基于HMM和GARCH模型的中國(guó)期貨市場(chǎng)波動(dòng)性研究

景 楠，呂閃閃，江 濤

1 上海大學(xué) 悉尼工商學(xué)院，上海 201899 2 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，廣東 深圳 518055

引言

金融是國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展的血液和重要支撐，期貨市場(chǎng)作為金融市場(chǎng)的重要組成部分，成為支持國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)持續(xù)健康發(fā)展的重要平臺(tái)。期貨市場(chǎng)存在明顯的波動(dòng)性，適度的價(jià)格波動(dòng)將增加期貨市場(chǎng)活躍度，提高整體市場(chǎng)流動(dòng)性，加快資源配置效率；而過度的波動(dòng)將嚴(yán)重阻礙市場(chǎng)的價(jià)格發(fā)現(xiàn)，降低資源配置效率，并影響宏觀經(jīng)濟(jì)的正常運(yùn)行[1-3]。此外，金融全球化的進(jìn)一步開放使中國(guó)金融市場(chǎng)受到更多沖擊，波動(dòng)率是金融資產(chǎn)投資和風(fēng)險(xiǎn)管控的重要因素[4]。對(duì)投資者而言，增強(qiáng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)效果將為投資者投機(jī)、套利、避險(xiǎn)提供決策依據(jù)[5]；對(duì)市場(chǎng)而言，增強(qiáng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)效果有助于減輕市場(chǎng)沖擊影響，促進(jìn)投資收益穩(wěn)步增長(zhǎng)[6]。因此，在一個(gè)不完全成熟的期貨市場(chǎng)中，對(duì)于市場(chǎng)波動(dòng)性的分析、估計(jì)和預(yù)測(cè)尤為重要。

根據(jù)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)的突變性、波動(dòng)率的持續(xù)性等特點(diǎn)，結(jié)合中國(guó)期貨市場(chǎng)發(fā)展現(xiàn)狀，本研究以滬深300股指期貨作為標(biāo)的，探究預(yù)測(cè)中國(guó)期貨市場(chǎng)波動(dòng)性的方法。首先，通過廣義自回歸條件異方差(generalized auto regressive conditional heteroskedasticity，GARCH) 模型計(jì)算期貨的波動(dòng)率序列；其次，利用K均值法對(duì)波動(dòng)率序列聚類得到觀察序列；再次，根據(jù)隱馬爾科夫模型(hidden Markov model，HMM) 劃分波動(dòng)率的狀態(tài)，將不同狀態(tài)對(duì)應(yīng)的收益率代入HMM-GARCH 模型，得到不同狀態(tài)下的波動(dòng)率；最后，通過波動(dòng)率指數(shù)公式計(jì)算波動(dòng)指數(shù)，用該指數(shù)測(cè)量市場(chǎng)的波動(dòng)性。本研究提出的將HMM與GARCH模型相結(jié)合的波動(dòng)性指標(biāo)計(jì)算方法，可用于測(cè)量中國(guó)期貨市場(chǎng)波動(dòng)狀況，揭示投資者對(duì)未來風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)期，為相關(guān)學(xué)者研究中國(guó)期貨市場(chǎng)波動(dòng)性提供新思路；同時(shí)，本研究的波動(dòng)率指標(biāo)為政府和投資者提供市場(chǎng)波動(dòng)性的客觀量化指標(biāo)，對(duì)于投資者的理性投資和中國(guó)期貨市場(chǎng)的繁榮穩(wěn)定發(fā)展有重要意義。

1 相關(guān)研究評(píng)述

20世紀(jì)90年代以來，隨著美國(guó)金融市場(chǎng)的波動(dòng)加大和風(fēng)險(xiǎn)加劇，投資者迫切需要對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)性進(jìn)行動(dòng)態(tài)測(cè)量，波動(dòng)率指數(shù)應(yīng)運(yùn)而生。1993年，美國(guó)芝加哥期權(quán)交易所(Chicago board options exchange，CBOE)編制和發(fā)布了基于S&P100指數(shù)的波動(dòng)率指數(shù)(volatility index，簡(jiǎn)稱為VIX指數(shù))[7]。VIX指數(shù)一經(jīng)推出便很快得到市場(chǎng)的廣泛認(rèn)同，被理論界和實(shí)務(wù)界作為測(cè)量美國(guó)股票市場(chǎng)即期波動(dòng)率和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo)。由此可見，將市場(chǎng)波動(dòng)率量化為波動(dòng)指數(shù)，可以更直觀地反映波動(dòng)率的變化。

在過去的幾十年里期貨市場(chǎng)波動(dòng)率估計(jì)模型成為實(shí)證金融學(xué)和時(shí)序計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中最為活躍的研究領(lǐng)域之一。目前，按照計(jì)算方法和應(yīng)用的不同可將波動(dòng)率的預(yù)測(cè)方法分為隱含波動(dòng)率法和歷史波動(dòng)率法兩類。第1類，隱含波動(dòng)率法[8-10]通過將期權(quán)等衍生品的市場(chǎng)價(jià)格代入其理論價(jià)格模型，反推市場(chǎng)對(duì)于未來波動(dòng)率的預(yù)期。期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格中包含了大量市場(chǎng)前瞻性信息，隱含了市場(chǎng)對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)未來波動(dòng)率的預(yù)期[11-12]。第2類，歷史波動(dòng)率法[13]假設(shè)未來是過去的延伸，基于對(duì)資產(chǎn)價(jià)格序列過去某一段時(shí)期內(nèi)波動(dòng)率的統(tǒng)計(jì)分析，試圖發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率變化的規(guī)律，從而預(yù)測(cè)未來的波動(dòng)率。

