PMSM 中基于改進(jìn)BFO算法的無(wú)傳感器速度控制方案

孫漢卿，張世杰，王桂芝，連衛(wèi)民

（1.河南牧業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 信息工程學(xué)院，鄭州 450001；2.河南工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，鄭州 450001）

永磁同步電機(jī)（permanentmagnet synchronous motor，PMSM）［1］常用的控制系統(tǒng)有轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向控制（FOC）［2］和直接轉(zhuǎn)矩控制（DTC）［3］。這些系統(tǒng)都是根據(jù)速度控制器輸出速度信號(hào)來(lái)調(diào)節(jié)磁通和轉(zhuǎn)矩，故速度控制是整個(gè)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。目前，常用的非線性速度控制方法為比例積分（proportion integration，PI）控制器［4］。然而，傳統(tǒng)PI控制器的控制參數(shù)需要人工設(shè)定，且不會(huì)隨著環(huán)境變化而自適應(yīng)改變，不能滿足對(duì)環(huán)境的魯棒性要求［5］。為此，有學(xué)者將一些自適應(yīng)機(jī)制融入PI控制器中，例如模糊PI參數(shù)自整定控制器［6］，基于遺傳算法［7］、粒子群優(yōu)化［8］等進(jìn)化算法的PI參數(shù)自整定控制器等。

另外，對(duì)時(shí)變、非線性控制系統(tǒng)的控制，傳統(tǒng)PI控制器性能不是很好。增強(qiáng)PI控制器性能的較好方法是使用分?jǐn)?shù)階控制器［9］。分?jǐn)?shù)階PI控制器PIa中，通常I的階數(shù)為分?jǐn)?shù)階［10］。因此，除設(shè)置KP、KI外，還需設(shè)置積分的分?jǐn)?shù)階a。

基于上述分析，本文利用分?jǐn)?shù)階PI控制器代替PMSM中的PI速度控制器。通過(guò)融入粒子群優(yōu)化算法中的信息共享機(jī)制和自適應(yīng)步長(zhǎng)來(lái)改進(jìn)細(xì)菌覓食優(yōu)化（bacteria foraging optimization，BFO）算法，形成改進(jìn)型細(xì)菌覓食優(yōu)化（improved BFO，IBFO）算法，并利用IBFO算法來(lái)優(yōu)化KP、KI和a參數(shù)，以獲得最佳的控制器。另外，在適應(yīng)度函數(shù)中考慮了轉(zhuǎn)速控制的時(shí)間絕對(duì)誤差積分（integrated time absolute error，ITAE）和超調(diào)量，有利于提高控制穩(wěn)定性。通過(guò)實(shí)驗(yàn)與傳統(tǒng)PI控制器和傳統(tǒng)BFO算法優(yōu)化參數(shù)的PI控制器進(jìn)行比較，結(jié)果證明了所提出控制方法具有優(yōu)越性能。

1 PMSM 數(shù)學(xué)及控制模型

1.1 PM SM 數(shù)學(xué)模型

PMSM結(jié)構(gòu)中分為2個(gè)軸，分別為d軸和q軸，這2個(gè)軸的氣隙長(zhǎng)度和電感都不同。d軸定義為勵(lì)磁繞組的磁通產(chǎn)生方向［11］，q軸與d軸成90°。PMSM結(jié)構(gòu)如圖1描述。

圖1 PMSM的結(jié)構(gòu)

PMSM模型可以通過(guò)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（d-q軸）建模為1個(gè)電路，如圖2所示。根據(jù)電路電流和電壓關(guān)系式，d軸和q軸的定子電壓分別為：

式中：vd、id表示d軸的電壓和電流，iq、vq表示q軸電壓和電流；λd和λq分別表示2個(gè)軸的磁鏈，可通過(guò)定子電流、電感和恒定磁鏈λm來(lái)計(jì)算獲得，如式（3）（4）所示；ωe表示電機(jī)轉(zhuǎn)速，rs表示定子電阻。

