基于多冪次趨近律的驅(qū)鳥機(jī)器人路徑跟蹤控制研究

趙欣洋，劉志遠(yuǎn)，王化玲，晁戰(zhàn)云，初洪波

（1.國(guó)網(wǎng)寧夏電力有限公司，銀川 750000；2.山東魯能智能技術(shù)有限公司，濟(jì)南 250000；3.華通科技有限公司，河北 廊坊 065201）

隨著國(guó)家對(duì)生態(tài)環(huán)境保護(hù)力度的加大，鳥類生存范圍不斷擴(kuò)大，鳥群不斷增多，由鳥類導(dǎo)致的變電站事故層出不窮。近年來，變電站事故很多是由鳥糞引起絕緣子及其周圍電場(chǎng)的閃落，筑巢引起的線路接地故障等，電網(wǎng)的安全運(yùn)行受到了嚴(yán)重威脅［1］。因此，對(duì)由鳥類導(dǎo)致的變電站故障進(jìn)行針對(duì)性分析，并制定相應(yīng)的防治措施，研發(fā)出科學(xué)有效、環(huán)保安全的驅(qū)鳥裝置，對(duì)變電站以及輸電線路的安全保障具有重要意義。

常見的驅(qū)鳥裝置有驅(qū)鳥刺、超聲波驅(qū)鳥器、聲音驅(qū)鳥器、智能型驅(qū)鳥器等［2］。利用機(jī)器人來完成驅(qū)鳥工作不僅可以節(jié)約大量的人力物力資源，還可以增大巡檢空間，得到實(shí)時(shí)反饋信號(hào)，在判別鳥的運(yùn)動(dòng)軌跡上較大程度地增加了智能性，可實(shí)現(xiàn)多方位跟蹤驅(qū)鳥。然而，在變電站中，各種電力設(shè)備交錯(cuò)復(fù)雜，若要實(shí)現(xiàn)機(jī)器人驅(qū)鳥工作的精準(zhǔn)運(yùn)行，對(duì)其路徑進(jìn)行精準(zhǔn)控制是關(guān)鍵。在圍繞機(jī)器人路徑控制問題上，國(guó)內(nèi)外學(xué)者都進(jìn)行了大量研究，現(xiàn)有的路徑追蹤控制方法主要包括：自適應(yīng)控制法［3-6］、模糊控制法［7-9］、Backstepping法［10-12］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制法［13-14］、線性反饋化法［15-16］、滑?？刂品ǎ?7-21］等。

自適應(yīng)控制和滑?？刂频慕Y(jié)合提高了閉環(huán)系統(tǒng)的連續(xù)性，降低了外部干擾對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響，實(shí)現(xiàn)了驅(qū)鳥機(jī)器人對(duì)參考路徑的全局跟蹤［4］。唐小濤等［9］應(yīng)用反演控制算法，結(jié)合李雅普諾夫自適應(yīng)率，將系統(tǒng)分解成多個(gè)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)出一種滿足移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的控制器。賴欣等［12］針對(duì)受速度跳躍影響的移動(dòng)機(jī)器人，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的方法，提出一種能產(chǎn)生零初始速度連續(xù)平穩(wěn)機(jī)器人控制信號(hào)的算法，此種方法還可處理跟蹤誤差非常大的情況。鄭一力等［15］采用的PID控制法在一定程度上控制了機(jī)器人的方向和速度，但是在精度上達(dá)不到要求。張?chǎng)蔚龋?9］將滑?？刂坪蚏BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，一定程度提高了不確定性擾動(dòng)下的路徑跟蹤性能。

