破裂孤子方程的精確解＊

蔣桂鳳

（臺州學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，浙江 臨海317000）

0 引言

隨著社會的進(jìn)步和科技的發(fā)展，在物理學(xué)、神經(jīng)學(xué)、航空學(xué)等多種學(xué)科領(lǐng)域，非線性偏微分方程的應(yīng)用越來越廣。非線性系統(tǒng)在展現(xiàn)復(fù)雜多變的自然現(xiàn)象中比線性方程更加精準(zhǔn)，研究也更有價(jià)值。為了精確地描述事物的本質(zhì)特征，研究非線性偏微分方程的精確解的解法也得到了很多的發(fā)展，許多非線性方程得到了一些精確解［1-6］。但由于非線性演化方程求解的困難，所以求解非線性方程的精確解還沒有系統(tǒng)的方法。

本文利用改進(jìn)的Kudryashov 方法，選取適當(dāng)?shù)囊浑A常微分方程來探求（2+1）維破裂孤子方程及（2+1）維Bogoyavlenskii"s 廣義破裂孤子方程的精確解。

1 研究破裂孤子方程的意義與方法

1.1 研究破裂孤子方程的意義

在自然界中存在著大量的折疊現(xiàn)象，流形中的氣泡、海浪等都是折疊波，這些現(xiàn)象都可以用破裂孤子方程來描述。近些年，該方程已被應(yīng)用到許多領(lǐng)域，破裂孤子方程的解的研究也成為了熱點(diǎn)。

許多研究者用各種方法研究破裂孤子方程，如傅海明、戴正德應(yīng)用擴(kuò)展F 展開法［7］、劉玉堂與劉玉珍利用對稱法［8］、張琳琳與劉希強(qiáng)應(yīng)用李群分析法［9］、張解放、郭冠平用齊次平衡法和推廣的hirota 雙線性方法［10］、套格圖桑與斯仁道爾吉用新輔助法［11］等。通過這些方法，破裂孤子方程的一些精確解被得到。

2012 年，Kudryashov 方法由俄羅斯數(shù)學(xué)家Nikolay A.Kudryashov 提出，目前該方法已被許多人所應(yīng)用，得到了一些偏微分方程的解［12-13］。

本文利用改進(jìn)的Kudryashov 方法，引進(jìn)簡單方程的方法，對研究的破裂孤子方程進(jìn)行化簡，求出一系列的新解，這對于研究折疊波等有重要意義。

1.2 改進(jìn)的Kudryashov方法——構(gòu)造一階常微分方程，求破裂孤子方程的精確解

若一個(gè)偏微分方程經(jīng)過行波變換化為常微分方程

則可以令方程（1）具有如下形式的精確解［14］：

其中H（ξ）滿足容易求解的一階常微分方程——Bermoulli 方程：

這里a，b 是常數(shù)。Bermoulli 方程是在化工中的流體輸送過程中最基本的方程之一，它是在連續(xù)穩(wěn)定的流體狀態(tài)下，能揭示流體流動時(shí)能量的守恒定律。

為了求得（1）的解，我們把（2）、（3）代入（1）得到以下的方程：

其中S 為整數(shù)。

當(dāng)取方程（4）的系數(shù)都為零，即m0= m1= m2= … = mS= 0 時(shí)得到一個(gè)代數(shù)方程組，求解就可以得到相應(yīng)的方程（1）的解。

為了確保得到的代數(shù)方程組中的每一個(gè)方程至少有兩項(xiàng)，我們對（4）的非線性項(xiàng)產(chǎn)生的最高次數(shù)與最高階導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的最高次冪進(jìn)行平衡，得到等式：

齊次平衡法是求非線性發(fā)展方程解的一種有效方法，現(xiàn)在，對于流體、彈性體等變形體的研究，很多都應(yīng)用了齊次平衡方法［15-16］。

2 兩類非線性微分方程的精確解

2.1 （2+1）維破裂孤子方程的精確解

1976 年Calogero 和Degasperis 提出了（2+1）維破裂孤子方程［17］：

它描述了非線性波方程的長波沿x 軸傳播，黎曼波沿y 軸傳播的相互作用。

我們假設(shè)方程（6）的精確解為：

則方程（6）化為

對方程（8）積分，取積分常數(shù)為零，得

令u" =φ(ξ)則有

由1.2 內(nèi)容知，平衡等式（5），得到

所以當(dāng)取K=2 時(shí)，有P=2，因此方程（10）具有如下的解：

其中H(ξ)滿足一階常微分方程

把（11）及（12）代入方程（10），再取H(ξ)i（i=0，1，2，3，4）的系數(shù)都為零，得到如下代數(shù)方程組：

解方程組（13），得到

所以方程（10）的解為

其中C1為積分常數(shù)。

因此（2+1）維破裂孤子方程（6）的解為：

其中ξ = x + αy + βt，C2，C3是積分常數(shù)。

2.2 （2+1）維Bogoyavlenskii"s廣義破裂孤子方程的精確解

自從O.I.Bogoyavlenskii 提出了（2+1）維破裂孤子方程的相伴AKNS 譜系以來，破裂孤子方程的研究受到了許多的研究者關(guān)注。本文研究（2+1）維Bogoyavlenskii"s 廣義破裂孤子方程：

與2.1 相同，我們假設(shè)方程（18）的解為：

則方程（18）就化為

積分兩次，取積分常數(shù)為零，得到

令u" = φ(ξ)則有

同樣由平衡等式（5）可知，當(dāng)取K=2 時(shí)，有P=2，因此方程（20）具有如下的解：

其中H(ξ)滿足方程

與2.1 方法類似，把（21）及（22）代入方程（20），再取H(ξ)i（i=0，1，2，3，4）的系數(shù)都為零，可求得

所以方程（20）的解為

即

其中C4為積分常數(shù)。

因此（2+1）維Bogoyavlenskii"s 廣義破裂孤子方程的解為：

（1）當(dāng)k1= h ＞0 時(shí)，

（2）當(dāng)k1= -h ＜0 時(shí)，

其中ξ = x + αy + βt，C5，C6是積分常數(shù)。

3 結(jié)語

總之，非線性偏微分方程是描述客觀事物非線性演化過程的數(shù)學(xué)物理方程，幾乎不存在通用的方法研究方程的解。本文借助已知能求解的常微分方程，利用改進(jìn)的Kudryashov 方法，得到了（2+1）維破裂孤子方程和（2+1）維Bogoyavlenskii"s 廣義破裂孤子方程的許多精確解。這種方法可以用來研究更多的非線性偏微分方程問題，得到它們的解。