在實(shí)踐應(yīng)用中，市場(chǎng)波動(dòng)率預(yù)測(cè)方法的選擇取決于市場(chǎng)環(huán)境的成熟度和預(yù)測(cè)時(shí)間的長(zhǎng)短。CORRADO et al.[14]的研究表明，期權(quán)隱含波動(dòng)率包含的信息量隨著期權(quán)市場(chǎng)的發(fā)展得到顯著提高。在成熟市場(chǎng)中，隱含波動(dòng)率包含歷史波動(dòng)率所能反映的市場(chǎng)交易信息，而在新興市場(chǎng)中則相反。在預(yù)測(cè)時(shí)間方面，楊小玄等[15]認(rèn)為預(yù)測(cè)時(shí)間的長(zhǎng)短直接影響隱含波動(dòng)率表現(xiàn)的好壞。預(yù)測(cè)時(shí)間較短時(shí)，隱含波動(dòng)率反映信息的能力不及歷史波動(dòng)率，導(dǎo)致隱含波動(dòng)率的預(yù)測(cè)能力也不及歷史波動(dòng)率。因此，在不同的期貨市場(chǎng)中，需要根據(jù)市場(chǎng)的成熟度和預(yù)測(cè)期限確定具體使用哪種方法。國(guó)外波動(dòng)率指數(shù)的編制均基于成熟的期權(quán)市場(chǎng)交易，因而可根據(jù)波動(dòng)率預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)選擇采用隱含波動(dòng)率法或歷史波動(dòng)率法預(yù)測(cè)市場(chǎng)未來波動(dòng)。而在中國(guó)，2015年2月9日上證50ETF期權(quán)合約品種剛剛上市交易，還沒有正式推出基于滬深300的股指期權(quán)，具有期權(quán)性質(zhì)的權(quán)證也于2011年8月告別市場(chǎng)，因此與隱含波動(dòng)率法相比，歷史波動(dòng)率法更適用于計(jì)算中國(guó)期貨市場(chǎng)的波動(dòng)性。

歷史波動(dòng)率法包括ENGLE[16]在1982年首次提出的自回歸條件異方差(auto regressive conditional heteroskedasticity，ARCH) 模型和BOLLERSLEV[17]提出的廣義自回歸條件異方差模型。GARCH模型是ARCH模型的推廣，其在ARCH模型的基礎(chǔ)上加入了對(duì)過去時(shí)期的預(yù)測(cè)方差，即誤差項(xiàng)條件方差的滯后期，更能反映實(shí)際數(shù)據(jù)中的長(zhǎng)期記憶性質(zhì)，是專門針對(duì)金融數(shù)據(jù)的回歸模型。在基于歷史波動(dòng)率法的波動(dòng)率預(yù)測(cè)研究中，王佳妮等[18]以1999年至2004年歐元、日元、英鎊、澳元等4種貨幣兌美元的收市價(jià)為數(shù)據(jù)，用GARCH模型對(duì)外匯市場(chǎng)的波動(dòng)性進(jìn)行預(yù)測(cè)評(píng)估，發(fā)現(xiàn)GARCH模型比ARCH模型預(yù)測(cè)效果好；黃海南等[19]以上證指數(shù)收益率為數(shù)據(jù)樣本，通過GARCH族模型對(duì)其進(jìn)行全面估計(jì)和樣本外預(yù)測(cè)，用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率作為波動(dòng)率預(yù)測(cè)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，通過M-Z回歸和損失函數(shù)評(píng)價(jià)GARCH族模型的波動(dòng)率預(yù)測(cè)表現(xiàn)，研究結(jié)果表明，GARCH族模型在樣本內(nèi)外均能較好地預(yù)測(cè)上證指數(shù)的收益波動(dòng)率；魏宇[20]認(rèn)為，傳統(tǒng)GARCH模型在預(yù)測(cè)未來的波動(dòng)率時(shí)，基于從樣本中總結(jié)得到的規(guī)律，在實(shí)際應(yīng)用中效果并不好，或出現(xiàn)過度擬合問題，對(duì)滬深300股指期貨的波動(dòng)率預(yù)測(cè)能力較差。但由于其數(shù)據(jù)來源于中國(guó)金融交易所的股指期貨仿真交易，因此該結(jié)論的普適性有待檢驗(yàn)。

在實(shí)際應(yīng)用中，傳統(tǒng)GARCH模型大都是基于離散且低頻的數(shù)據(jù)，而在金融市場(chǎng)中信息是連續(xù)影響金融市場(chǎng)的價(jià)格運(yùn)動(dòng)過程的，即收益波動(dòng)具有持續(xù)性，離散時(shí)間模型必然導(dǎo)致金融市場(chǎng)信息的缺失，無法適用于金融市場(chǎng)的結(jié)構(gòu)突變。因此，基于低頻數(shù)據(jù)的GARCH模型往往因?yàn)閾p失了大量的日內(nèi)交易信息[21-22]，造成對(duì)收益率波動(dòng)性的估計(jì)和預(yù)測(cè)存在較大的偏差，無法達(dá)到描述金融時(shí)間序列頻繁變化的目的。為解決該問題，HAMILTON et al.[23]最早提出將馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換與GARCH模型結(jié)合起來用于金融時(shí)間序列的擬合，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，馬爾科夫模型在一定程度上彌補(bǔ)了GARCH模型的弊端，兩者的結(jié)合能較好地?cái)M合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，但可能存在波動(dòng)預(yù)測(cè)值偏高、持續(xù)性過強(qiáng)的問題；HENRY[24]將帶有機(jī)制轉(zhuǎn)換的馬爾科夫鏈融入GARCH模型，構(gòu)建RS-EGARCH(regime switching-GARCH) 模型，該模型解決了早期模型中波動(dòng)預(yù)測(cè)值偏高和持續(xù)性過強(qiáng)的問題，解釋了壓力釋放效應(yīng)和波動(dòng)的非對(duì)稱性；張銳等[25]在HENRY[24]的基礎(chǔ)上提出了一種新的RS-EGARCH 模型，為了刻畫金融收益的厚尾特征可能隨時(shí)間變化的特性，該模型允許收益殘差序列分布的自由度與所處狀態(tài)相關(guān)，實(shí)證結(jié)果表明，在各種分布下，RS-EGARCH 均能得到較為精確的預(yù)測(cè)值。

