用高中知識(shí)正確理解開(kāi)普勒第二定律

林棉璇

(廣寧縣廣寧中學(xué),肇慶 廣寧 526300)

在高考考試大綱里,萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用屬于二級(jí)要求,但是考綱并沒(méi)有明確開(kāi)普勒第二定律屬于哪一級(jí)要求.統(tǒng)計(jì)以往高考出卷情況,幾乎沒(méi)有涉及開(kāi)普勒第二定律的考查,而在平常測(cè)試中,開(kāi)普勒第二定律的最大應(yīng)用就是比較行星在遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)的速度大小.按照以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),很多教師是直接將開(kāi)普勒第二定律告訴學(xué)生,導(dǎo)致很多學(xué)生對(duì)此不夠重視,不能準(zhǔn)確把握開(kāi)普勒第二定律.受教學(xué)深度的限制,學(xué)生不能準(zhǔn)確理解開(kāi)普勒第二定律情有可原,但市面上一些教輔資料出現(xiàn)對(duì)開(kāi)普勒第二定律的錯(cuò)誤理解和拓展,是誤人子弟的大過(guò)錯(cuò).

粵教版高中物理必修2對(duì)開(kāi)普勒第二定律的描述是:“行星和太陽(yáng)之間的連線,在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相同的面積”;人教版高中物理必修2的描述是:“對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō),它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積”.比較而言,人教版的描述比粵教版的更明確更到位,而教輔資料對(duì)開(kāi)普勒第二定律的常見(jiàn)錯(cuò)誤解讀是,[1]認(rèn)為不同行星與太陽(yáng)的連線在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積都是相等的,如圖1所示.由此可見(jiàn),正確理解開(kāi)普勒第二定律關(guān)鍵在于明確面積是由同一顆行星還是不同行星掃出來(lái)的.筆者掌握的文獻(xiàn)資料[2]-[4],都是根據(jù)角動(dòng)量守恒、微積分、叉乘等大學(xué)知識(shí)來(lái)推導(dǎo)開(kāi)普勒第二定律,推導(dǎo)過(guò)程即使詳盡,推導(dǎo)方法卻不適用于高中生,本文避開(kāi)大學(xué)知識(shí),完全利用高中知識(shí),先論證同一顆行星與太陽(yáng)的連線掃出來(lái)的面積關(guān)系,再論證不同行星與太陽(yáng)的連線掃出來(lái)的面積關(guān)系,從面積關(guān)系入手,深入分析開(kāi)普勒第二定律,以期大家能正確理解開(kāi)普勒第二定律.

圖2

太陽(yáng)系中的兩顆行星(例如地球和海王星)的運(yùn)動(dòng)近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的軌道半徑分別為R1和R2，如圖2所示.由開(kāi)普勒第二定律可知，在相同的時(shí)間內(nèi)，地球與太陽(yáng)的連線掃過(guò)的面積S1跟海王星與太陽(yáng)掃過(guò)的面積S2相等，即S1=S2.

圖1

1 同一行星與太陽(yáng)的連線掃過(guò)的面積關(guān)系

圖2

如圖2所示,t時(shí)刻行星與太陽(yáng)的連線為r(t),經(jīng)Δt時(shí)間,行星與太陽(yáng)的連線為r(t+Δt),行星走過(guò)的軌跡為曲邊Δr=vΔt.t時(shí)刻行星速度v與r(t)的夾角為α,當(dāng)Δt→0,曲邊Δr近似為與v共線的直邊,則曲邊三角形的面積為

(1)

圖3

初中學(xué)過(guò)杠桿定理,接觸過(guò)力臂和力矩的概念.如圖3所示,繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的點(diǎn)A所受的力為F,力臂為定點(diǎn)O到力F的垂直距離d=rsinφ,則力矩

M=Fd=Frsinφ.

(2)

整理(2)式,

M=r·Fsinφ=rFy.