在上述控制方法中，由于移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方向、速度和路徑都是非線性的，單獨(dú)使用線性控制會(huì)造成較大誤差，因此線性控制方法一般都是結(jié)合其他非線性控制方法使用。模糊控制中控制方程的數(shù)學(xué)模型，雖然語(yǔ)言簡(jiǎn)單，但缺乏系統(tǒng)性，難以定義控制目標(biāo)；自適應(yīng)控制方法在實(shí)際運(yùn)用中難度較大，估計(jì)參數(shù)與控制精度存在較大誤差，且成本較高；反推控制方法由于是將系統(tǒng)分為不超過階數(shù)的子系統(tǒng)，然后給每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù)，這種方法設(shè)計(jì)過程較為復(fù)雜，難度較大；滑模變結(jié)構(gòu)控制法具有算法簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)、響應(yīng)速度快和可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于精度高的確定性運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中。

本文設(shè)計(jì)的驅(qū)鳥機(jī)器人為四輪驅(qū)動(dòng)的路徑追蹤式機(jī)器人，是一種典型的非完整控制系統(tǒng)，針對(duì)其運(yùn)動(dòng)受環(huán)境因素影響較大，具有變量多、非線性和耦合性強(qiáng)的特點(diǎn)。從控制角度出發(fā)，首先建立高精度的數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)傳統(tǒng)滑模控制方法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種多冪次趨近速率的滑模控制方法，以解決驅(qū)鳥機(jī)器人實(shí)時(shí)路徑跟蹤問題。該控制方法使得狀態(tài)在趨近滑模面的過程中，擁有較快的速率，且能削弱滑模變結(jié)構(gòu)控制固有的抖振，具有較高的研究?jī)r(jià)值。

1 四輪驅(qū)動(dòng)驅(qū)鳥機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 驅(qū)鳥機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型

本文所設(shè)計(jì)的驅(qū)鳥機(jī)器人模型如圖1所示，是一個(gè)典型的非完整輪式移動(dòng)機(jī)器人模型，其幾何模型如圖2所示。驅(qū)鳥機(jī)器人的4個(gè)驅(qū)動(dòng)輪安裝在不同的軸承上，其移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)方向是由直流電機(jī)提供轉(zhuǎn)動(dòng)所需的扭矩來實(shí)現(xiàn)的。采用四輪驅(qū)動(dòng)，相較于兩輪，其優(yōu)點(diǎn)在于提高了移動(dòng)機(jī)器人的通過性、爬坡性、轉(zhuǎn)彎性能、啟動(dòng)和加速性能以及直線行駛穩(wěn)定性。

圖1 驅(qū)鳥機(jī)器人模型

圖2 驅(qū)鳥機(jī)器人幾何模型

假定機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)位于質(zhì)心，忽略輪子的摩擦力，由圖2可知其運(yùn)動(dòng)方程為

其中J（θ）∈R3×2，v∈R2分別代表滿秩的速度變換矩陣和速度向量；v（t）∈R表示機(jī)器人質(zhì)心的線速度；ω（t）∈R表示機(jī)器人質(zhì)心的角速度。

由于不考慮輪子的摩擦力，假設(shè)為純滾動(dòng)狀態(tài)，則可以得到

為了確定跟蹤控制問題，本文給移動(dòng)機(jī)器人設(shè)置了軌跡參考值為

其中：qr（t）＝［xr（t）yr（t）θr（t）］T∈R3表示期望的時(shí)變位置和方向軌跡；vr（t）＝［xr（t）ωr（t）］T∈R2表示參考的時(shí)變線速度和角速度。

在式（3）中，構(gòu)造vr（t）是為了產(chǎn)生所需的笛卡兒路徑qr（t）。在實(shí)際應(yīng)用中，vr（t）＝［xr（t）ωr（t）］T和它的導(dǎo)數(shù)是有界且已知的。

當(dāng)q→qr或t→∞時(shí)，需要找到合適的速度控制速率vc（t）＝［xcωc］T。一般來說，軌跡追蹤問題是跟蹤一個(gè)參考移動(dòng)機(jī)器人已知的姿勢(shì)［xr（t）yr（t）θr（t）］T。因此，本文定義誤差為參考值和實(shí)際值之差，其表示為 ~q＝qr-q＝［（xr-x） （yr-y） （θr-θ）］T。