然而，馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型在對(duì)模型參數(shù)估計(jì)時(shí)，需要人為地劃分波動(dòng)率狀態(tài)，以至對(duì)模型參數(shù)估計(jì)造成一定的干擾，使模型對(duì)市場(chǎng)擬合效果不佳，而隱馬爾科夫模型利用可見變量進(jìn)行客觀分類的特性彌補(bǔ)了馬爾可夫模型人為劃分波動(dòng)狀態(tài)的不足。隱馬爾科夫模型與馬爾科夫模型不同，它描述一個(gè)含有隱含未知參數(shù)的馬爾科夫過程，從可觀察的參數(shù)中確定該過程的隱含未知參數(shù)，用于探測(cè)一些引起某事件發(fā)生的隱藏事件的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率等相關(guān)信息[26]。曲大成等[27]通過歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，運(yùn)用參數(shù)和當(dāng)前觀測(cè)值對(duì)未來波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)結(jié)果與馬爾科夫模型和GARCH模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，實(shí)證結(jié)果表明隱馬爾科夫模型在滬深300指數(shù)波動(dòng)性預(yù)測(cè)中具備更高的有效性和準(zhǔn)確性。在馬爾可夫模型中，狀態(tài)對(duì)于觀察者來說是直接可見的，研究者需要人為劃分各種狀態(tài)，這樣狀態(tài)的轉(zhuǎn)換概率便是全部的參數(shù)；而在隱馬爾可夫模型中，狀態(tài)是不可見的，由算法根據(jù)可見的狀態(tài)變量進(jìn)行分類。若將HMM模型引入波動(dòng)率的計(jì)算模型中，可以在一定程度上規(guī)避了馬爾科夫模型中需要主觀分類的弊端。

綜上所述可知，在隱含波動(dòng)率法和歷史波動(dòng)率法兩種常見波動(dòng)率估計(jì)模型中，以ARCH模型和GARCH模型為代表的歷史波動(dòng)率法更適合中國(guó)期貨市場(chǎng)的成熟度和預(yù)測(cè)期限。其中，GARCH模型對(duì)歷史波動(dòng)率的預(yù)測(cè)能力相對(duì)于ARCH模型更優(yōu)秀，因而被廣泛運(yùn)用于金融市場(chǎng)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)。但是，傳統(tǒng)GARCH模型大都基于離散且低頻的數(shù)據(jù)，而信息是連續(xù)影響金融市場(chǎng)的價(jià)格運(yùn)動(dòng)過程的，即收益波動(dòng)具有持續(xù)性，離散時(shí)間模型必然導(dǎo)致金融市場(chǎng)信息的缺失，不能有效反映市場(chǎng)因結(jié)構(gòu)突變呈現(xiàn)多波動(dòng)狀態(tài)的信息。馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型能夠描述不同階段、狀態(tài)和機(jī)制下經(jīng)濟(jì)行為具有的不同特性，因此，部分學(xué)者考慮將GARCH模型與馬爾科夫模型結(jié)合，以在描述離散、低頻的金融序列結(jié)構(gòu)變化的基礎(chǔ)上更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)波動(dòng)率。然而，馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型在對(duì)模型參數(shù)估計(jì)時(shí)需要人為地劃分波動(dòng)率狀態(tài)，對(duì)模型參數(shù)估計(jì)造成一定的干擾。因此，本研究嘗試以波動(dòng)率研究中的傳統(tǒng)GARCH模型為基礎(chǔ)，結(jié)合隱馬爾科夫模型建立組合模型，即隱馬爾科夫-廣義自回歸條件異方差模型(hidden Markov-generalized auto regressive conditional heteroskedasticity，HMM-GARCH)，對(duì)中國(guó)期貨市場(chǎng)的波動(dòng)率進(jìn)行研究，并通過波動(dòng)指數(shù)的估計(jì)來反映波動(dòng)率變化。本研究的波動(dòng)率指標(biāo)可以為政府及投資者提供市場(chǎng)波動(dòng)性的客觀量化指標(biāo)，對(duì)于投資者的理性投資、中國(guó)期貨市場(chǎng)的繁榮穩(wěn)定發(fā)展有重要意義。

2 基礎(chǔ)模型

2.1 GARCH模型

GARCH模型被廣泛用于金融收益和風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測(cè)。ENGLE[16]提出ARCH模型分析時(shí)間序列的異方差性以后，BOLLERSLEV[17]又提出GARCH模型。GARCH模型在ARCH模型的基礎(chǔ)上對(duì)誤差的方差進(jìn)一步建模，使其更適用于波動(dòng)性的分析和預(yù)測(cè)，其分析對(duì)投資者決策的指導(dǎo)作用甚至超過了對(duì)數(shù)值本身的分析和預(yù)測(cè)[28]。

