一道題目引發(fā)的思考

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出“數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的知識(shí)技能，而且要把知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決與情感態(tài)度四個(gè)方面目標(biāo)有機(jī)結(jié)合，整體實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)?！倍@些目標(biāo)的達(dá)成，無疑需要教師的精心設(shè)計(jì)?，F(xiàn)結(jié)合自己平時(shí)的實(shí)踐教學(xué)在此撰寫成文，與大家交流。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課程；教學(xué)方法；散發(fā)思維

一、 原題呈現(xiàn)

如圖1，直線m、n相交于點(diǎn)B，且兩直線所夾銳角為40°，點(diǎn)A是直線m上的點(diǎn)，在直線n上找一點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C有多少個(gè)？

分析：本題是等腰三角形部分的一道典型的分類討論的題目，重點(diǎn)在于需分三種情況討論，難點(diǎn)是答案的完整性。

符合條件的點(diǎn)有三種情況：①若AB=AC，則所求點(diǎn)C為以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓與直線n的交點(diǎn)；②若BA=BC，則所求點(diǎn)C為以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑的圓與直線n的交點(diǎn)；③若CA=CB，則所求點(diǎn)C為線段AB的垂直平分線與直線n的交點(diǎn)；如圖2，共有四個(gè)點(diǎn)。

思考：教師在講評(píng)以上例題的時(shí)候，除了對(duì)題目的分析和講解之外，還能夠從中聯(lián)系到哪些內(nèi)容？筆者認(rèn)為可以由以下三個(gè)方面入手：（1）該題涉及等腰三角形的問題，那么對(duì)于等腰三角形，學(xué)生能聯(lián)想到的主要性質(zhì)有哪些？（2）該題用到了分類討論的思想，學(xué)生還能想到哪些分類討論的題型？（3）是否能對(duì)該題做出變式？

二、 思維的發(fā)散

發(fā)散性思維，又稱擴(kuò)散性思維、輻射性思維、求異思維。它是一種從不同的方向、途徑和角度去設(shè)想，探求多種答案，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法。我們常講，要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，那么在此之前，是不是應(yīng)該先提高教師的發(fā)散性思維呢？

（一） 基礎(chǔ)知識(shí)方面

例1 已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+3x+y-3=0，則x+y的最大值為 .

分析：由本題的已知條件可得x+y=-x2-2x+3，則本題轉(zhuǎn)變?yōu)榍?x2-2x+3的最大值。因?yàn)?x2-2x+3=-（x+1）2+4，最大值為4，所以x+y的最大值為4。

聯(lián)系：本題涉及了二次函數(shù)的最值問題和多項(xiàng)式的因式分解，因而，在聯(lián)系到的基礎(chǔ)知識(shí)主要有兩個(gè)方面：（1）多項(xiàng)式的因式分解：①什么是因式分解？②因式分解的方法有哪幾種？③因式分解的過程中需要注意哪些問題？④在哪些題型中會(huì)用到因式分解？（2）二次函數(shù)：①二次函數(shù)有哪幾種形式？②這幾種形式如何確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸？③結(jié)合圖像分析二次函數(shù)的性質(zhì)；④二次函數(shù)的最值問題。

學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，不僅體現(xiàn)在對(duì)新知的學(xué)習(xí)，同時(shí)更應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)所學(xué)過的知識(shí)的鞏固，從而才能夠達(dá)到融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用。而知識(shí)的鞏固不應(yīng)只是在單純的復(fù)習(xí)課中進(jìn)行，而應(yīng)該滲透在平時(shí)的整個(gè)上課過程中，真正地做到“溫故而知新”。

（二） 解題方法方面

例2 如圖3，已知線段AB=AC，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且有BF=CE，連接FE交BC于D，求證：DF=DE。

解法1 如圖4，圖5，過點(diǎn)F或點(diǎn)E作等腰三角形一腰的平行線，構(gòu)造全等三角形，再通過全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，得到所求證的結(jié)論。

解法1的兩種輔助線雖稍有不同，但都是通過構(gòu)造全等三角形得到的，思路簡(jiǎn)單，教師上課的過程中大多選擇的是這種做法。那么本題是否還可以有其他的解法呢？相信很多學(xué)生在思考的過程中會(huì)嘗試著添置輔其他助線。他們的方法是否可行？若是可行又該如何解答？這時(shí)，教師可以把一些不同的輔助線添置方法展示出來，與學(xué)生共同探討。

