構(gòu)建函數(shù)探尋不等式求證思路——以數(shù)學問題為例

黃如炎

(福建省閩清教師進修學校 350800)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》對邏輯推理素養(yǎng)水平三要求學生“對于新的數(shù)學問題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學命題；對于較復(fù)雜的數(shù)學問題，能夠通過構(gòu)建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題”[1]．《數(shù)學通報》傳統(tǒng)欄目“數(shù)學問題解答”中的數(shù)學問題新穎而有難度，解答機智靈活，精彩紛呈，其中有不少好問題，是培養(yǎng)理性思維，發(fā)展高水平邏輯推理素養(yǎng)的難能素材．但許多數(shù)學問題沒有給出思維過程，有些解答使人感到不夠自然，突如其來．問題提的再好，如果問題的解答沒有給人任何思維的啟迪和思想的感悟，就失去了好問題的教育價值．解決難度較大的數(shù)學問題，往往需要提出某個假設(shè)或引理，構(gòu)建函數(shù)是提出假設(shè)和引理的有效途徑之一．本文以數(shù)學問題中的不等式為例，通過構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、圖像、單調(diào)性、最值、極值等合乎情理地探尋不等式證明思路，以發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng)．

問題1正數(shù)a、b、c滿足a+2b+3c≤abc，求5a+22b+c最小值(數(shù)學問題2080[2])．

原解概要本問題難度較大，引起了許多中數(shù)研究者的關(guān)注和探究．問題由黃兆麟老師提供，由于他是在賦予a，b，c具體值的情況下設(shè)置本問題，可根據(jù)已知a、b、c值和均值不等式取等號的條件，對式子進行變形配湊后用均值不等式求出最值[3]．但在外人看來這種變形分拆神秘莫測，知其然不知其所以然．王淼生、楊先義、張青山等老師通過待定系數(shù)法、算術(shù)平均不等式、加權(quán)冪平均不等式等方法進行探究，雖然揭開了黃老師解題的神秘面紗，但都涉及到多元高次方程，求解過程十分艱難[4][5][6]．下面通過構(gòu)建函數(shù)既輕松解決問題又開啟新的思維方式．

方法提煉對某些多元不等式，可視其中兩個元為變量(其它元為常量)構(gòu)建函數(shù)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、圖像與性質(zhì)解決問題．

方法提煉對某些關(guān)于a，b，c式子的最值，可先構(gòu)建關(guān)于某個字母為自變量的函數(shù)f(a)(或f(b),f(c))，求出最值g(b,c)(或g(a,c),g(a,b))，再構(gòu)建另一字母為自變量函數(shù)g(b)(或g(c),g(a))，求出最值h(c)(或h(a),h(b))，再求出h(c)(或h(a),h(b))最值．

問題2若a,b,c>0，aπ+bπ+cπ=3，則ae+be+ce≤3(數(shù)學問題2293[7])．

原解要點直接引入函數(shù)f(x)=exπ-πxe，此函數(shù)是如何構(gòu)建的呢？

方法提煉對某些多元對稱不等式，可根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特征，利用不等式等號成立時函數(shù)取得極值探尋不等式g(a)≥h(a)，即構(gòu)造函數(shù)f(x)=g(x)-h(x)解決問題，此方法比利用切線尋找函數(shù)的一次估計式更具有一般性．

(數(shù)學問題2329[8])

所以f(x)在(0，+∞)上遞增，從而

方法提煉對某些關(guān)于a，b，c對稱的不等式f(a,b,c)≥0(或f(a,b,c)≤0)，不妨設(shè)a≥b≥c，先構(gòu)建關(guān)于a的函數(shù)f(a,b,c)，證明f(a,b,c)具有單調(diào)性后得到f(a,b,c)≥f(b,b,c)(或f(a,b,c)≤f(b,b,c))，再構(gòu)建關(guān)于b的函數(shù)g(b,c)=f(b,b,c)，證明g(b,c)具有單調(diào)性后得g(b,c)≥g(c,c)=0(或g(b,c)≤g(c,c)=0)．

方法提煉對某些不可求和數(shù)列{an}前n項和的不等式，可構(gòu)建函數(shù)f(n)使a1=f(1),an≥f(n)-f(n-1)(或an≤f(n)-f(n-1))，n≥2．

原解要點通過變形、配湊后用5元算術(shù)—幾何平均不等式證明．也可構(gòu)建函數(shù)證明如下．

所以g′(c)≤0，g(c)在(0,3)上遞減，故

構(gòu)建函數(shù)

由上可見，有些難度較大的不等式(最值)問題，表面看似與函數(shù)無關(guān)但背后往往蘊藏著某個函數(shù)，如能揭示所隱含的函數(shù)，通過研究函數(shù)的性質(zhì)與圖像可化難為易，其優(yōu)點無需證明不等式所用的較強技巧和超出中學范圍的不等式公式．此類不等式(最值)問題不僅在《數(shù)學通報》的數(shù)學問題中頻頻出現(xiàn)，在各類競賽題和近年高考壓軸題中也時有出現(xiàn)，學生對此不知所措，束手無策，應(yīng)引起教師教學上的重視．構(gòu)建函數(shù)探尋不等式(最值)求證(解)思路的關(guān)鍵在于根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特征，或?qū)⒉坏仁阶冃无D(zhuǎn)化后構(gòu)建以某個量為自變量的函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值、切線和圖像后解決問題．構(gòu)建函數(shù)在三角、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、函數(shù)等問題中有著同樣的運用，限于篇幅不一一列舉．