ARCH的具體模型[29]為，對(duì)于時(shí)間序列{at}，若有

(1)

在ARCH(Q)模型的基礎(chǔ)上，BOLLERSLEV[17]提出了GARCH(P，Q)模型，即

(2)

其中，P為階數(shù)；d為任意階數(shù)，d=1,2,…,P；βd為參數(shù)且大于等于0。

當(dāng)P=Q= 1 時(shí)，(2)式即可推導(dǎo)為GARCH(1，1)模型，即

(3)

近年來，關(guān)于GARCH(1，1)模型的研究逐步深入。鄭振龍等[30]對(duì)香港恒生指數(shù)期權(quán)市場(chǎng)所含信息的研究發(fā)現(xiàn)，在預(yù)測(cè)期限較短(1周)時(shí)，GARCH(1，1)模型所含信息較多，預(yù)測(cè)能力最強(qiáng)；鄒建軍等[31]選用移動(dòng)平均法、GARCH(1，1)模型和RiskMetrics分別預(yù)測(cè)上海證券交易所日收益率的波動(dòng)性，并計(jì)算每日VaR，返回式檢驗(yàn)表明，在所選的預(yù)測(cè)方法中，GARCH(1，1)模型最能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)中國(guó)上海證券交易所的風(fēng)險(xiǎn)，更適用于中國(guó)股權(quán)價(jià)值波動(dòng)率的計(jì)算。另有洪晶晶等[32]基于上證指數(shù)的實(shí)驗(yàn)表明，以標(biāo)準(zhǔn)差定義的波動(dòng)率建立的GARCH(1，1)模型的波動(dòng)率預(yù)測(cè)效果較好。本研究在研究滬深300股指期貨的短期中、低頻數(shù)據(jù)時(shí)，通過對(duì)比多個(gè)GARCH模型的赤池信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion，AIC) 結(jié)果，發(fā)現(xiàn)GARCH(1，1)模型的AIC值最小，模型最優(yōu)。因此，本研究采用GARCH(1，1)模型計(jì)算波動(dòng)率。

2.2 HMM模型

馬爾科夫模型(Markov model，MM) 是由Markov 于1913年提出的統(tǒng)計(jì)模型，可利用概率建立隨機(jī)時(shí)間序列，并用于市場(chǎng)趨勢(shì)分析[33]。作為對(duì)馬爾科夫模型的一種擴(kuò)充，隱馬爾科夫模型誕生于20世紀(jì)60年代末，其在標(biāo)準(zhǔn)馬爾科夫模型的基礎(chǔ)上，添加了可見狀態(tài)和可見狀態(tài)與隱狀態(tài)之間的概率分布。由于隱馬爾科夫模型的隱狀態(tài)不可觀測(cè)，而是需要通過計(jì)算觀測(cè)向量序列才能得到，每個(gè)觀測(cè)向量都是通過一些概率密度分布產(chǎn)生各種狀態(tài)表現(xiàn)形式，而一個(gè)概率密度分布的狀態(tài)序列可相應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)觀測(cè)向量。因此，隱馬爾科夫模型是一個(gè)雙重隨機(jī)過程[34]，經(jīng)常用于探測(cè)引起某事件發(fā)生的隱藏事件的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率等相關(guān)信息。隱馬爾科夫模型通過前向-后向算法不斷對(duì)樣本進(jìn)行調(diào)試和迭代，使其能更準(zhǔn)確地刻畫波動(dòng)率的變化狀態(tài)[35]。

在處理狀態(tài)方面，馬爾科夫模型需要主觀設(shè)定狀態(tài)，而隱馬爾科夫模型可以根據(jù)可見狀態(tài)數(shù)據(jù)運(yùn)用模型進(jìn)行隱狀態(tài)的客觀分類。郭存芝[36]的研究表明，隱馬爾可夫模型的狀態(tài)變量可以用來描述金融市場(chǎng)的正常波動(dòng)狀態(tài)和異常波動(dòng)狀態(tài)，同時(shí)不可觀測(cè)的狀態(tài)變量能夠?qū)Σ▌?dòng)的集聚現(xiàn)象給出很好的解釋。隱馬爾科夫模型的狀態(tài)鏈包括兩條，一條為可見狀態(tài)鏈，一條為隱含狀態(tài)鏈，根據(jù)轉(zhuǎn)換概率和可見狀態(tài)，可以推斷出隱含狀態(tài)的分類。基于此特性，結(jié)合現(xiàn)有模型能夠觀測(cè)到波動(dòng)率的表現(xiàn)卻不能對(duì)波動(dòng)率的結(jié)構(gòu)突變進(jìn)行準(zhǔn)確判斷的現(xiàn)狀，本研究將隱馬爾科夫模型引入波動(dòng)率模型，構(gòu)建HMM-GARCH 的組合模型，對(duì)中國(guó)期貨市場(chǎng)的結(jié)構(gòu)突變特征進(jìn)行捕捉和刻畫。

具體而言，一個(gè)隱馬爾科夫模型可以用一個(gè)五元組(S,V,A,B,δ) 表示[37]。

(1)隱藏的狀態(tài)集合

S為隱狀態(tài)集合，S= {s1,s2,…,sN}，并記t時(shí)刻的狀態(tài)為qt，qt∈ {s1,s2,…,sN}，si為隱狀態(tài)，1 ≤i≤N，N為隱狀態(tài)數(shù)目。