式中：Ld、Lq分別為d-q軸電感。將式（3）（4）代入式（1）（2）中，定子電壓方程可修改為：

電磁轉(zhuǎn)矩Te為：

式中：Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；P表示電機(jī)極數(shù)；B為阻尼系數(shù)；J為慣性矩。

圖2 PMSM的等效電路

1.2 PMSM 無(wú)傳感器控制模型

本文中，選擇磁場(chǎng)定向控制（FOC）方式來(lái)控制電極，其系統(tǒng)框圖如圖3所示，其主要由5個(gè)模塊組成，分別為速度控制器、電流控制器、逆變器、PWM發(fā)生器和位置估計(jì)器［12］。

圖3 PMSM的磁場(chǎng)定向控制系統(tǒng)框圖

1.2.1 FOC控制模型

磁場(chǎng)定向控制的主要思想是將定子電流矢量加在q軸上，把轉(zhuǎn)子磁通加在d軸上，這意味著id（ref）＝0。為此，電磁轉(zhuǎn)矩可修改為

式中：Kt為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)。那么，在狀態(tài)空間中，PMSM方程可建模如下：

1.2.2 基于EKF的速度估計(jì)

在FOC無(wú)位置傳感器的控制系統(tǒng)中，電機(jī)的當(dāng)前速度是通過(guò)一些轉(zhuǎn)速估計(jì)算法，根據(jù)電機(jī)電流、電壓等信號(hào)進(jìn)行估計(jì)，然后將其作為實(shí)際轉(zhuǎn)速反饋到PI控制器中，如圖3所示。為此，速度估計(jì)的準(zhǔn)確性直接影響電機(jī)速度控制器的性能。本文將電機(jī)三相電流信息變換到αβ軸（兩相靜止坐標(biāo)系），然后采用基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器（EKF）來(lái)估計(jì)電機(jī)轉(zhuǎn)速。

卡爾曼濾波器（KF）是一種遞歸算法，其使用一種多輸入-輸出系統(tǒng)的隨機(jī)狀態(tài)空間模型和噪聲統(tǒng)計(jì)來(lái)獲得系統(tǒng)狀態(tài)變量的最優(yōu)估計(jì)。本文假設(shè)系統(tǒng)中的過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲均為零均值的高斯白噪聲。通過(guò)最小化估計(jì)誤差的協(xié)方差來(lái)獲得最優(yōu)的狀態(tài)估計(jì)。EKF可以實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的近似線性化，提高求解精度。PMSM 模型的離散化可表示如下：

式中：xe（k）為k時(shí)刻所估計(jì)的狀態(tài)向量，即xe＝（isα，isβ，λrα，λrβ，ωr，TL）T；z（k）為k時(shí)刻的觀測(cè)向量，即為狀態(tài)向量與輸入之間的非線性函數(shù)；ue為輸入向量；He為觀測(cè)矩陣；G為噪聲加權(quán)矩陣；v（t）為測(cè)量噪聲。

如上所述，EKF將PMSM的離散化非線性模型進(jìn)行線性化，并在線性化中對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)，表示為

2 分?jǐn)?shù)階PI速度控制器

在PMSM的磁場(chǎng)定向控制系統(tǒng)中，速度控制器是整個(gè)系統(tǒng)的核心部分，其決定著后續(xù)轉(zhuǎn)矩和勵(lì)磁的控制性能。通常速度控制器采用傳統(tǒng)PI控制，但其性能有限，且參數(shù)不能自適應(yīng)調(diào)整。近年來(lái)，越來(lái)越多的研究人員在控制領(lǐng)域使用分?jǐn)?shù)階微積分控制，分?jǐn)?shù)階微積分是處理分?jǐn)?shù)冪微分或積分算子的一種技術(shù)［12］。若設(shè)定ωref為電機(jī)的參考速度，ωact為驅(qū)動(dòng)器的實(shí)際輸出速度，那么在時(shí)域中的分?jǐn)?shù)階PI控制器PIa的表現(xiàn)形式為

