基于極球面投影的極區(qū)格網(wǎng)等角航線

劉文超，卞鴻巍

1. 中國人民解放軍91550部隊，遼寧 大連 116023; 2. 海軍工程大學，湖北 武漢 430033

中低緯度地區(qū)航海中通常采用等角航線[1]。但在高緯度地區(qū)，等角航線曲率較大、航程較長。因此，等角航線不再適用于極區(qū)航行[2]，極區(qū)航行通常采用大圓航線[3]。但是大圓航線上地理航向角快速變化、極區(qū)定向誤差較大等問題不利于極區(qū)航行控制，為此1941年英國皇家空軍Maclure中校結合極區(qū)極球面投影提出了極區(qū)格網(wǎng)導航技術[4]，使得大圓航線、格網(wǎng)導航技術和極球面投影配合使用成為一種早期解決極區(qū)航行問題的方案[5]。隨著現(xiàn)代航海對精度和安全性的更高需求，早期極區(qū)航行方案也需要優(yōu)化。對該方案進行分析主要存在以下4個問題：①大圓航線在極球面投影圖上投影為非直線，會引起固有的航行繪算誤差，文獻[6—8]分別就該問題研究了極球面投影圖上大圓航線近似為直線引起的定位和定向誤差，雖然認為該誤差較小，可以簡化近似處理，但是該近似處理原理性誤差依舊存在，并不能完全消除；②極區(qū)航向采用格網(wǎng)航向角，大圓航線上的格網(wǎng)航向角并不相等[9]，單一航線上格網(wǎng)航向角的不規(guī)則變化必然不利于航行控制[10]；③嚴格執(zhí)行大圓航線，只能采用航跡舵執(zhí)行[11]，無法像中低緯度地區(qū)按照等航向角的規(guī)則采用航向舵來執(zhí)行[12]；④大圓航線基于地球球體模型，必然會存在采用地球模型引起的原理性誤差[13]，雖然文獻[14—16]分別研究的基于地球橢球模型的大橢圓航線可以解決該問題，但依然存在上述3個問題。因此，大圓航線、格網(wǎng)導航技術和極球面投影無法達到精確配合應用。而中低緯度地區(qū)，等角航線上地理航向角相等且在墨卡托投影圖上投影為直線[17]，能夠與導航技術(導航設備)、墨卡托投影精確配合實現(xiàn)航行。為此，本文借鑒中低緯度地區(qū)等角航線的設計思想，提出一種在極球面投影圖上表現(xiàn)為直線的“等角航線”——格網(wǎng)等角航線，并對其航線方程、航向角和航程計算方法進行了研究。

1 極區(qū)極球面投影及格網(wǎng)導航

1.1 基于雙重投影的極區(qū)極球面投影方法

高精度的地球模型近似為一個旋轉(zhuǎn)橢球體，將地球橢球面直接按照極球面投影方法投影到平面上較為困難[18]。雙重投影[19]是一種解決方法，即先將橢球面等角投影到球面上，再將球面按照極球面投影方法投影到平面上。考慮到北極經(jīng)線快速收斂于極點，北極投影圖中經(jīng)度跨度較大甚至涵蓋所有經(jīng)線，橢球面在球面上的等角投影宜采用完整等角投影方法，其投影變換公式[20]為

(1)

式中，φ、l為球面緯度、經(jīng)度；φ、λ為橢球面緯度、經(jīng)度；R為球體半徑；RN為卯酉圈曲率半徑；ω1為投影角度變形；φ0、φ0、RN0分別為基準橢球緯度、球體緯度及基準位置處的卯酉圈曲率半徑。

將橢球面等角投影到球面后，利用極球面投影的方法將球面等角投影到平面上。極球面投影是一種透視方位投影，其視點位于地球極點上，如圖1所示。具體投影變化公式[21]如下

(2)

式中，ρ為緯線投影半徑；δ為兩經(jīng)線間的經(jīng)差；Z和σ為球面坐標；Z0為基準位置處的球面坐標；ω2為投影角度變形。

圖1 極球面投影示意圖Fig.1 Diagram of polar stereographic projection

式(1)和式(2)共同構成了基于雙重投影的極區(qū)橢球極球面投影變換方法，按照該變換公式得到的投影仿真圖如圖2所示。分析式(1)和式(2)可得該投影方法的兩條性質(zhì)：①該投影為等角投影，滿足載體航行投影圖為等角投影的條件[22]；②該投影上經(jīng)線方程和緯線方程分別為