(3)

根據(jù)牛頓第二定律(或者動(dòng)量定理),

(4)

聯(lián)立(3)(4)式

(5)

記ΔL=rmΔvsinα,即L=rmvsinα，則

(6)

根據(jù)(5)式,力矩M可以理解為物理量L對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),即力矩M等于物理量L的變化率.事實(shí)上,物理量L被命名為角動(dòng)量.

L=rmvsinα=C(C為常數(shù)).

(7)

聯(lián)立(1)(7)式

(8)

在以上證明過(guò)程中,將太陽(yáng)換成地球,將行星換成繞地球旋轉(zhuǎn)的衛(wèi)星,同理可得,在相等Δt時(shí)間內(nèi),地球與同一衛(wèi)星的連線掃過(guò)的面積ΔS相等.太陽(yáng)相對(duì)于環(huán)繞其運(yùn)動(dòng)的行星而言,叫做中心天體,而環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的行星叫做環(huán)繞天體.同理,地球相對(duì)于環(huán)繞其運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星而言,叫做中心天體,而環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星叫做環(huán)繞天體.因此,開(kāi)普勒第二定律可以這么表述:同一環(huán)繞天體與其所繞的中心天體的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等.

2 不同行星與太陽(yáng)的連線掃過(guò)的面積關(guān)系

反思以上證明過(guò)程,由于太陽(yáng)對(duì)行星的萬(wàn)有引力力矩等于0,得出行星繞太陽(yáng)運(yùn)行過(guò)程中角動(dòng)量L是不變的量,然而,結(jié)果如表1所示.

表1

從另一個(gè)角度思考,因?yàn)槊恳粋€(gè)行星在相等時(shí)間內(nèi)各自掃過(guò)的面積保持不變,如果能比較每一個(gè)行星各自在一個(gè)公轉(zhuǎn)周期內(nèi)掃過(guò)的平均面積大小,反過(guò)來(lái)就可以比較不同行星在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積大小.

根據(jù)開(kāi)普勒第一定律,所有的行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓,高中學(xué)過(guò)橢圓面積公式

S=πab.

(9)

根據(jù)開(kāi)普勒第三定律,行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方和軌道半長(zhǎng)軸的立方成正比，

a3=k2T2，

(10)

其中k2是與環(huán)繞天體無(wú)關(guān)的常數(shù).

聯(lián)立(9)(10)式,行星在一個(gè)公轉(zhuǎn)周期內(nèi)掃過(guò)的平均面積大小

(11)

事實(shí)上,行星軌道半長(zhǎng)軸a越大,半短軸b也越大,因此,無(wú)法簡(jiǎn)單比較不同行星的在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積大小,除非已知行星

的軌道短軸和長(zhǎng)軸.

一般的,如果行星的橢圓軌道接近于圓軌道,可以將行星軌道用圓軌道近似處理.此時(shí)a=b=r,代入(11)式

(12)

根據(jù)(12)式,在不同圓軌道上的不同行星,軌道半徑越大,在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積越大.

圖4

對(duì)于圓軌道,還有另一種證明方法.如圖4所示,在圓軌道上,行星和太陽(yáng)和連線掃過(guò)的圖形是扇形,扇形面積公式

(13)

萬(wàn)有引力提供向心力

(14)

聯(lián)立(13)(14)式整理得出扇形面積

(15)

根據(jù)(12)式,在不同圓軌道上的不同行星,軌道半徑越大,在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積越大.

綜合以上的證明,開(kāi)普勒第二定律的正確理解是:同一環(huán)繞天體與其所繞的中心天體的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等;同一中心天體與其不同環(huán)繞天體的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積無(wú)法比較大小,除非已知環(huán)繞天體的軌道短軸和長(zhǎng)軸;對(duì)于圓軌道,軌道半徑越大,在相等時(shí)間內(nèi),中心天體與環(huán)繞天體的連線掃過(guò)的面積越大.