控制器的輸入e（t）為速度差，表示為

式中：為分?jǐn)?shù)微分算子，表示函數(shù)f（t）的a階導(dǎo)數(shù)，定義如下：

分?jǐn)?shù)階PI控制器的傳遞函數(shù)在頻域上表示為

式中：KP和Ki為分?jǐn)?shù)階PI控制器的比例和積分增益值；a為分?jǐn)?shù)積分器的非整數(shù)階。

對(duì)于分?jǐn)?shù)階PI控制器的設(shè)計(jì)，參數(shù)KP、Ki和a決定了其上升時(shí)間（tr）、穩(wěn)定時(shí)間（ts）、峰值超調(diào)百分比（po%）和穩(wěn)態(tài)誤差（ess）。因此，要獲得良好的瞬態(tài)響應(yīng)，需要獲得合適的控制器參數(shù)組合。由于這些參數(shù)組合的解空間較大，人工調(diào)節(jié)效率較低，所以通常采用智能優(yōu)化算法來(lái)尋找最優(yōu)參數(shù)組合。

3 基于IBFO的速度控制器參數(shù)優(yōu)化

3.1 參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)架構(gòu)

本文將分?jǐn)?shù)階PI速度控制器中的3個(gè)參數(shù)KP、Ki和a作為優(yōu)化對(duì)象。提出一種改進(jìn)型BFO算法（IBFO），基于速度差信息來(lái)優(yōu)化控制器參數(shù)，以此來(lái)提高速度控制的準(zhǔn)確性。基于IBFO的速度控制器的系統(tǒng)框架如圖4所示。

圖4 PI速度控制器參數(shù)優(yōu)化框架

通常，PI控制器參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為轉(zhuǎn)速控制的時(shí)間絕對(duì)誤差積分（ITAE）［13］，表示為

為綜合考慮速度超調(diào)情況，本文在目標(biāo)函數(shù)中融入了超調(diào)量σ，σ由速度峰值與參考速度的比值來(lái)計(jì)算。這樣有利于PI控制器產(chǎn)生更小的超調(diào)量和振蕩。那么，最終的目標(biāo)函數(shù)O的表達(dá)式為

式中：w為權(quán)重因子，用來(lái)權(quán)衡ITAE與超調(diào)量的比重。這里，由于ITAE反映速度控制的穩(wěn)定性，相對(duì)而言比超調(diào)量更為重要，所以本文設(shè)置w為0.3。另外，目標(biāo)函數(shù)值越大說(shuō)明該參數(shù)組合下控制器的性能越低。

3.2 傳統(tǒng)細(xì)菌覓食優(yōu)化算法（BFO）

BFO是由人類(lèi)大腸中“大腸桿菌”覓食行為而啟發(fā)的一種新型智能優(yōu)化方法。在這種覓食理論中，細(xì)菌以單位時(shí)間內(nèi)攝入能量最小化的方式來(lái)搜索并獲得營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)，細(xì)菌會(huì)通過(guò)趨化性行為聚集到營(yíng)養(yǎng)豐富的區(qū)域。BFO算法中細(xì)菌覓食步驟主要分為3個(gè)部分，分別為趨向性操作、繁殖操作和遷徙操作［14］。

趨向性操作：趨向性操作中包含2個(gè)基本操作，即旋轉(zhuǎn)和游動(dòng)［15］，細(xì)菌在覓食過(guò)程中通過(guò)這些操作逐步移動(dòng)到食物源處。游動(dòng)操作是細(xì)菌根據(jù)上一步的方向進(jìn)行游動(dòng)。而旋轉(zhuǎn)操作中，細(xì)菌會(huì)根據(jù)當(dāng)前方向上位置和上一步位置的適應(yīng)值旋轉(zhuǎn)方向，朝其他隨機(jī)方向游動(dòng)。