(2)觀察符號(hào)集合

V為所有觀察符號(hào)的集合，V= {v1,v2,…,vM}，vk為觀察符號(hào)，1 ≤k≤M，M為每一個(gè)狀態(tài)的不同符號(hào)數(shù)。

(3)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分布

A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，A= {ai,j}，ai,j為由一個(gè)表現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)表現(xiàn)狀態(tài)的概率，ai,j=p(qt+1=sj|qt=si)，1 ≤i≤N，1 ≤j≤N，p(·)為條件概率。

(4)i狀態(tài)中可觀察符號(hào)的概率分布

B為觀測(cè)概率矩陣，B= {bi(k)}，bi(k) 為在隱狀態(tài)為si時(shí)對(duì)應(yīng)觀察符號(hào)為vi的概率，bi(k) =p(ot=vk|qt=si)，1 ≤k≤M，1 ≤i≤N，ot為在t時(shí)刻的觀察值。

(5)初始狀態(tài)概率分布

δ為初始狀態(tài)概率向量，δ= {δi}，δi為初始狀態(tài)為si的概率，δi=p(q0=si)，1 ≤i≤N。

一個(gè)隱馬爾可夫模型完全由A、B、δ確定，為了方便，簡(jiǎn)記為λ=(A,B,δ)。

2.3 Baum-Welch 算法

本研究采用Baum-Welch 算法解決HMM模型中的參數(shù)估計(jì)問題，具體思想是：給定一個(gè)觀察序列O，調(diào)整模型參數(shù)λ，使產(chǎn)生觀察序列的概率Prob(O|λ) 最大[38-39]。根據(jù)前向變量和后向變量的定義，推出前向變量和后向變量的混合概率公式為

(4)

其中，t為當(dāng)前狀態(tài)的時(shí)刻，也作為樣本的序號(hào)，1 ≤t≤T-1，T為總時(shí)間長(zhǎng)度，即樣本總數(shù)；αt(i) 為前向變量；βt+1(j) 為后向變量；bj(ot+1) 為j狀態(tài)觀察值為ot+1的概率；ot+1為(t+1) 時(shí)刻的觀察值。

實(shí)際上，在給定的觀察序列有限時(shí)，不存在一個(gè)最佳的方法來估計(jì)，只能找到某些方法，讓參數(shù)在特定的幾個(gè)性能上有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。Baum-Welch 算法利用遞推的思想，使條件概率局部最大，并得到模型參數(shù)的估計(jì)值。具體訓(xùn)練步驟如下：

定義εt(i,j) 為t時(shí)刻狀態(tài)為si、(t+1) 時(shí)刻狀態(tài)為sj的概率，εt(i,j) =Prob(qt=si,qt+1=sj|O,λ)。根據(jù)前向 - 后向算法可推出

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

通過隱馬爾科夫模型的訓(xùn)練，可以得到符合預(yù)期的波動(dòng)率狀態(tài)的劃分結(jié)果。一方面，證明了本研究將HMM模型引入中國(guó)期貨市場(chǎng)波動(dòng)率研究有利于后續(xù)工作的展開；另一方面，HMM的訓(xùn)練為對(duì)結(jié)構(gòu)突變前后不同狀態(tài)的波動(dòng)率建模提供了基礎(chǔ)。

3 基于HMM-GARCH 模型的金融市場(chǎng)波動(dòng)性計(jì)算模型

本研究基于隱馬爾科夫-廣義自回歸條件異方差模型研究中國(guó)期貨市場(chǎng)波動(dòng)性，具體研究思路見圖1。以滬深300股指期貨作標(biāo)的，①通過GARCH模型計(jì)算期貨的波動(dòng)率序列；②利用K均值聚類法對(duì)波動(dòng)率序列聚類得出觀察序列；③根據(jù)HMM模型劃分波動(dòng)率的狀態(tài)，將不同狀態(tài)對(duì)應(yīng)的收益率代入HMM-GARCH 模型中，得到不同狀態(tài)下的波動(dòng)率；④通過VIX公式計(jì)算波動(dòng)指數(shù)，用該指數(shù)測(cè)量市場(chǎng)的波動(dòng)性。

圖1研究思路
Figure 1Research Method

3.1 HMM-GARCH模型

假定rt為收益率序列，t=1,2,…,T-1，對(duì)該序列建立一個(gè)隱馬爾科夫模型。

假設(shè)下一個(gè)交易日的波動(dòng)情況只與今天的波動(dòng)情況有關(guān)，則期貨市場(chǎng)的收益率時(shí)間序列服從馬爾科夫過程，將其構(gòu)造成一個(gè)馬爾科夫鏈，對(duì)其進(jìn)行模擬。由于波動(dòng)只能向某一個(gè)時(shí)刻的下一個(gè)時(shí)刻進(jìn)行轉(zhuǎn)移，因此僅使用一步轉(zhuǎn)移概率作為統(tǒng)計(jì)特征，即Prob(rt+1|rt)。

(10)

當(dāng)收益率序列處于j狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)的觀察值概率矩陣為B，B={bj(k)}，bj(k) =p(rt=vk|qt-1=si)，vk∈ ( -∞, +∞)。本研究模型中假設(shè)觀察值概率分布為高斯分布。初始化分布為δ，δ={δ1,δ2}。

為敘述方便，隱馬爾科夫模型參數(shù)記為λ，λ=(A,B,δ)。本研究將Baum-Welch 算法用于可觀測(cè)收益率序列，從而估計(jì)模型的未知參數(shù)λ，并通過Viterbi 算法[40]估算各收益率序列對(duì)應(yīng)的隱狀態(tài)序列。

