高中數(shù)學(xué)文化教育在引言課中的實(shí)施策略初探①——以“平面解析幾何引言課”為例

王克亮

(江蘇省射陽(yáng)中學(xué) 224300)

數(shù)學(xué)文化通常包括數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)的應(yīng)用等方面，數(shù)學(xué)文化教育應(yīng)貫穿整個(gè)高中教學(xué)過(guò)程之中. 引言課通常設(shè)置在一個(gè)章節(jié)的起始，側(cè)重回答“這個(gè)內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容？如何學(xué)好這個(gè)內(nèi)容？”等問(wèn)題. 那么，如何在引言課中實(shí)施數(shù)學(xué)文化教育呢？筆者擬以近期開(kāi)設(shè)的“平面解析幾何引言課”這節(jié)省公開(kāi)課為例，談?wù)勛约旱囊恍┠w淺實(shí)施策略.

1 回顧形成歷史，揭示研究思想

高中數(shù)學(xué)的每一塊知識(shí)內(nèi)容都蘊(yùn)含著一些研究思想，這些研究思想應(yīng)該是教學(xué)中深植學(xué)生骨髓的東西，能對(duì)學(xué)生的終生發(fā)展起著潛移默化的作用. 那么，在引言課中如何將這些研究思想自然地揭示出來(lái)呢？筆者認(rèn)為，回顧知識(shí)形成歷史，沿著前人的思路行走是一個(gè)較好的策略.

在平面解析幾何引言課中，筆者就是從數(shù)學(xué)史談起的.

話題關(guān)于平面解析幾何，你現(xiàn)在最想了解的是什么？

根據(jù)學(xué)生的回答整理成如下三個(gè)問(wèn)題：(1)是什么？——平面解析幾何是一門(mén)怎樣的學(xué)科？(2)為何學(xué)？——為什么要學(xué)習(xí)平面解析幾何？(3)怎么學(xué)？——怎樣才能學(xué)好平面解析幾何？

平面解析幾何是一門(mén)怎樣的學(xué)科呢？對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答得從數(shù)學(xué)史談起.在數(shù)學(xué)史上，曾經(jīng)有這么幾位數(shù)學(xué)家，他們雄心勃勃，想創(chuàng)造一種能夠解決世界上一切問(wèn)題的方法，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾就是其中一位. 他們的設(shè)想是這樣的:“任何問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程問(wèn)題→求解方程→得到結(jié)論”.那么，對(duì)于幾何問(wèn)題，該如何用代數(shù)的方法來(lái)解決呢，這是他們遇到的難題之一.

據(jù)說(shuō)，后來(lái)有一天，當(dāng)?shù)芽柼稍诖采闲蓍e時(shí)，忽然他看到墻角的蜘蛛網(wǎng)上有一只蜘蛛在爬來(lái)爬去，便突發(fā)奇想，假如在墻角的三根交線上分別標(biāo)上刻度，不就能用有序的數(shù)對(duì)來(lái)表示蜘蛛的位置了嗎！這正是直角坐標(biāo)系的芻形. 有了直角坐標(biāo)系，點(diǎn)就可以用數(shù)來(lái)表示，進(jìn)而線與面也能用數(shù)來(lái)表示，這樣用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題有了可能,從而使得代數(shù)與幾何兩者相互結(jié)合而共同發(fā)展，產(chǎn)生了解析幾何學(xué).

所以，解析幾何學(xué)是一門(mén)用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題的學(xué)科. 在中學(xué)教材平面解析幾何當(dāng)中，將要研究直線、圓、圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)等曲線的代數(shù)表示及幾何性質(zhì).

評(píng)注本節(jié)課是從發(fā)生在數(shù)學(xué)家笛卡爾身上的一個(gè)小故事開(kāi)始的，自然地回顧了數(shù)學(xué)史知識(shí)，既激發(fā)了學(xué)生的聽(tīng)課興趣，又揭示了本章的研究思想，能給學(xué)生留下較為深刻的印象.

2 點(diǎn)擊核心概念，感悟數(shù)學(xué)語(yǔ)言

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的載體，是數(shù)學(xué)理論的基本構(gòu)成成分，所以數(shù)學(xué)文化教育離不開(kāi)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的感悟. 那么，如何在引言課中感悟相關(guān)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢？筆者認(rèn)為，可點(diǎn)擊一些核心概念，在逐步呈現(xiàn)中初步感受其數(shù)學(xué)表達(dá).

筆者認(rèn)為，曲線的方程與方程的曲線是平面解析幾何中的兩個(gè)核心概念，在引言課中可進(jìn)行點(diǎn)擊，并體會(huì)其數(shù)學(xué)表述.