圖3 姿態(tài)誤差坐標(biāo)

qe為姿態(tài)跟蹤誤差，即參考姿態(tài)qr相對(duì)于固定在實(shí)際驅(qū)鳥機(jī)器人的框架的轉(zhuǎn)換。誤差率表示為

在確定姿態(tài)追蹤誤差后，需要為驅(qū)鳥機(jī)器人提供姿態(tài)誤差控制率。式（7）是一種常用的速度控制命令，使用倒步法，主要用于移動(dòng)移動(dòng)機(jī)器人的追蹤問題。

其中k1、k2、k3都是正常數(shù)，vr＞0。

1.2 直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

本文驅(qū)鳥機(jī)器人的4個(gè)車輪都是靠直流電機(jī)來驅(qū)動(dòng)，且通過改變左右兩側(cè)驅(qū)動(dòng)輪的線速度和角速度來控制運(yùn)動(dòng)軌跡。其工作原理是：將直流電從兩電刷之間通入電樞繞組，通電后的電樞繞組在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而產(chǎn)生電磁力，從而驅(qū)動(dòng)車輪前進(jìn)。

忽略電機(jī)的電磁干擾、電樞反應(yīng)、磁飽和、磁滯損耗等因素，建立電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。

電壓平衡方程為

其中：R為電阻；L為定子電感；ε為反電動(dòng)勢(shì)；i為相電流；u為定子相電壓。

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

其中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為角速度；KT為轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

直流電機(jī)繞組的動(dòng)態(tài)方程為

其中Kε為反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)。

聯(lián)立式（8）～（10）得動(dòng)力學(xué)方程為

對(duì)式（11）進(jìn)行拉普拉斯變換得直流電機(jī)傳遞函數(shù)為

2 滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)

滑模控制結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。假設(shè)直流電機(jī)的期望角速度為ωd，實(shí)際角速度為ω，則狀態(tài)變量忽略系統(tǒng)的不確定量和其他擾動(dòng)變量，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

其中d（t）為擾動(dòng)量總和。由于采用多冪次趨近律來控制，要設(shè)計(jì)3階滑?？刂破?，即設(shè)x3為x1的積分，那么式（13）可以寫為：

再將其寫成矩陣形式，則

其中

記f（x）＝Ax＋E，g（x）＝Bu。

圖4 驅(qū)鳥機(jī)器人滑?？刂平Y(jié)構(gòu)框圖

2.1 滑模面的設(shè)計(jì)

設(shè)滑模切換函數(shù)為

其中：k1，k2，k3＞0，k1，k2，k3參數(shù)的設(shè)計(jì)必須保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)任意初始狀態(tài)都能達(dá)到滑模態(tài)，且滿足赫爾威茨（Hurwitz）條件。

對(duì)（16）求導(dǎo)得

聯(lián)立式（14）得：

2.2 趨近率的設(shè)計(jì)

考慮基于傳統(tǒng)滑?？刂破鳠o法有效去除抖振，且收斂速度慢等因素，本文采用的多冪次趨近律為

其中：ξ1＞0；ξ2＞0；ξ3＞0；ξ4＞0；α＞1；0＜β＜1。

γ的取值為

設(shè)李雅普諾夫函數(shù)為

對(duì)其求導(dǎo)有

聯(lián)立式（19）得：

由李雅普諾夫穩(wěn)定性判定定理可得，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，即在有限時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)可由初始狀態(tài)到達(dá)滑模面。且當(dāng)s＝0時(shí)，˙s＝0，即保證系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生抖振現(xiàn)象。