建立HMM-GARCH(1，1) 模型。

均值方程為

(11)

條件方差方程為

(12)

本研究運(yùn)用損失函數(shù)對(duì)模型的模擬效果進(jìn)行評(píng)估，進(jìn)而比較HMM-GARCH 與GARCH 模型所擬合波動(dòng)率的精確度。損失函數(shù)用來測(cè)量波動(dòng)率模擬值與實(shí)際值之間的差距，損失函數(shù)值越小，擬合波動(dòng)率越接近實(shí)際波動(dòng)率。由于實(shí)際波動(dòng)率未知，因此本研究使用近似收益率替代實(shí)際波動(dòng)率進(jìn)行比較[41]。用到的兩個(gè)損失函數(shù)為

(13)

(14)

其中，MAD為平均絕對(duì)誤差，MSE為平均平方誤差。

3.2 基于HMM-GARCH 模型的VIX計(jì)算

基于FERNANDES et al.[42]提到的VIX指數(shù)計(jì)算方法，本研究將HMM-GARCH 模型中得出的預(yù)測(cè)波動(dòng)率放大100倍，并且對(duì)近月波動(dòng)率和次近月波動(dòng)率進(jìn)行加權(quán)平均，計(jì)算距到期日時(shí)間為30天的加權(quán)平均波動(dòng)率指數(shù)。

VIX指數(shù)計(jì)算公式為

(15)

其中，T1為數(shù)據(jù)樣本中各月的近月合約交割時(shí)間在1年中所占比例，T2為數(shù)據(jù)樣本中各月的次近月交割時(shí)間在1年中所占比例。根號(hào)中第1項(xiàng)為近月波動(dòng)率，記為VIX1；第2項(xiàng)為次近月波動(dòng)率，記為VIX2。

(1)NT和U的單位都是分鐘。NT30為30天的總分鐘數(shù)，具體為30天 ×24小時(shí) ×60分鐘；NT365為1年中的總分鐘數(shù)，具體為365天 ×24小時(shí)×60分鐘；U1為當(dāng)前時(shí)間距離近月交割時(shí)間所剩的分鐘數(shù)；U2為當(dāng)前時(shí)間距離次近月交割時(shí)間所剩的分鐘數(shù)。

(2)R為指數(shù)期權(quán)合約剩余到期時(shí)間在1年中所占比例。計(jì)算公式為

(16)

其中，M當(dāng)天為當(dāng)前時(shí)間到24點(diǎn)剩余的分鐘數(shù)；M到期日為從到期日的0點(diǎn)到到期日上午8點(diǎn)30 分的分鐘數(shù)；M其他時(shí)間為從今天24點(diǎn)到到期日當(dāng)天0點(diǎn)的分鐘數(shù)。另外，為了避免由于距離交割時(shí)間過近出現(xiàn)異常波動(dòng)，影響所得指數(shù)的準(zhǔn)確性，要求當(dāng)前時(shí)間距離近月交割時(shí)間必須滿足至少7天，若到期日不足7天，則近月和次近月均往后順移，即以次近月的交割時(shí)間距離作為近月交割時(shí)間距離，以此類推。

通過計(jì)算每日波動(dòng)率指數(shù)得到代表一段時(shí)間內(nèi)期貨市場(chǎng)波動(dòng)性的指數(shù)序列，并形成波動(dòng)走勢(shì)圖，以波動(dòng)走勢(shì)圖為一段時(shí)間內(nèi)標(biāo)的價(jià)格走勢(shì)、波動(dòng)情況的參考。

4 實(shí)證分析

4.1 數(shù)據(jù)描述

本研究選擇中國(guó)金融期貨交易所推出的滬深300股指期貨作為標(biāo)的指數(shù)，選取在2015年5月至2016年4月交易日中的每小時(shí)收盤價(jià)共1 225個(gè)數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)樣本，按30個(gè)交易日為時(shí)間窗口，分別計(jì)算滬深300股指期貨在該時(shí)間段內(nèi)每月的近月波動(dòng)率指數(shù)。滬深300股指期貨的編制目標(biāo)是準(zhǔn)確有效地反映中國(guó)金融市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)的情況以及整個(gè)金融市場(chǎng)的運(yùn)行情況，是能夠較全面地反映中國(guó)A股整體走勢(shì)的指數(shù)[43]。相關(guān)研究表明，滬深300股指期貨走勢(shì)與滬深300指數(shù)相關(guān)程度高，對(duì)市場(chǎng)信息的反應(yīng)更迅速，并且300股指期貨領(lǐng)先滬深300指數(shù)[44-46]。因此，以滬深300股指期貨合約作為未來市場(chǎng)波動(dòng)預(yù)測(cè)指標(biāo)的計(jì)算依據(jù)具有一定的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。

4.2 統(tǒng)計(jì)特性分析

本研究探究期貨每日收盤價(jià)對(duì)應(yīng)的收益率的分布函數(shù)，為波動(dòng)性計(jì)算奠定基礎(chǔ)。考慮到正態(tài)分布的普遍性和可行性，假設(shè)收益率符合正態(tài)分布。

計(jì)算偏度、峰度和J-B統(tǒng)計(jì)量，這3個(gè)統(tǒng)計(jì)量在很大程度上反映收益率是否呈正態(tài)分布，結(jié)果見表1。

