一道圓錐曲線試題探究非線性目標(biāo)函數(shù)

邱鵬

[摘? ? ? ? ? ?要]? 線性規(guī)劃是高考的一個(gè)重要考點(diǎn).學(xué)生往往受“線性”二字的影響，遇到非線性目標(biāo)函數(shù)就不知所措.通過一道試題解法引出非線性目標(biāo)函數(shù).總結(jié)出非線性目標(biāo)函數(shù)的類型，歸納出解題方法.在高考新形勢下，對線性目標(biāo)函數(shù)的教學(xué)引起反思.

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 非線性;目標(biāo)函數(shù);方法

[中圖分類號]? G634.6? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）35-0232-02

一、背景解讀

題目 橢圓M：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且·的最大值的取值范圍是[c2，3c2]，其中c=，則橢圓M的離心率e的取值范圍是（B）

A.[，]????????????????????????????? B.[，]

C.（，1）????????????????????????????? D.[，1）

分析：橢圓M：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，所有橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可以假設(shè)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.則·=x2+y2-c2，因此可以通過非線性目標(biāo)函數(shù)解題，得出a、b、c的不等關(guān)系，進(jìn)一步解得離心率e=的范圍.

解：由題意橢圓M：+=1（a>b>0）為焦點(diǎn)在x軸的橢圓，又橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn).

設(shè)P（x，y），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），所以=（-c-x，-y），=（c-x，-y），

·=x2+y2-c2.可將·=x2+y2-c2看作一個(gè)非線性目標(biāo)函數(shù).

因?yàn)閤2+y2=（x-0）2+（y-0）2可看作P（x，y）到原點(diǎn)（0，0）的距離的平方，P（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)可知：橢圓長軸上的端點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為最大值.

所以（x2+y2）max=a2，又因?yàn)閍2-c2=b2.所以·=x2+y2-c2=a2-c2=b2，由題意c2≤b2=a2-c2≤3c2，e=.解得≤e≤.

故答案選B.

二、解后反思

此題是一道圓錐曲線為背景，考察橢圓性質(zhì)和非線性目標(biāo)函數(shù)的題目.線性規(guī)劃是高考必考點(diǎn)，尤其是對目標(biāo)函數(shù)的解讀至關(guān)重要.在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)常見代數(shù)式的幾何意義往往會有三種.

第一種：z=ax+by（ab≠0）此類型目標(biāo)函數(shù)為線性目標(biāo)函數(shù);解法：將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y=-x+，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.最優(yōu)解在頂點(diǎn)或邊界取得，在此筆者不作為研究重點(diǎn).

第二種：z=表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）連線的斜率.此類型目標(biāo)函數(shù)為非線性目標(biāo)函數(shù)

第三種：z=表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離;此類型目標(biāo)函數(shù)為非線性目標(biāo)函數(shù)

高考考察非目標(biāo)函數(shù)，往往會結(jié)合考察其他知識板塊的交匯.要求學(xué)生在掌握知識的基礎(chǔ)上，會識別目標(biāo)函數(shù)特別是非線性目標(biāo)函數(shù)類型.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型解題.

三、試題鏈接

例1.已知平面向量=（1，），-=1，則的取值范圍（? ）

A.[0，1]? B.[1，3]? C.[2，4]? D.[3，4]

分析：根據(jù)題目可以設(shè)=（x，y），-==1，得出（x-1）2+（y-）2=1.則=（x，y）表示圓上的點(diǎn);=為目標(biāo)函數(shù)表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）之間的距離，可與數(shù)形結(jié)合得出答.

解：設(shè)=（x，y），則-==，又因?yàn)?=1.所以（x-1）2+（y-）2=1.則=（x，y）表示圓心（1，），半徑r=1的圓上的點(diǎn);

又因?yàn)?為目標(biāo)函數(shù)，表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）之間的距離.根據(jù)圓的性質(zhì)：max=+r=3;max=-r=1.

所以∈[1，3]

故答案選B.

例2.（2015新課標(biāo)1理15）若x、y滿足約束條件x-1≥0x-y≤0x+y-4≤0.則的最大值為 ??.

分析：根據(jù)不等式組在平面直角坐標(biāo)系中做出可行域.非線性目標(biāo)函數(shù)表示（x，y）與點(diǎn)（0，0）連線的斜率.數(shù)形結(jié)合可以解出此題.

解：根據(jù)不等式組在平面直角坐標(biāo)系中做出如圖可行域（陰影部分ABC）.

非線性目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（0，0）連線的斜率.

由圖像可知直線OA的斜率最大.

又因?yàn)閤=1x+y-4=0，得到x=1y=3，即A（1，3）.

所以KOA==3.

故答案填3.

四、教學(xué)啟示

線性規(guī)劃往往會與其他知識結(jié)合，形成綜合題，難度會變得很大.學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)候，往往受“線性”二字限制，所以我們在教學(xué)和學(xué)生的復(fù)習(xí)時(shí)需要掙脫“線性”二字，題目有可能是非線性目標(biāo)函數(shù)題.然后識別目標(biāo)函數(shù)的類型，數(shù)形結(jié)合解題.

參考文獻(xiàn)：

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[4]丁利民，李袆.2011年高考數(shù)學(xué)線性規(guī)劃試題評析和思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（5）：75-76.

◎編輯 曾彥慧