運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和積分?jǐn)?shù)學(xué)方法正確解讀運(yùn)動(dòng)圖像問(wèn)題

郭清鵬

(山東省青島第九中學(xué),山東 青島 266000)

目前,高考物理重點(diǎn)考查的5大能力包括:理解能力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰ΓP(guān)于“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”《考試說(shuō)明》是這樣敘述的:能夠根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式,進(jìn)行推導(dǎo)和求解,并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論;能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析.可見(jiàn),學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理圖像問(wèn)題,是一項(xiàng)必備能力．

物理圖像是物理規(guī)律的一種數(shù)學(xué)呈現(xiàn)方式,只有準(zhǔn)確解讀物理圖像中的信息才能正確分析和把握物理規(guī)律,高中數(shù)學(xué)的微積分知識(shí)為正確解讀高中物理圖像問(wèn)題提供了工具．物理學(xué)與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系,諾貝爾獎(jiǎng)得主、著名華裔物理學(xué)家楊振寧先生將數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系比做“雙葉”,他認(rèn)為數(shù)學(xué)和物理學(xué)像一對(duì)“對(duì)生”的樹(shù)葉,他們只在基部有很小的公共部分,多數(shù)則是相互分離的．他這樣解釋 “物理與數(shù)學(xué),有各自不同的目標(biāo)和價(jià)值判斷準(zhǔn)則,也有不同的傳統(tǒng),在它們的基礎(chǔ)概念部分令人吃驚地分享著若干共同的概念”．正是數(shù)學(xué)和物理相交叉的公共部分,為物理學(xué)的發(fā)展提供了強(qiáng)有力的工具,其中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)和積分概念就自帶“數(shù)理結(jié)合”的基因．導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過(guò)極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線(xiàn)性逼近,在運(yùn)動(dòng)學(xué)中物體的位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度,物體的速度對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的加速度．在數(shù)學(xué)上,對(duì)任意一個(gè)函數(shù)求其在某一可積分區(qū)間內(nèi)與x軸所圍成的面積的操作就是積分,積分應(yīng)用于物理學(xué)則是求解一個(gè)物理量對(duì)另一個(gè)物理量的累積效果．運(yùn)動(dòng)圖像中“面積”就可以表示縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)物理量在橫軸對(duì)應(yīng)物理量上的積累,譬如,(瞬時(shí))速度-時(shí)間圖像中的“面積”表示位移．

高中物理運(yùn)動(dòng)圖像中的信息大致可以分為“直接信息”和“間接信息”．“直接信息”是可以通過(guò)橫、縱坐標(biāo)直接判斷物理量之間關(guān)系的信息,譬如位移-時(shí)間圖中的某時(shí)刻的位移,速度-時(shí)間圖像中的某時(shí)刻的速度等．“間接信息”則是對(duì)物理規(guī)律的函數(shù)解析式進(jìn)行數(shù)學(xué)處理后,得到的物理信息,譬如位移-時(shí)間圖中的速度信息;速度-時(shí)間圖像中加速度、位移等信息;加速度-時(shí)間圖像中的速度變化量信息等．這些信息用數(shù)學(xué)中的“導(dǎo)數(shù)”和“積分”可以很方便地得到,使得某些重要物理量以精確的數(shù)學(xué)量呈現(xiàn)出來(lái),從而提升解題的準(zhǔn)確性和便捷性．

圖1

例1.一質(zhì)點(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),其速度-位移圖像為一條如圖1所示的直線(xiàn).下列說(shuō)法中正確的是

(A) 加速度增大.

(B) 加速度不變.

圖2

解析.此題所給圖像不是常見(jiàn)的速度-時(shí)間圖像,單純從物理角度很難與常見(jiàn)的物理情景對(duì)應(yīng),需要借助導(dǎo)數(shù)和積分處理圖像所描述的物理量間的關(guān)系.然后,才能進(jìn)一步分析數(shù)學(xué)處理結(jié)果的物理意義．首先,寫(xiě)出速度-位移圖像的數(shù)學(xué)解析式為v=v0+ks,其中k為圖線(xiàn)斜率,將該式兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),可得a=kv,可見(jiàn),加速度與速度成正比,加速度隨速度增加而變大,(A)選項(xiàng)正確．其次,根據(jù)加速度、速度都隨時(shí)間變大這一事實(shí),定性作出如圖2速度-時(shí)間關(guān)系圖像,其中甲為勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖像,乙為本題物體運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖像．最后,根據(jù)速度-時(shí)間圖像中圖線(xiàn)所圍成的“面積”對(duì)應(yīng)位移,相同時(shí)間內(nèi),當(dāng)曲線(xiàn)與橫軸所圍面積為st時(shí),斜線(xiàn)與橫軸所圍成的面積大于st,所以,勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的平均速度大于加速度逐漸增大的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的平均速度,(C)、(D)選項(xiàng)均錯(cuò)誤．

圖3

例2.一物體做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖3所示,圖線(xiàn)為1/4圓弧,則下列說(shuō)法正確的是

(A) 物體做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).