表1 數(shù)據(jù)樣本的描述性統(tǒng)計(jì)Table 1 Descriptive Statistics for Data Sample

本研究繪制滬深300股指期貨樣本數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)收益率走勢(shì)圖，見圖2。由圖2可知，收益率序列在一段時(shí)間內(nèi)波動(dòng)較小，在某些時(shí)刻波動(dòng)較大，說明收益率序列具有聚集性，不符合正態(tài)分布。

圖2 對(duì)數(shù)收益率走勢(shì)圖Figure 2 Trend Chart of Logarithmic Return

殘差平方值可以對(duì)ARCH效應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，如果殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，自相關(guān)系數(shù)(AC)和偏自相關(guān)系數(shù)(PAC)在所有的滯后階數(shù)均為0，且Q統(tǒng)計(jì)量也不顯著；否則說明序列中存在ARCH效應(yīng)。表2給出2015年5月至2016年4月滬深300股指期貨交易日每小時(shí)收盤價(jià)對(duì)數(shù)收益率的殘差平方情況。

由表2可知，AC、PAC值不為0且Q統(tǒng)計(jì)量顯著，因此收益率序列具有ARCH效應(yīng)，可以應(yīng)用GARCH模型。

4.3 GARCH

1987年，為解決時(shí)間序列定階問題，赤池弘次提出赤池信息準(zhǔn)則(AIC)[47]，模型的該值越小，表明該模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合情況越好。AIC的誕生有效解決了在多個(gè)可供選擇的模型中選定最優(yōu)模型的問題[48]。本研究通過對(duì)比多個(gè)GARCH模型的AIC值，發(fā)現(xiàn)GARCH(1,1)模型更適用于本研究數(shù)據(jù)樣本。對(duì)比結(jié)果見表3。

表2 對(duì)數(shù)收益率的殘差平方值Table 2 Residual Square of Logarithmic Return

表3 不同模型下的AIC 值Table 3 AIC Value of Different Models

注：L為對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，括號(hào)內(nèi)數(shù)據(jù)為t檢驗(yàn)值，AIC值取自然對(duì)數(shù)。

由表3可知，AIC值隨著滯后階數(shù)的增大而增大，GARCH(1,1)模型的AIC值最小，模型最優(yōu)。因此，本研究運(yùn)用GARCH(1，1)模型分別計(jì)算2015年5月至2016年4月滬深300股指期貨的近月波動(dòng)率，以2015年5月的近月波動(dòng)率為例給出計(jì)算過程。

取IF1505(交割時(shí)間為2015年5月的期貨合約)從2015年4月30日15:15的收盤價(jià)到5月15日15:15的收盤價(jià)和IF1506(交割時(shí)間為2015年6月的期貨合約)從2015年5月18日10:15的收盤價(jià)到5月29日15:15的收盤價(jià)作為計(jì)算5月近月波動(dòng)率的樣本。其中，取2015年4月29日最后1小時(shí)的收盤價(jià)計(jì)算5月第1個(gè)交易日第1個(gè)小時(shí)的波動(dòng)率。由于近月合約的交割日為每個(gè)月第3個(gè)周五，如果離交割日不到7天，近月合約和次近月合約順移，因此5月的近月合約交易價(jià)格從5月4日至5月15日取IF1505的交易價(jià)格、5月18日至29日取IF1506的交易價(jià)格。隨后，對(duì)該樣本中的收盤價(jià)建立對(duì)數(shù)收益率序列，并對(duì)該收益率序列去均值化，用去均值化后的收益率序列建立GARCH(1，1)模型，計(jì)算得出5月近月的波動(dòng)率序列。

將收益率導(dǎo)入EViews 8.0 中形成時(shí)間序列，在其Method 工具包中選擇GARCH 模型，即可得到GARCH 模型的描述性統(tǒng)計(jì)量，見表4。

表4 GARCH模型描述性統(tǒng)計(jì)Table 4 Descriptive Statistics of GARCH Model

由表4可知(3)式差分方程為

(17)

4.4 損失函數(shù)的比較

為比較模型與實(shí)際樣本的擬合程度，結(jié)合兩種模型估計(jì)得出的波動(dòng)率，通過MAD和MSE兩種損失函數(shù)觀察比較結(jié)果，損失函數(shù)比較結(jié)果見表5。

表5 損失函數(shù)比較Table 5 Comparison of Loss Function

由表5可知，HMM-GARCH 模型的兩種損失函數(shù)值均比GARCH模型的低。損失函數(shù)的數(shù)值越小，代表損失和錯(cuò)誤越少。通過比較HMM-GARCH 模型和GARCH 模型的MAD和MSE可知，HMM-GARCH 模型對(duì)中國(guó)期貨市場(chǎng)的波動(dòng)率預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確，更能體現(xiàn)實(shí)際波動(dòng)率的變化趨勢(shì)。

4.5 波動(dòng)率的實(shí)證計(jì)算結(jié)果

本研究取每小時(shí)滬深300股指期貨的收盤價(jià)作為數(shù)據(jù)，因此將VIX公式的單位變更為小時(shí)，基礎(chǔ)公式不變。分別計(jì)算數(shù)據(jù)樣本中各月的近月和次近月合約交割時(shí)間在一年中所占比例T1和T2，如當(dāng)前時(shí)間為2015年5月4日上午10點(diǎn)15分，則

M當(dāng)天=當(dāng)前時(shí)間到24點(diǎn)剩余的小時(shí)

=24:00-10:15 =13.750小時(shí)

M到期日=到期日的0點(diǎn)到到期日上午8:30的小時(shí)數(shù)

=8:30-0:00 =8.500小時(shí)

M其他時(shí)間(近)=今天24點(diǎn)到近月交割時(shí)間當(dāng)天0點(diǎn)的小時(shí)數(shù)