(3)

因此，經(jīng)線投影為以極點為中心的一族放射線，緯線為一族同心圓，投影曲線規(guī)則便于量測航向和距離，適合航行人員航行繪算。

圖2 橢球極球面投影仿真圖(緯度85°N—90°N) Fig.2 Simulation of ellipsoidal polar stereographic projection

1.2 格網(wǎng)導航方法

載體通常采用大圓航線進行極區(qū)航行。地理真航向以收斂于極點的地理經(jīng)線作為航向參考基準。由于經(jīng)線在極區(qū)快速收斂導致采用大圓航線航行時航向變化較快，不便于極區(qū)航行監(jiān)控和航行繪算，且極區(qū)很小的經(jīng)緯誤差會導致很大的航向誤差，影響航行安全。為此，本文研究和提出了一種格網(wǎng)導航方法[4]。該方法的基本思想就是在極區(qū)投影圖上繪制格網(wǎng)線作為極區(qū)航向基準。具體是在極球面投影圖上選擇某條經(jīng)線，通常為0°經(jīng)線，在圖上繪制平行于0°經(jīng)線的格網(wǎng)線，沿每條格網(wǎng)線與0°經(jīng)線正北方向相同的方向表示成0°GD(grid direction)，相反方向表示成180°GD，格網(wǎng)0°GD稱為格網(wǎng)航向基準[23]，如圖3所示。那么，任意位置點M的地理航向角ψt與格網(wǎng)航向角ψG的轉(zhuǎn)換關系為

ψG=ψt-λ

(4)

但是大圓航線在極球面投影圖上并不完全是直線，均不能達到中低緯度等角航線在墨卡托投影完全表現(xiàn)為直線，方便航行操縱和繪算的理想程度。因此需要研究一種在極區(qū)投影圖上表現(xiàn)為直線的航線，可以與格網(wǎng)導航技術精確配合使用。

2 格網(wǎng)等角航線定義及航線方程

借鑒中低緯度地區(qū)等角航線、墨卡托投影和導航技術精確配合應用的思想，本文提出了格網(wǎng)等角航線的思想。此類航線提出的目的是使極區(qū)航線等角且在極區(qū)投影圖上表現(xiàn)為直線，使得極區(qū)航線與極區(qū)投影、極區(qū)導航方法精確匹配，方便航行人員航行繪算和航行監(jiān)控。

圖3 格網(wǎng)導航示意圖Fig.3 Diagram of grid navigation

為解決大圓航線不適用于極區(qū)航行導航的問題，定義地球橢球面上一條與所有格網(wǎng)航向基準線相交成固定夾角的曲線為網(wǎng)格等角航線。具體實現(xiàn)方法如下：

如圖4所示，設AB為格網(wǎng)等角航線上的微分弧段，Aφ1,λ1為航線起點，AB與經(jīng)線BC、緯線AC構成微分直角三角形ABC。格網(wǎng)等角航線與格網(wǎng)航向基準線的夾角為格網(wǎng)航向角為ψG，那么利用式(4)格網(wǎng)航向角與地理航向角的關系，可得地理航向角為ψG+λ，則∠BAC為π/2-(ψG+λ)，經(jīng)線的微分弧長為RMdφ，緯線的微分弧長為RNcosφdλ，因此滿足

(5)

將式(5)寫成積分形式可得

(6)

對式(6)兩邊同時求定積分可得

(7)

式(7)就是通過已知點φ1,λ1，格網(wǎng)航向角為ψG的格網(wǎng)等角航線方程，φ,λ為航線上的任意移動點。

為驗證該航線方程在極球面投影圖上的投影形狀，將式(7)經(jīng)過式(1)和式(2)的投影變換，可得該航線在平面投影圖上的方程為

(8)

由式(8)可以看出，方程式右側(cè)為由投影基準位置和已知航線確定的已知量，因此該方程式為直線方程。驗證了任意格網(wǎng)等角航線在極球面投影圖上投影為直線。