(B) 物體在10 s末的速度為15 m/s.

(C) 物體在20 s內(nèi)速度的平均速度為10 m/s.

解析：此題所給出的圖像雖是v-t圖像,但不是直線(xiàn)圖像,由數(shù)學(xué)知識(shí)解讀速度與時(shí)間關(guān)系,可知速度與時(shí)間應(yīng)滿(mǎn)足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

v2+t2=202.

(1)

首先,將其變形為

(2)

例3.已知一質(zhì)點(diǎn)做變加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),初速度為v0,其加速度隨位移線(xiàn)性減小的關(guān)系即加速過(guò)程中加速度與位移之間的關(guān)系滿(mǎn)足條件a=a0-ks,式中a為任一位置處的加速度,s為同一位置時(shí)的位移,a0、k為常量,求當(dāng)位移為s0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度．

圖4

2a0s0-ks02,

由以上例題可見(jiàn),由運(yùn)動(dòng)圖像寫(xiě)出物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)解析式,并對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo)和積分操作,利用“斜率”、“面積”與相關(guān)物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,是有效解決運(yùn)動(dòng)學(xué)的圖像問(wèn)題的重要方法．

值得注意的是,學(xué)生在應(yīng)用“導(dǎo)數(shù)”和“積分”解決運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“數(shù)”“理”兩張皮的情況．

圖5

例4.一個(gè)物體做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的v-t圖像,如圖5所示,試求其加速度.

要解決像這種運(yùn)用“數(shù)理結(jié)合”思想解決物理問(wèn)題中“數(shù)”“理”兩張皮的問(wèn)題,必須堅(jiān)持3個(gè)原則:數(shù)學(xué)量必須有物理量與之對(duì)應(yīng),數(shù)學(xué)操作必須符合物理規(guī)律,數(shù)學(xué)結(jié)論必須具備物理意義．涉及到運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和積分解決運(yùn)動(dòng)圖像問(wèn)題,就必須首先分析和解決好,數(shù)學(xué)的“斜率”或“面積”的物理意義問(wèn)題．

圖6

(B) 物體的初速度大小為b.

圖7

解析： 有學(xué)生認(rèn)為,速度-時(shí)間圖像中,位移對(duì)應(yīng)圖像中速度圖線(xiàn)與時(shí)間軸所圍成的“面積”,本題中,縱坐標(biāo)是位移與時(shí)間的比值,即平均速度,橫坐標(biāo)是時(shí)間,也屬于“速度-時(shí)間”圖像,位移就應(yīng)該對(duì)應(yīng)平均速度圖線(xiàn)與時(shí)間軸所圍成的“面積”,如圖7中陰影部分面積．很明顯,學(xué)生的分析過(guò)程出現(xiàn)了“面積”與“位移”的錯(cuò)誤對(duì)應(yīng)．

(1)

同時(shí),關(guān)系式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)后得到

x′(t)=v(t)=v0+at.

(2)

圖8

比較(1)、(2)兩式的可獲得兩個(gè)有用信息: ① (2)式中所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖線(xiàn)斜率是(1)式對(duì)應(yīng)函數(shù)圖線(xiàn)斜率的2倍．② (1)式的圖像中縱軸截距與(2)式圖像中縱軸截距物理意義相同——均表示物體運(yùn)動(dòng)的初速度,即v0=a．據(jù)此,可以作出v(t)=v0+a′t的圖像,如圖8中實(shí)線(xiàn)(虛線(xiàn)為平均速度與時(shí)間圖線(xiàn))．

由以上例題分析可見(jiàn),導(dǎo)數(shù)和積分的數(shù)學(xué)方法為解決圖像問(wèn)題提供有力支持,可以揭示運(yùn)動(dòng)圖像豐富的物理內(nèi)涵．在高中物理教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)理結(jié)合”的能力和理解圖像、分析圖像和應(yīng)用圖像的能力,要求學(xué)生能用合理的數(shù)學(xué)方法分析物理問(wèn)題,能用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋物理現(xiàn)象,物理量與數(shù)學(xué)量對(duì)應(yīng)關(guān)系的準(zhǔn)確把握則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,真正將“數(shù)理結(jié)合”思想融合在物理學(xué)習(xí)過(guò)程中．