=2015年5月15日00:00 -2015年5月4日24:00 =240小時(shí)

M其他時(shí)間(次近)=今天24點(diǎn)到次近月交割時(shí)間當(dāng)天0點(diǎn)的小時(shí)數(shù)

=2015年6月19日00:00 -2015年5月4日24:00 =1 080小時(shí)

則

將得到的兩個(gè)波動(dòng)率加權(quán)平均處理，并擴(kuò)大100倍作為波動(dòng)率指數(shù)。例如，在2015年5月4日上午10點(diǎn)15分的波動(dòng)率指數(shù)滿足

根據(jù)上述流程，分別計(jì)算本研究滬深300股指期貨數(shù)據(jù)樣本各時(shí)段的波動(dòng)率指數(shù)。

根據(jù)GARCH模型的特性，本研究預(yù)測(cè)到的波動(dòng)率展示的是未來1個(gè)小時(shí)的波動(dòng)幅度。圖3給出本研究對(duì)滬深300股指期貨波動(dòng)率指數(shù)的預(yù)測(cè)情況，圖4給出滬深300股指期貨實(shí)際的價(jià)格走勢(shì)。觀察圖3可知，本研究預(yù)測(cè)滬深300股指期貨將先呈現(xiàn)一段時(shí)間的小幅頻繁波動(dòng)，此后波動(dòng)幅度加大，而后一段時(shí)間內(nèi)波動(dòng)幅度保持較高水平并呈增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，最終繼續(xù)轉(zhuǎn)為大幅跳躍性波動(dòng)。對(duì)比兩圖發(fā)現(xiàn)，圖3中的波動(dòng)率指數(shù)對(duì)圖4中的期貨價(jià)格波動(dòng)情況有較好的預(yù)測(cè)效果。圖4中的滬深300股指期貨價(jià)格在一段時(shí)間的小幅波動(dòng)后快速增長(zhǎng)，價(jià)格變化區(qū)間增大，而后價(jià)格大幅跳水，這與圖3的預(yù)測(cè)波動(dòng)情況相吻合。因此，本研究建立的HMM-GARCH 組合模型是有效可行的，能夠計(jì)算出與中國(guó)期貨市場(chǎng)走勢(shì)相關(guān)的波動(dòng)率。通過對(duì)中國(guó)期貨市場(chǎng)波動(dòng)性的研究，能夠反映期貨投資者對(duì)未來期貨市場(chǎng)波動(dòng)性的預(yù)期，并能起到警示大盤漲跌幅度的作用，對(duì)于現(xiàn)貨的走勢(shì)預(yù)測(cè)也有一定的參考意義。

圖3滬深300股指期貨的波動(dòng)率指數(shù)
Figure 3Volatility Index of CSI300 Index Futures

圖4 滬深300股指期貨價(jià)格走勢(shì)圖Figure 4 Price Trend Chart of CSI300 Index Futures

5 結(jié)論

本研究以滬深300股指期貨作標(biāo)的，將GARCH模型與隱馬爾科夫模型相結(jié)合計(jì)算波動(dòng)率，可規(guī)避GARCH模型本身的缺陷，并利用以隱馬爾科夫模型擬合出的隱狀態(tài)更準(zhǔn)確地計(jì)算期貨市場(chǎng)波動(dòng)率。

研究結(jié)果表明，本研究所選數(shù)據(jù)符合GARCH模型的使用條件；通過MAD和MSE兩種損失函數(shù)觀察比較GARCH模型和HMM-GARCH 模型估計(jì)得出的波動(dòng)率，從計(jì)算結(jié)果看HMM-GARCH 模型的兩種損失函數(shù)值均比GARCH模型的低，表明HMM-GARCH 模型對(duì)中國(guó)期貨市場(chǎng)的波動(dòng)率預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確，更能體現(xiàn)實(shí)際波動(dòng)率的變化趨勢(shì)。此外，基于HMM-GARCH 模型的波動(dòng)率指數(shù)計(jì)算結(jié)果表明，滬深300股指期貨由前期的小幅頻繁波動(dòng)轉(zhuǎn)為大幅跳躍性波動(dòng)，此后波動(dòng)幅度保持較高水平并呈增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，最終繼續(xù)轉(zhuǎn)為大幅跳躍性波動(dòng)，該結(jié)果能較好地反映期貨價(jià)格的波動(dòng)情況。

通過對(duì)中國(guó)期貨市場(chǎng)的研究，本研究創(chuàng)新性地提出以隱馬爾科夫模型和GARCH模型相結(jié)合的方法研究中國(guó)期貨市場(chǎng)波動(dòng)性，為相關(guān)學(xué)者研究中國(guó)期貨市場(chǎng)波動(dòng)性提供了新思路。本研究的波動(dòng)率指標(biāo)可以為政府、投資者提供市場(chǎng)波動(dòng)性的客觀量化指標(biāo)，為政府設(shè)置金融衍生品定價(jià)提供決策依據(jù)，為投資者測(cè)量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、擇取投機(jī)策略、合理配置資產(chǎn)提供參考，有助于培養(yǎng)投資者的投資理性，促進(jìn)中國(guó)期貨市場(chǎng)的繁榮穩(wěn)定發(fā)展。

未來研究可以擴(kuò)大波動(dòng)率的計(jì)算范圍，以獲得更加客觀的研究成果；還可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驮诓煌愋徒鹑谑袌?chǎng)中的有效性，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣固嵘栽黾幽Ｐ偷钠者m性。