yuǎn)優(yōu)于等權(quán)重策略，對應(yīng)的夏普比率至少提升了19.5%，從而說明了參數(shù)估計(jì)的有效性。

5.3 對預(yù)期收益率和稀疏度的估計(jì)

本節(jié)用基于ADMM的無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化算法對投資組合預(yù)期收益率ρ及稀疏度K進(jìn)行估計(jì)，然后通過分析數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證算法的有效性。稀疏度的K初始值設(shè)置為5，其它參數(shù)設(shè)置均保持不變。圖3依次分別是HangSeng31指數(shù)、DAX100指數(shù)、FTSE100指數(shù)、S&P100指數(shù)測試集的預(yù)期收益率-稀疏度-夏普比率三維圖線。在各圖中，紅色直線在預(yù)期收益率-稀疏度平面上的投影坐標(biāo)即是預(yù)期收益率ρ及稀疏度K的估計(jì)結(jié)果，而直線與曲面的交點(diǎn)則是估計(jì)參數(shù)在測試集中對應(yīng)的夏普比率。從圖3中可以看出，在預(yù)期收益率固定的情況下，隨著稀疏度的增加，對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值大約是呈倒U型變化的，目標(biāo)函數(shù)值先逐步增大，在某個(gè)固定的稀疏度之后，開始逐漸減小。因此，對最優(yōu)稀疏度進(jìn)行估計(jì)可以優(yōu)化投資策略，從而獲得更高的預(yù)期回報(bào)。另外限于篇幅,訓(xùn)練集對應(yīng)的圖片未報(bào)告，備索訓(xùn)練集中兩個(gè)參數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)夏普比率取得了比較好的效果，即通過算法得到的參數(shù)在樣本內(nèi)有非常好的表現(xiàn)。對于測試集，SBPE模型估計(jì)出的參數(shù)對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值(夏普比率)也在測試集最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的附近，其中圖3的前三個(gè)子圖的效果非常好，而最后一個(gè)子圖的效果則相對較差。

表3 BPSMV與1/N 策略的樣本外表現(xiàn)對比(單參數(shù)估計(jì))

圖3 預(yù)期收益率-稀疏度-夏普比率三維變化圖

表4分別列出了由SBPE模型估計(jì)出的預(yù)期收益率、稀疏度。從表4可知，由SBPE模型得到的稀疏度值遠(yuǎn)小于各指數(shù)中包含的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)數(shù)量，將極大地減輕投資組合的管理難度和降低交易費(fèi)用。在表5中將SBPE方法得到的夏普比率與等權(quán)重策略、含上下界的MV模型進(jìn)行了比較。其中，相較于等權(quán)重策略，樣本外夏普比率提高了至少18.99%；相較于含上下界的MV模型，樣本外夏普比率至少提高了39.03%。另外，在訓(xùn)練集中，由SBPE模型估計(jì)得到的夏普比率與真實(shí)的最大夏普比率差值非常小，測試集中該差值有85.71%(6/7)小于5%，最大也不超過15%，因此可以認(rèn)為SBPE模型取得了比較好預(yù)測效果。綜合上述兩個(gè)方面的結(jié)果，就說明了SBPE方法對參數(shù)估計(jì)的有效性。

表4 BPSMV的參數(shù)估計(jì)結(jié)果(雙參數(shù)估計(jì))

表5 三種投資策略的樣本外表現(xiàn)對比(雙參數(shù)估計(jì))

6 結(jié)語

本文構(gòu)建了一種新的基于效用的帶基數(shù)約束的雙層投資組合模型SBPE。利用國內(nèi)外股票市場的數(shù)據(jù)，該模型可得到預(yù)期收益率與最優(yōu)稀疏度的估計(jì)值。實(shí)證結(jié)果表明，SBPE模型能夠較好地對參數(shù)的真實(shí)值(在最大夏普比率下取得)進(jìn)行逼近，從而為投資者的最優(yōu)決策提供了可資借鑒的工具。事實(shí)上，本文提出的SBPE模型可以進(jìn)一步推廣得到其一般形式GSBPE：

ω(a,b,c)=argming(ω(a,b,c))

s.t.ω∈W

(15)

1)當(dāng)f(ω(a,b,c))和g(ω(a,b,c))均為凸的，則GSBPE模型可以用CVX、CPLEX等優(yōu)化軟件包求解；

2)當(dāng)f(ω(a,b,c))是非凸的，而g(ω(a,b,c))是凸的，則GSBPE模型可以使用無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化算法框架，對子問題使用ADMM、NPG[47]等算法求解；

3)當(dāng)f(ω(a,b,c))是非凸的，g(ω(a,b,c))也是非凸的，則GSBPE模型可以使用無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化算法框架，對子問題使用遺傳算法等求解。