追本溯源，讀懂正態(tài)分布

李艷

摘 要：生活中很多隨機現(xiàn)象都可以用正態(tài)分布來描述其統(tǒng)計規(guī)律，熟悉和掌握正態(tài)分布的性質(zhì)及應(yīng)用對概率統(tǒng)計的系統(tǒng)學習很重要。

關(guān)鍵詞：正態(tài)分布 中心極限定理

引言

正態(tài)分布是本科《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程中介紹的重要的連續(xù)型隨機變量分布之一。之所以說它重要，是因為，一方面，正態(tài)可以用來描述生活中的很多隨機現(xiàn)象，比如人的生理特征方面的身高、體重、智力等，還有產(chǎn)品的質(zhì)量分布和測量誤差等;另一方面，在滿足一定的條件下，它還是其他許多分布的極限分布;另外，本科階段所學習的參數(shù)之區(qū)間估計和假設(shè)檢驗也主要是針對正態(tài)分布進行討論的?？梢哉f，正態(tài)分布的性質(zhì)和應(yīng)用，貫穿于整個課程的教學內(nèi)容。[1]

然而課本上并沒有提及得到正態(tài)分布的來龍去脈，如此驚艷的公式，卻有種從天而降的感覺，真是應(yīng)了那句：“神說，要有正態(tài)分布，就有了正態(tài)分布;神看正態(tài)分布是好的，就讓隨機誤差服從了正態(tài)分布?！被ヂ?lián)網(wǎng)上有些相關(guān)的資料，語言生動有趣，但難免跟后續(xù)的內(nèi)容相聯(lián)系過多，導致初學者越看越迷茫。因此，對正態(tài)分布這節(jié)內(nèi)容的講解的深度和廣度就顯得很重要，在恰當?shù)牡胤街v恰當?shù)膬?nèi)容，避免正態(tài)分布成為熟悉的陌生人。[2]

一、人生若只如初見

在講正態(tài)分布之前，為了不讓學生覺得內(nèi)容枯燥突兀，可以先從生活中比較直觀的例子切入，比如關(guān)于某高校大二某班學生身高。給出數(shù)據(jù)，可以讓學生自己繪出頻率直方圖，一般情況下得到的直方圖具有中間高兩邊低的趨勢，連接每個小矩形頂部中點，可以得到一條同樣走勢的折線如圖a所示。

如果統(tǒng)計身高的學生數(shù)逐漸增多，身高區(qū)間劃分得逐漸細致，圖a中的折線會變得越來越光滑，最終形成如圖b所示的一條光滑曲線，那么自然想到這條曲線對應(yīng)的函數(shù)是什么呢，就目前所學知識，可以直接給出該曲線的方程：

其中μ，σ （>0） 為參數(shù) ，并稱以該函數(shù)為密度函數(shù)的隨機變量服從正態(tài)分布，

記作。μ是正態(tài)曲線的對稱軸，σ是拐點到的距離。

有了分布，自然要進行概率計算。由高等數(shù)學的知識可知，一般正態(tài)隨機變量落在某個區(qū)間內(nèi)的概率無法通過積分得到，那該如何去求呢？一般的概率統(tǒng)計教材上都是通過一個線性變換，令，然后證明。這里用到的證明方法從知識點上看屬于隨機變量的函數(shù)的分布，在內(nèi)容編排上屬于后續(xù)的學習內(nèi)容，從多年的執(zhí)教經(jīng)驗來看，講解這個證明過程對理解正態(tài)分布并無多大益處，可以講完隨機變量的函數(shù)的分布之后，再讓學生自己去證明。我們可以利用圖像的變換，把一般正態(tài)分布的對稱軸移到坐標系中唯一的y軸，然后令數(shù)軸上所有的點到對稱點的距離縮小σ倍，即得標準正態(tài)分布。標準正態(tài)分布地得到，既解決了一般正態(tài)隨機變量的概率計算問題，也為后續(xù)的中心極限定理做好了鋪墊。

二、千呼萬喚始出來

上一節(jié)中，我們似乎很輕松地得到了正態(tài)分布，事實上，正態(tài)分布地得到可不是天才們一拍腦門就想出來的。我們一起穿越時空，回顧那段精彩的歷史。

首先出場的大神是法國數(shù)學家棣莫弗。他所撰寫的《機遇論》是概率論發(fā)展史中很重要的一本書。促使棣莫弗推導出正態(tài)分布是類似于如下的一個問題：假設(shè)隨機變量 X～B（n，p）（二項分布）， 求X 落在平均值np附近的概率P（|X–np|≤ε）。對于 p=1/2 的特殊情況， 棣莫弗做了一些計算并得到了一些近似結(jié)果，但是不夠

理想，進而他又利用斯特林公式，得到了如下的結(jié)果：

（1）

正態(tài)分布的密度函數(shù)就在上面的積分中低調(diào)地出現(xiàn)了。之所以說它低調(diào)，一是因為棣莫弗個人并沒有完全意識到正態(tài)分布的神奇之處，二是他的工作當時并沒有得到多少人的重視，也沒有在統(tǒng)計學中發(fā)揮它的作用，因此他也錯失了正態(tài)分布的冠名權(quán)，而后高斯基于在天文學中隨機測量誤差服從正態(tài)分布等一系列工作而獲得冠名權(quán)，所以正態(tài)分布也稱高斯分布。

三、天下誰人不識君

再回到（1）式，不難概括出該式體現(xiàn)的就是二項分布的極限分布是正態(tài)分布。棣莫弗研究了 p=1/2 的情形，后來拉普拉斯把二項分布的正態(tài)近似推廣到了任意 p的情況。這個結(jié)果就是棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。

在這些工作的基礎(chǔ)上，中心極限定理隨后又被其他數(shù)學家們推廣到了其他任意分布，比如李雅普諾夫中心極限定理和萊維-林德伯格中心極限定理。這些定理揭示了正態(tài)分布產(chǎn)生的源泉和自然界中正態(tài)分布應(yīng)用的廣泛性。統(tǒng)計學家發(fā)現(xiàn)，在樣本容量充分大的時候，一些隨機變量的極限分布都可以用正態(tài)來描述，這構(gòu)成了數(shù)理統(tǒng)計學中大樣本理論的基礎(chǔ)。這部分內(nèi)容在本科階段的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗中都有涉及。正態(tài)分布的問世以及它在中心極限定理和誤差分析中的應(yīng)用，得到了許多數(shù)學家統(tǒng)計學家的認可、推崇與贊美，使得它稱霸于眾多概率分布，艷壓群芳，一枝獨秀，以至于當時有些統(tǒng)計學家認為正態(tài)分布幾乎無所不能。它在經(jīng)濟管理、物理、社會科學、醫(yī)學、農(nóng)業(yè)、工程等許多領(lǐng)域都堪當研究指南，在實驗和觀測數(shù)據(jù)的解讀中是必不可少的工具。

結(jié)語

任何數(shù)學知識都有其特定的產(chǎn)生背景和在實際生活中的應(yīng)用?；谶@樣的思考，針對所授知識點，在教學過程中適當講述些知識背景，學生就不會覺得突兀，也能更好地激發(fā)他們的學習動機和興趣，更好地學習本課程。

參考文獻

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2008：14，36.

[2]戴維·薩爾斯博格，劉青山譯.女士品茶[M].江西人民出版社.