繁殖操作：細(xì)菌繁殖過(guò)程中，根據(jù)細(xì)菌的適應(yīng)度，淘汰一些尋優(yōu)能力較弱的細(xì)菌，并復(fù)制相應(yīng)數(shù)量的較優(yōu)細(xì)菌進(jìn)行替換。繁殖過(guò)程中產(chǎn)生的較優(yōu)細(xì)菌副本具有與本體相同的屬性。

遷徙操作：菌群經(jīng)過(guò)若干代繁殖后，將以給定概率執(zhí)行遷徙操作，移動(dòng)到新的尋優(yōu)空間，以此使細(xì)菌進(jìn)行全局尋優(yōu)，避免陷入局部最優(yōu)。

通常，細(xì)菌i在經(jīng)過(guò)第j輪趨向性行為、第k輪繁殖行為和第l輪遷徙行為后的位置用θi（j，k，l）來(lái)表示。

3.3 提出的改進(jìn)型BFO算法（IBFO）

在傳統(tǒng)BFO算法中隨機(jī)生成旋轉(zhuǎn)操作的方向，隨機(jī)方向會(huì)導(dǎo)致收斂到全局最優(yōu)解的速度變慢。在IBFO算法中，利用了PSO具有良好的社會(huì)信息交換能力，使旋轉(zhuǎn)行為中的方向根據(jù)全局最佳位置和每個(gè)細(xì)菌的個(gè)體最佳位置來(lái)決定，而不是隨機(jī)確定。在趨化循環(huán)中，游動(dòng)方向的更新公式為

式中：φ（j）表示細(xì)菌在第j次趨向性操作中的方向；pbest為每個(gè)細(xì)菌的個(gè)體最佳位置；gbest為菌群的全局最佳位置；C1、C2為學(xué)習(xí)因子，通常設(shè)置為2；wφ為慣性權(quán)重，決定對(duì)上一個(gè)方向的繼承程度。IBFO算法的流程和具體步驟見(jiàn)圖5所示。

步驟1初始化參數(shù)：p、S、Nc、Ns、Nre、Ned、Ped、C（i）（i＝1，2，3，…，S）、θi。其中：p為搜索空間的維度；S為細(xì)菌總數(shù)；Nc為趨化操作的代數(shù)；Ns為最大游動(dòng)代數(shù)，Nc＞Ns；Nre為繁殖操作的代數(shù)；Ned為遷徙操作的代數(shù)；Ped為遷徙的概率；θi為第i個(gè)細(xì)菌的位置；C（i）為旋轉(zhuǎn)方向的步長(zhǎng)大小。初始化種群，生成隨機(jī)向量φ（j），其取值范圍為［-1，1］。

圖5 提出的IBFO算法的流程

步驟2遷徙循環(huán)：l＝l＋1。

步驟3繁殖循環(huán)：k＝k＋1。

步驟4趨向性循環(huán)：j＝j(luò)＋1。

對(duì)于每個(gè)細(xì)菌i（i＝1，2，3，…，S）：

1）計(jì)算細(xì)菌i的適應(yīng)度函數(shù)O（i，j，k，l）；

2）令當(dāng)前最佳適應(yīng)度Olast＝O（i，j，k，l）；

3）旋轉(zhuǎn)操作：計(jì)算旋轉(zhuǎn)方向

4）根據(jù)以下策略移動(dòng)到新位置：

5）重新計(jì)算O（i，j，k，l）；

6）游動(dòng)操作：

①設(shè)置游動(dòng)代數(shù)m＝0，計(jì)數(shù)游動(dòng)代數(shù)；

②當(dāng)m＜Ns（即沒(méi)有達(dá)到最大代數(shù)）

· 令m＝m＋1。

· 若適應(yīng)度O（i，j，k，l）＜Olast（即獲得更好的適應(yīng)度）。

· 令Olast＝O（i，j，k，l），并移動(dòng)到該位置θi（j＋1，k，l）＝θi（j，k，l）＋C（i）φ（j），計(jì)算新位置θi（j＋1，k，l）的適應(yīng)度函數(shù)值。

