一類發(fā)散級數(shù)階的估計

彭建華，杜 燕，范崇秀

（重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400054）

發(fā)散級數(shù)在數(shù)學(xué)史上具有重要地位，它與微積分的發(fā)展密不可分，被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)研究以及物理等其他學(xué)科中［1-2］。發(fā)散級數(shù)在函數(shù)表示或者計算中有著重要的意義。本文利用文獻［3-5］中階的估計方法，對一類發(fā)散級數(shù)的階進行了估計。

定理1設(shè)bn ＞0，且an ＝o（bn），n→∞。則有

證明由假設(shè)知，對任意ε＞0，存在M＞0，當(dāng)n＞M時，恒有

因此，對任意N＞M，有

Stolz定理在數(shù)學(xué)分析中用來證明或者計算某種類型極限時是很有用的一個定理，但在文獻［6-7］等數(shù)學(xué)分析書上關(guān)于該定理的證明都非常復(fù)雜，下面利用定理1，給出一個簡單的證明方法。

例1（Stolz定理）設(shè)數(shù)列｛yn｝單調(diào)遞增，yn→∞，n→∞則

此處假定右端的極限存在。

證明設(shè)則

對k求和，得

由于yn＋1＞yn，yn→∞，所以，由定理1可得

由此得到xn-x1＝a（yn-y1）＋o（yn）。將上式同除以yn，可得

如果a＝＋∞，則可以推得數(shù)列｛xn｝單調(diào)遞增，且xn→∞，n→∞，由已證得的結(jié)論得如果a＝-∞，推導(dǎo)過程類似。

定理2設(shè)（bn ＞0）在區(qū)間［0，1）收斂。又1-），且an ＝o（bn）（n→∞），則 有f（x）＝o（g（x）），x→1-。

證明由假設(shè)知，對任給的ε＞0，存在N，當(dāng)n＞N時，有｜an｜＜εbn，所以當(dāng)0≤x＜1時，有

由于g（x）→∞（x→1），所以存在δ＞0，當(dāng)1-δ＜x＜1時，有

定理3設(shè)（bn ＞0）在區(qū)間［0，1）收斂。又1-），且an ～bn（n→∞），則f（x）～g（x）（x→1）。

定理4設(shè)級數(shù)f（x）和g（x）＝在區(qū)間［0，1）內(nèi)收斂，令

且滿足條件

1）tn＞0；

3）sn＝o（tn），n→∞；

則有f（x）＝o（g（x）），x→1。

證明由冪級數(shù)乘法定理，得

由假設(shè)條件及定理2，得

定理5若定理4中的條件（3）換成sn～tn，則有f（x）～g（x），x→1。

例2證明：

證明由于，所以

這里γ是一常數(shù)，因此證明了n→∞。

例3 設(shè)an～lnn，n→∞，則

證明因為

例4 證明lnΓ（n）這里C為一常數(shù)。

證明 由于lnΓ（n）＝ln（（n-1）?。蕉?/p>

這里C為常數(shù)。