解法2 如圖6，圖7，過點(diǎn)F或點(diǎn)E作等腰三角形底邊的平行線，由平行線分線段成比例，或構(gòu)造相似三角形可得結(jié)論。

解法3 如圖8，作△BDF關(guān)于BC的軸對(duì)稱圖形△BDN，連接FN交BC于G，連接NE。可證四邊形BNEC是平行四邊形，結(jié)合平行線分線段成比例可得結(jié)論。

解法2、解法3都用到了三角形相似、成比例線段的性質(zhì)，其中，解法3還用到了軸對(duì)稱的性質(zhì)。相較于解法1應(yīng)用三角形全等證明的簡(jiǎn)潔明了，后面的幾種方法所用的知識(shí)會(huì)更復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求也更高。

那么通過這同一道題目不同解法之間的比較，可以開闊學(xué)生的解題思路，提高解題的應(yīng)變能力，克服思考問題的片面性。

（三） 變式題方面

例3 如圖9，在△ABC中，過點(diǎn)A作直線l與線段BC相交，在直線l上取點(diǎn)D、E，使得△BAD≌△ACE，試說明：BD=DE+CE。

本題是在三角形全等中較為典型的一道題目，運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)進(jìn)行解答，其難度值較低，學(xué)生大多能較為完整的做出解答過程。那么在基本不改變?cè)瓐D的前提下，對(duì)原題目稍作修改，會(huì)怎樣呢？

變式一：如圖9，在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作直線l與線段BC相交，BD⊥l于D，CE⊥l于E，試說明：線段BD、DE、CE三者間的數(shù)量關(guān)系。

變式二：如圖10，在Rt△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A在△ABC外作直線l，BD⊥l于D，CE⊥l于E，試說明：線段BD、DE、CE三者間的數(shù)量關(guān)系。

變式三：如圖11，∠BAC=α，AB=AC，過點(diǎn)A作直線l，在l上取點(diǎn)D、E，使得∠BDA=∠AEC=α，試說明：線段BD、DE、CE三者之間的關(guān)系。

變式四：如圖12，已知∠BAC=120°，AB=AC，過點(diǎn)A作直線l，在l上取點(diǎn)D、E，使得∠BDA=∠AEC=120°，AG平分∠BAC，且△ABG與△ACG均為等邊三角形。連接DG、EG，試說明：△DEG是什么三角形？

變式一在原題的基礎(chǔ)上稍作變動(dòng)，而難度與原題相仿，這樣的變式可以很好地檢測(cè)學(xué)生對(duì)原題目是否真正理解。變式二將原題中的△ABC特殊化成

Rt△ABC，這道題目也可以作為動(dòng)點(diǎn)問題，即“將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至與BC沒有交點(diǎn)”，但其解題思路在本質(zhì)上仍與變式一是相類似的。這個(gè)證明三角形全等的方法在正方形中也經(jīng)常會(huì)用到。而變式三是變式二的推廣，將原先局限的特殊角90°推廣到了一般情況的角α，而圖形的簡(jiǎn)化（省略了線段BC）也是對(duì)學(xué)生固有模式的一個(gè)考驗(yàn)。

從變式一到變式四，每一次變式對(duì)題目的改動(dòng)都是細(xì)微的，而題目的解題思路也是基本不變的，但就是這樣對(duì)題目細(xì)微的變化，往往可以檢測(cè)出學(xué)生對(duì)一道題目、一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解及掌握程度。所謂“萬變不離其宗”，也正是這個(gè)道理。

三、 教師教學(xué)的思考

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者；教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程。美國(guó)的教育心理學(xué)家大衛(wèi)·奧蘇伯爾說過：“影響學(xué)生學(xué)習(xí)新知唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)?！痹谛聲r(shí)代的教學(xué)活動(dòng)中，教師的“教”已不再是單純的知識(shí)的傳授，而應(yīng)該更多的著重于教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)。所謂言傳身教，教師需在授課過程中做到舉一反三，對(duì)各部分知識(shí)融會(huì)貫通，才能把教與學(xué)更加巧妙地融合起來，達(dá)到教學(xué)活動(dòng)的效率最大化。

參考文獻(xiàn)：

[1]余金紅，張棉仕.學(xué)生說課：數(shù)學(xué)教學(xué)的新舉措[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2015（5）：65-67.

作者簡(jiǎn)介：林偉真，福建省漳州市，漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)。