· 否則，令m＝Ns，循環(huán)結(jié)束。

7）如果i＜S，轉(zhuǎn)到下一個(gè)細(xì)菌（i＋1）（即返回步驟4的1）去處理下一個(gè)細(xì)菌）。

步驟5如果j＜Nc，轉(zhuǎn)步驟4，繼續(xù)趨化循環(huán)，因?yàn)榧?xì)菌的生命沒(méi)有結(jié)束。

步驟6繁殖操作：

1）對(duì)于給定的k、l，計(jì)算每個(gè)細(xì)菌i經(jīng)過(guò)趨化循環(huán)后的適應(yīng)度值用來(lái)表示該細(xì)菌i的健康度量。健康度量衡量了其整個(gè)壽命中使用了多少營(yíng)養(yǎng)，以及成功避免有毒物質(zhì)的能力。按照健康度量升序排列細(xì)菌Ohealth（更高的適應(yīng)度值意味著更低的健康值）。

2）淘汰具有較低健康值的細(xì)菌，并保留具有較高健康值的細(xì)菌進(jìn)行分裂，繁殖產(chǎn)生的副本放置在與其父本相同的位置。

步驟7如果k＜Nre，轉(zhuǎn)至步驟3。由于在這種情況下未達(dá)到指定的繁殖代數(shù)，故啟動(dòng)下一輪趨化循環(huán)。

步驟8對(duì)于細(xì)菌i，以遷徙概率Ped來(lái)移動(dòng)每個(gè)細(xì)菌，保持群體中細(xì)菌數(shù)量不變。即：若要淘汰一個(gè)細(xì)菌，則需將另一個(gè)細(xì)菌分散到該優(yōu)化域上的隨機(jī)位置即可。如果l＜Ned，則轉(zhuǎn)到步驟2；否則，結(jié)束算法。

3.4 自適應(yīng)步長(zhǎng)

BFO中，趨化性是一種覓食策略，細(xì)菌試圖爬到營(yíng)養(yǎng)濃度高的地方，并避免有害物質(zhì)。在傳統(tǒng)BFO中，趨化循環(huán)中的步長(zhǎng)是固定不變的，這使其前期尋優(yōu)速度慢且后期收斂精度低［16］。為此，本文提出了一種自適應(yīng)步長(zhǎng)，即趨化步長(zhǎng)隨著當(dāng)前適應(yīng)度值的改變而變化，使其提供更好的收斂能力。對(duì)于第i個(gè)細(xì)菌，其步長(zhǎng)C（i）表達(dá)式為

式中：ψ為大于0的常數(shù)，ji（θ）為第i個(gè)細(xì)菌的適應(yīng)度函數(shù)值。如果ji（θ）趨于0，則C（i）→0；如果ji（θ）趨于變大，則C（i）→1。這意味著處于有毒物質(zhì)附近的細(xì)菌具有較高的適應(yīng)度值。因此，需要賦予其較大的步長(zhǎng)來(lái)快速遷移到營(yíng)養(yǎng)濃度較高的地方。

4 仿真及分析

4.1 仿真設(shè)置

在Simulink環(huán)境里構(gòu)建電機(jī)模型和控制系統(tǒng)仿真，表1為構(gòu)建的PMSM模型參數(shù)。本文中，PI速度控制器的基本設(shè)計(jì)要求為峰值超調(diào)po%＜3%，上升時(shí)間tr＜0.02 s，穩(wěn)定時(shí)間ts＜0.8 s，穩(wěn)態(tài)誤差ess＜0.2。

表1 PMSM參數(shù)設(shè)置

對(duì)于分?jǐn)?shù)階PI控制器參數(shù)，設(shè)置KP的變化范圍為0～1，KI的變化范圍為0～10，α是變化范圍為0～1的分?jǐn)?shù)。

對(duì)于BFO和IBFO算法參數(shù)，設(shè)置為：S＝10、

Nc＝5、Ns＝4、Nre＝2、Ned＝2、Ped＝0.25、ψ＝180、C1＝C2＝2、wφ＝0.7。每種算法進(jìn)行100次迭代，以獲得最優(yōu)參數(shù)組合解。