聯(lián)立式（18）和式（19）得

即多冪次滑?？刂破鞯目刂坡蕿?/p>

3 穩(wěn)定性分析

滑?？刂频姆€(wěn)定性考察的是所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)能否在狀態(tài)變量平面上運(yùn)行至滑模切換面，最后沿著此軌道抵達(dá)相平面原點(diǎn)，達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)。本文將傳統(tǒng)滑?？刂葡到y(tǒng)與所設(shè)計(jì)多冪次趨近律滑?？刂葡到y(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性對(duì)比分析。

圖5為兩種不同控制策略下的驅(qū)鳥機(jī)器人直流電機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)變量相圖。圖中AB段為趨近階段，BC段為滑動(dòng)階段。圖5（a）顯示：傳統(tǒng)滑?？刂频南到y(tǒng)狀態(tài)變量相圖存在滑模切換抖振區(qū)域，系統(tǒng)無法快速沿切換軌跡回到0點(diǎn)（相平面原點(diǎn)），系統(tǒng)有較大的穩(wěn)態(tài)誤差。由圖5（b）可知：本文研究的多冪次趨近律滑?？刂谱儞Q器的瞬態(tài)響應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)能夠沿切換軌跡快速回到狀態(tài)變量中心原點(diǎn)，其抖振影響較小，證明該方法的軌跡跟蹤更精確。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提出的多冪次滑?？刂品椒▽?duì)驅(qū)鳥機(jī)器人軌跡精確跟蹤的有效性，在Matlab環(huán)境中對(duì)其進(jìn)行建模仿真。所用直流電機(jī)參數(shù)為：P0＝0.2 kW，n0＝3 000 r／min，U0＝12 V，R＝0.64Ω，I0＝1.5 A，L＝10 mH，Kε＝0.037 rad／s，J＝0.06 g·m2，KT＝0.035 N·m／A?；Ｃ嫦禂?shù)分別為：k1＝1，k2＝3.5，k3＝0.05；趨近律系數(shù)分別為：ξ1＝1.2，ξ2＝0.7，ξ3＝1.4，ξ4＝0.8，α＝1.6，β＝0.8；白噪聲干擾為：d（t）＝50*rand（1，1）。

圖5 驅(qū)鳥機(jī)器人直流電機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)變量相圖

仿真結(jié)果如圖6、7所示。采用多冪次趨近律滑?？刂品椒ǎ?qū)鳥機(jī)器人可以較好地沿著理想軌跡運(yùn)動(dòng)，其位置和速度跟蹤的速度都較小，且收斂速度較快，魯棒性好，有效解決了傳統(tǒng)滑?？刂破鞑荒苋コ墩竦膯栴}，滿足驅(qū)鳥機(jī)器人所需的快速精確定位要求。

圖8為所設(shè)計(jì)的多冪次趨近律滑?？刂破髟诓煌琸值下的驅(qū)鳥機(jī)器人直流電機(jī)系統(tǒng)趨近律相軌跡圖。由趨近過程圖可以看出，隨著取值k的不斷增大，其趨近時(shí)間越短，系統(tǒng)完成滑模面切換后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)最后趨近原點(diǎn)，不存在大幅度抖振，控制效果顯著。

圖6 位置跟蹤曲線

圖7 速度跟蹤曲線

圖8 不同k值下的系統(tǒng)趨近律相軌跡圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種多冪次趨近律滑模路徑跟蹤控制方法。忽略驅(qū)動(dòng)輪所受的滑動(dòng)摩擦力，基于實(shí)際角速度和期望角速度誤差搭建并分析了驅(qū)鳥機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型，根據(jù)直流電機(jī)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)了新型滑?？刂破?，并利用李雅普諾夫定理證明了該滑?？刂葡到y(tǒng)漸進(jìn)收斂。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：相對(duì)于傳統(tǒng)的滑模控制策略，該方法魯棒性更強(qiáng)，其位置精度和速度跟蹤精度都較小，且可以削弱抖振現(xiàn)象，使得機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)跟隨理想軌跡，研究成果為變電站實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)驅(qū)鳥提供了有效依據(jù)。