圖4 格網(wǎng)等角航線Fig.4 Grid rumble route

3 格網(wǎng)等角航線航向角和航程計算方法

3.1 格網(wǎng)等角航線航向角計算方法

若已知格網(wǎng)等角航線起點、終點的坐標φ1,λ1和φ2,λ2，可根據(jù)式(7)和兩已知點坐標求解格網(wǎng)航向角。具體如下：

將兩個坐標點分別代入式(7)，并進行化簡可得

(9)

式中

特殊情況下，λ1=λ2=π/2時，ψG=π/2。此外，由式(9)可以看出，滿足此式格網(wǎng)航向角有4個，因此需要根據(jù)兩位置點坐標的關系進行格網(wǎng)航向角的象限判斷。

3.2 格網(wǎng)等角航線航程計算方法

如圖4所示，以dSl表示格網(wǎng)等角航線的微分弧長，則

(10)

由式(7)可得，格網(wǎng)等角航線方程中λ可以表示成φ的函數(shù)，即

λ=g(φ)

(11)

因此，航線的航程為

(12)

由于式(11)無法給出具體的解析表達式，式(12)所示航線航程需要采用數(shù)值積分的方法進行求解。

4 算例分析

為驗證本文提出的格網(wǎng)等角航線與大圓航線、大橢圓航線的差別，進行如下航線設計仿真：已知載體從起始點(75°N，10°E)出發(fā)，分別按格網(wǎng)等角航線、大圓航線和大橢圓航線航行至目標點(70°N，170°E)，格網(wǎng)等角航線軌跡圖如圖5所示。格網(wǎng)等角航線、大橢圓航線計算采用WGS-84參考橢球模型，大圓航線計算分別采用航海學半徑為6 366 707 m和極點處平均曲率半徑的球體模型。利用本文推導的公式分別計算出格網(wǎng)等角航線的格網(wǎng)航向角和航程，并與大圓航線、大橢圓航線的航向和航程[24]進行比較，結果見表1與圖6(1 n mile=1852 m)。

圖5 格網(wǎng)等角航線軌跡Fig.5 Position track of grid rumble route

表1 總航程計算結果比較

圖6 格網(wǎng)航向角計算結果比較Fig.6 Result comparison of grid direction

由表1和圖6可以看出，比較格網(wǎng)等角航線與大圓航線，兩者航程相差分別為10.47 n mile和0.21 n mile(采用不同球體半徑)，格網(wǎng)航向角相差最大值為0.464°；比較格網(wǎng)等角航線與大橢圓航線，兩者航程相差0.48 n mile，格網(wǎng)航向角相差最大值為0.471°。因此，格網(wǎng)等角航線和大圓航線、大橢圓航線比較相近，航程同樣較短。同時，考慮到大圓航線采用球體模型與航行階段導航設備采用的橢球體模型不一致，會存在固有原理性誤差，而格網(wǎng)等角航線和大橢圓航線采用橢球模型，航行作業(yè)精度較高，因此格網(wǎng)等角航線是一種高精度的極區(qū)航線。此外，結合理論分析，格網(wǎng)等角航線上格網(wǎng)航向角處處相等且在極球面投影圖上表現(xiàn)為直線，這種航線的特點與中低緯度地區(qū)等角航線上地理航向角處處相等且在墨卡托投影圖上表現(xiàn)為直線相一致。因此，格網(wǎng)等角航線可以與輸出格網(wǎng)航向角的格網(wǎng)導航技術、極球面投影精確配合，達到中低緯度地區(qū)等角航線、輸出地理航向角的導航技術、墨卡托投影精確配合的相同效果，解決大圓航線、大橢圓航線與格網(wǎng)導航技術、極球面投影配合使用存在原理性誤差的問題，便于極區(qū)航行控制和航行繪算。

5 結 論

本文在研究了極區(qū)極球面投影和格網(wǎng)導航方法的基礎上，提出了一種極區(qū)格網(wǎng)等角航線，并給出了航程和格網(wǎng)航向角計算方法，以解決傳統(tǒng)大圓航線與格網(wǎng)導航方法、極區(qū)投影圖不能精確配合使用，存在原理性誤差的問題。通過研究表明，格網(wǎng)等角航線具體航程較短、精度較高、航線上格網(wǎng)航向角處處相等以及在極區(qū)極球面投影圖上表現(xiàn)為直線的優(yōu)點，可以與格網(wǎng)導航方法、極球面投影精確配合應用，適合于極區(qū)航行。