4.2 速度響應(yīng)

首先，利用傳統(tǒng)梯度下降法、傳統(tǒng)BFO算法和提出的IBFO優(yōu)化算法，根據(jù)電機(jī)模型對(duì)分?jǐn)?shù)階PI速度控制系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，所獲得的最優(yōu)參數(shù)值如表2所示。為了公平比較，速度控制器均采用分?jǐn)?shù)階PI控制器。

表2 各種優(yōu)化方法所獲得的最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PI控制器參數(shù)

然后，將3種參數(shù)優(yōu)化方法所獲得的最優(yōu)參數(shù)配置到分?jǐn)?shù)階PI速度控制器中。為了驗(yàn)證這些參數(shù)的有效性，分別進(jìn)行電機(jī)啟動(dòng)和負(fù)載變化仿真，觀察控制器的性能。實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置電機(jī)啟動(dòng)時(shí)的參考速度為1 000 r／min，并在t＝1.5 s時(shí)對(duì)電機(jī)施加1個(gè)負(fù)載，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為T(mén)L＝10 N·m。3種PI速度控制器的電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6 3種參數(shù)優(yōu)化方法下的PI速度控制器速度響應(yīng)曲線

分析圖5發(fā)現(xiàn)：基于傳統(tǒng)梯度下降法的分?jǐn)?shù)階PI控制器的控制性能最差，在電機(jī)啟動(dòng)時(shí)存在較大的超調(diào)量，且穩(wěn)定到參考速度的時(shí)間較長(zhǎng)。另外，當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化時(shí)，該方法也不能較好地應(yīng)對(duì)。對(duì)于經(jīng)過(guò)傳統(tǒng)BFO參數(shù)優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階PI控制器，其在穩(wěn)定性和超調(diào)量方面要明顯優(yōu)于梯度下降法，但其穩(wěn)定速度所需的時(shí)間依然較長(zhǎng)。而通過(guò)本文提出的IBFO優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階PI控制器，其在啟動(dòng)時(shí)獲得穩(wěn)定速度所需的時(shí)間最短，且在負(fù)載變化時(shí)，對(duì)速度的影響最小，具有最好的魯棒性。

為了進(jìn)一步比較3種方法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PI速度控制器的性能，進(jìn)行3次同樣的實(shí)驗(yàn)，分別統(tǒng)計(jì)速度控制的平均上升時(shí)間、峰值超調(diào)、穩(wěn)定時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差，結(jié)果如表3所示。

通過(guò)具體的性能參數(shù)可以看出：提出的IBFO優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PI控制器在各項(xiàng)性能方面都獲得了最佳表現(xiàn)，特別是在超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差方面。這是因?yàn)?，本文在IBFO中的適應(yīng)度函數(shù)中融入了ITAE和超調(diào)量因素，并以此來(lái)獲得最佳的控制器參數(shù)。

表3 各種優(yōu)化方法下的速度控制性能指標(biāo)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種改進(jìn)型BFO算法用來(lái)優(yōu)化PMSM中分?jǐn)?shù)階PI速度控制器的3個(gè)參數(shù)，以此來(lái)提高對(duì)時(shí)變、非線性速度控制系統(tǒng)的控制性能，以及電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化的魯棒性。將所提方法與梯度下降法、BFO方法進(jìn)行比較，結(jié)果證明了所提方法在上升時(shí)間、峰值超調(diào)、穩(wěn)定時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差等方面具有較優(yōu)越的性能，也具有較高的實(shí)用價(jià)值。

本文中，速度控制器的反饋速度由傳統(tǒng)擴(kuò)展卡爾曼濾波法估計(jì)，而反饋速度的準(zhǔn)確性直接影響速度控制的性能。為了進(jìn)一步提高PMSM控制系統(tǒng)的性能，未來(lái)將考慮更先進(jìn)的速度估計(jì)方法，以進(jìn)一步提高速度控制的準(zhǔn)確性。