問(wèn)題1設(shè)A(4,0),B(0,2)兩點(diǎn)確定的直線為l，如何判斷點(diǎn)Q(-2,3)是否在直線l上？

初步感受“兩都”關(guān)系.

變式設(shè)A(4,0),D(4,2)兩點(diǎn)確定的直線為m，如何判斷點(diǎn)P(x,y)是否在直線m上？

體會(huì)該直線不是函數(shù)的圖象，不能運(yùn)用一次函數(shù)解析式來(lái)解決問(wèn)題，并在得到關(guān)系式x-4=0后，引導(dǎo)學(xué)生將其改寫(xiě)成x+0·y-4=0.

追問(wèn)1直線m與關(guān)系式x+0·y-4=0之間符合“兩都”關(guān)系嗎？

進(jìn)一步感受“兩都”關(guān)系.

體會(huì)它們都是二元一次方程，“y=f(x)”不能包含上述全部情形，自然給出“方程f(x,y)=0”這個(gè)表示形式.

追問(wèn)2“兩個(gè)都”同時(shí)成立呢？

問(wèn)題1.3一般地，對(duì)于曲線C與方程f(x,y)=0，當(dāng)它們滿(mǎn)足什么條件時(shí)，可稱(chēng)方程f(x,y)=0為曲線C的方程？曲線C為方程f(x,y)=0的曲線呢？

需同時(shí)滿(mǎn)足“兩都”關(guān)系，即(1)曲線C上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解；(2)以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.

評(píng)注這里用“兩都”這一數(shù)學(xué)語(yǔ)言貫穿前后，從點(diǎn)集相等的角度闡明了“數(shù)”與“形”的等價(jià)性，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、簡(jiǎn)潔性和通用性.

3 力求和諧統(tǒng)一，展示數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)文化教育離不開(kāi)數(shù)學(xué)美的熏陶，教學(xué)中如果能讓學(xué)生由衷地感受到數(shù)學(xué)之美妙，對(duì)其產(chǎn)生的影響將是無(wú)法估量的. 那么，在引言課中該如何展示數(shù)學(xué)之美，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力呢？筆者認(rèn)為，深挖知識(shí)內(nèi)涵，打通知識(shí)聯(lián)系，如果能把一些內(nèi)在的規(guī)律用和諧統(tǒng)一的形式展示出來(lái)，將會(huì)給學(xué)生強(qiáng)烈的震撼，美感也就會(huì)隨之而來(lái).

在平面解析幾何引言課中，筆者試圖將直線、圓、橢圓三者的方程用統(tǒng)一的形式表示出來(lái)，讓學(xué)生感受到方程的美妙.

發(fā)現(xiàn)改寫(xiě)后方程的分母就是直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距(可簡(jiǎn)要介紹一下截距這個(gè)概念).

利用所給截距得到三條具體直線l1,l2,l3，并推廣到一般情形.

發(fā)現(xiàn)直線的位置關(guān)系與方程之間的聯(lián)系，并體會(huì)可用方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì).

剛才實(shí)際上做了兩件事：一是將直線轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，得到了直線的方程；二是運(yùn)用所得到的方程來(lái)研究了直線的一些幾何性質(zhì).

追問(wèn)解析幾何的兩大任務(wù)是什么？

(1)建立曲線的方程；(2)運(yùn)用方程研究曲線的幾何性質(zhì).

問(wèn)題2以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以r(r>0)為半徑的圓O，其方程是什么樣子的？

先得到關(guān)系式x2+y2=r2.

問(wèn)題2.1圓O與方程x2+y2=r2之間符合“兩都”關(guān)系嗎？

明確x2+y2=r2就是圓O的方程.

問(wèn)題2.2如何改寫(xiě)圓O的方程x2+y2=r2，使得它能較好反映圓O在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距呢？

把剛才的研究結(jié)論匯總到下表內(nèi)：

曲 線方 程xa+yb=1x2r2+y2r2=1

續(xù)表

從該表格中不難體會(huì)到，圖形是美觀的，方程是美妙的！

評(píng)注這里，當(dāng)把直線、圓、橢圓的方程匯總在一張表格內(nèi)的時(shí)候，相信學(xué)生會(huì)有“于枯燥之中見(jiàn)新奇”之感，激動(dòng)與陶醉心情也會(huì)油然而生！

4 闡明學(xué)習(xí)意義，凸顯知識(shí)價(jià)值

數(shù)學(xué)文化的教育還應(yīng)包括介紹所學(xué)知識(shí)內(nèi)容的價(jià)值，讓學(xué)生消除“學(xué)了有什么用”的疑問(wèn). 那么，如何在引言課中凸顯相關(guān)知識(shí)的價(jià)值呢？筆者認(rèn)為，可依據(jù)知識(shí)內(nèi)容的特點(diǎn)從多個(gè)維度闡述學(xué)習(xí)意義，特別是其在實(shí)踐中的應(yīng)用價(jià)值.

