一類次臨界增長非局部問題的無窮多解

吳燕林， 錢曉濤

( 陽光學院 基礎教研部， 福建 福州 350015 )

本文考慮如下非局部邊界值問題：

(1)

其中a,b>0， Ω是RN中的一個有光滑邊界的有界區(qū)域,N≥3.

1 預備知識

(f4)f(-t)=-f(t)，?t∈R.

(2)

由式(2)可得

(3)

在空間L2(Ω)+Lp(Ω)中，定義范數(shù)

本文使用如下形式的對稱山路定理(引理2)[8]證明本文的主要結果.

(I1)存在常數(shù)ρ,α>0， 使得I|Bρ(0)∩W≥α>0;

(I3)I滿足(PS)c條件，其中0

2 主要結果及其證明

顯然問題(1)所對應的泛函為：

(4)

定理1若條件(f1)-(f4)成立，則?k∈N， 問題(1)存在k對非平凡解.

證明由引理1和條件(f4)可知，顯然I是偶泛函，且I(0)=0.再根據(jù)引理2可知，只需驗證泛函I滿足條件(f1)-(f3)即可.以下分3步來證明.

所以

(5)

所以

綜合以上3步知，對泛函I可以使用引理2，由此得問題(1)至少存在k對非平凡解.再由k的任意性可知，問題(1)有無窮多個解.

注1文獻[1]的非線性項顯然滿足本文的條件(f1)-(f4)，但本文得到的是無窮多個解，因此本文的結果拓展了文獻[1]的研究結果.