在平面解析幾何引言課中，筆者是從“刻畫(huà)效果、實(shí)踐應(yīng)用、理論貢獻(xiàn)”這三個(gè)維度來(lái)展示《解析幾何學(xué)》的價(jià)值的.

(1)從刻畫(huà)效果看——入微

例1直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系相離相切相交圖 形以前的判定方法d>rd=rd

解析幾何的方法對(duì)圖形及其位置關(guān)系的刻畫(huà)，實(shí)現(xiàn)了細(xì)微化和精確化，即入微. 先前一些被認(rèn)為是幾何學(xué)中的難題，運(yùn)用解析幾何的方法就變得平淡無(wú)奇了.

(2)從實(shí)踐應(yīng)用看——廣泛

現(xiàn)實(shí)世界中，到處有美妙的曲線，對(duì)它們的精確研究往往要借助代數(shù)方程. 比如，在建造橋梁時(shí)，首先要確定橋拱的方程，然后才能進(jìn)一步設(shè)計(jì)和施工；又如，在對(duì)太空的奧秘進(jìn)行探索時(shí)，要把行星的運(yùn)行軌道放到笛卡爾直角坐標(biāo)系中，以便精確地把握它們的運(yùn)行軌跡，這樣才能實(shí)現(xiàn)太空遨游和嫦娥登月；等等.

所以，解析幾何學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用非常廣泛.

(3)從理論貢獻(xiàn)看——巨大

對(duì)于解析幾何學(xué)的誕生，拉格朗日和恩格斯這兩位偉人都給予了高度評(píng)價(jià)(內(nèi)容投影，此略).

因此，解析幾何學(xué)的誕生，其理論貢獻(xiàn)巨大.

總之，平面解析幾何的學(xué)習(xí)，對(duì)于轉(zhuǎn)變我們的數(shù)學(xué)觀念、拓展我們的數(shù)學(xué)思維、提升我們的數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，都有著十分重要的意義.

評(píng)注從多個(gè)維度闡明學(xué)習(xí)的理由與意義，可充分展示知識(shí)的價(jià)值.

5 進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，聚焦核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)文化教育的目的是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)信心. 那么，如何在引言課中實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)呢？筆者認(rèn)為，可依據(jù)相關(guān)知識(shí)個(gè)性，立足學(xué)科核心素養(yǎng)的提升來(lái)給予學(xué)法指導(dǎo).

在平面解析幾何引言課中，筆者是站在數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算這兩個(gè)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)的.

(1)建立好兩種數(shù)學(xué)模型

一是方程模型，這是從形到數(shù)的過(guò)程. 當(dāng)遇到與圖形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要有這樣的意識(shí)，即可以通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把圖形用方程來(lái)表示，進(jìn)而利用代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題.

二是軌跡模型，這是從數(shù)到形的過(guò)程. 一方面，當(dāng)看到代數(shù)式的時(shí)候，要有這樣的意識(shí)，想一下它會(huì)不會(huì)表示什么圖形？有沒(méi)有什么幾何意義？另一方面，當(dāng)看到與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要善于把握它的軌跡.

例2設(shè)A,B是兩個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足下列條件時(shí)，它的軌跡是什么圖形？

(1)PA=PB；(2)∠APB=90°；(3)PA=λPB(λ>0,λ≠1)；(4)PA+PB=k(k>AB).

簡(jiǎn)析答案(此略).

在建立好兩個(gè)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，逐步培養(yǎng)一種思想，叫“數(shù)形結(jié)合”；最終形成一種觀念，即“形數(shù)合一”.

(2)磨練好數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

運(yùn)用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，離不開(kāi)繁瑣的運(yùn)算，所以一定要在運(yùn)算能力的培養(yǎng)上下功夫. 努力做到：消除畏繁情緒——敢算，掌握一般方法——會(huì)算，把握運(yùn)算規(guī)律——善算.

評(píng)注相信學(xué)生能夠從該教學(xué)片斷中初步感悟到平面解析幾何這門(mén)課的特點(diǎn)，并從中獲得一些學(xué)習(xí)啟示，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心.

總之，引言課是實(shí)施數(shù)學(xué)文化教育的好時(shí)機(jī)，能較好培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).