化二次型為標準形幾種方法的比較及技巧

黃健

摘 要 化二次型為標準形的諸多方法中最突出的方法有：正交變換法，Lagrange配方法，初等變換法。每種方法各有特點各有技巧，學(xué)會分析，找出最佳方法。

關(guān)鍵詞 二次型 標準形 Lagrange配方法 初等變換

中圖分類號：O151.21 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.12.013

The Comparison and Skill of Several Methods of Transforming Quadratic Form into Standard Form

HUANG Jian

（School of Mathematics and Information Sciences， Yantai University， Yantai， Shandong 264005）

Abstract The most prominent methods of transforming quadratic form into standard form are orthogonal transformation， Lagrange collocation and elementary transformation. Each method has its own characteristics and skills， learn to analyze and find out the best method.

Keywords quadratic form; standard form; Lagrange matching method; elementary transformation

二次型的理論來源于解析幾何中二次曲線、二次曲面的化簡問題，并且具有廣泛的應(yīng)用性?；涡蜑闃藴市蔚姆椒ǚ椒ê芏?，但是在授課的過程中闡明，主要的方法就有三種：正交變換法、Lagrange配方法、初等變換法，這三種方法各有特點，每一個二次型化標準型，三種方法都可以應(yīng)用，但是由于其系數(shù)的不同，所以不同的二次型化標準型就要選取最適合的也是最簡單的方法進行，具體應(yīng)該用哪種方法，首先明確三種方法的做題過程，也就是要明確每種方法所用到的概念和結(jié)論，計算步驟。

二次型，通過變換X=CY化標準形。

方法一，正交變換法的關(guān)鍵術(shù)語X=CY是正交變換。也就是說C必須是一個正交矩陣，CTAC= ，此時需要A與對角陣 是合同的。而合同對角化不能直接進行，我們必須通過相似對角化的過程C-1AC= 來完成，所以CT必須等于C-1，而只有C為正交矩陣才能完成CTAC=C-1AC= 的結(jié)果。所以利用正交變換法化二次型為標準形的具體步驟為：（1）將二次型表示成矩陣表達形式f=XTAX，求出矩陣A;（2）求出A的所有特征值 1， 2… n;（3）求出對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量 1， 2，… n;（4）將特征向量 1， 2，… n正交化，單位化，得 1， 2，… n，記C=（ 1， 2，… n）;（5）作正交變換X=CY，則得二次型的標準形。

正交變換法的優(yōu)點是：步驟明確。由于A是對稱矩陣，必定存在正交矩陣C，使其相似對角化，從而使得CTAC=C-1AC= =diag（ 1， 2，… n），同時也看到，標準形的系數(shù)就是A的特征值 i。這樣在討論二次型的其他性質(zhì)和結(jié)論的時候，可以利用特征值的特點。而這個方法的缺點也是很明顯的，步驟雖然明確但是較多，而求A的特征值、特征向量以及給同一空間下的特征向量正交化、單位化的過程都是比較復(fù)雜的，計算量比較大，并且得到的正交矩陣C的元素通常以分數(shù)、無理數(shù)居多。

方法二，最有特點也是最常用的方法就是Lagrange配方法了。配方對于學(xué)生并不陌生，我們初等數(shù)學(xué)教學(xué)非常扎實，這個方法就顯得非常簡單并且也容易被同學(xué)們接受。但是如果沒有理清二次型的特點，盲目配方，不但會增加配方難度，有的根本就不能完成。所以在教學(xué)過程中，一定要幫助學(xué)生理順二次型所存在項的特點，根據(jù)特點從不同的方向選擇配方的對象。

從大的方向去分，二次型分含平方項和不含平方項兩種：

首先分析討論含有平方項的二次型利用Lagrange配方法化標準形的一般步驟：若二次型中含有的平方項，則把含有所有項集中，然后配方，再對其余的變量進行同樣的過程直到所有的變量都配成平方為止，經(jīng)過非退化線性替換就得到標準形。

例1 Lagrange配方法化f（1，2，3）=12+322+232+212-413二次型標準形。

分析配方思維過程：（1）此二次型含1的平方項，則把所有含1的項集中配方，而剩余的項中不再含有1，再把剩余項中集中配方2，余下的項中就只有32。但是此題還可以看出：（2）2也有平方項，也可以先集中2的所有項配方。

（2）與（1）相比較，法一先配方的是1，但是非平方項兩項都含有1，所以在配方的過程中是三個變量的配方，這是同學(xué)學(xué)習(xí)的一個難點。而方法二看出，雖然配方中只有兩個變量的配方，但是由于2的系數(shù)復(fù)雜，配方還是比較麻煩，如果不選擇1而是選擇2，還會因為系數(shù)的原因帶來更多的麻煩。

（3）而此題3也有平方項，如果先配3的平方，又會怎樣呢？與以上兩種方法相比較，優(yōu)勢都在，沒有多個元素的配方，系數(shù)也比較整齊。所以選取前后配方的順序，也是我們做好題更快速的得到結(jié)果的關(guān)鍵。通過以上三種方法也發(fā)現(xiàn)，不同的配方法，所需要的非退化線性替換是不一樣的，從而，標準形是不唯一的，但是正、負慣性指數(shù)是相同的。

在配方的過程中，有兩點特別重要：（1）要做到的就是一個一個去配方，第一步非常關(guān)鍵。多個變量的配方是比較難掌握的。既要選取還有平方項的變量，又要根據(jù)含有此變量的其他項，根據(jù)完全平方的公式，得出第一個配方，同時還要把輔助配方的其他項找出來，相減。（2）由于二次型化標準形需要的變換X=CY是非退化線性變換，所以有幾個變量一定就會配出幾個平方，有的二次型如上同樣的配方過程，得到的配方結(jié)果缺少平方項，這時候要注意的就是所用的線性變換。從表象看，配出幾個平方就得幾個平方項的標準形是沒有錯誤的。但在寫非退化線性變換的時候一定清楚，有平方項不存在的原因是它的系數(shù)為零，故i= i 這個線性表達式必須存在的，標準形中對應(yīng)項的系數(shù)仍然是零。（3）如果所給的二次型中只含一個變量的平方項，這時不能像例1那樣對配方變量有選擇，只能選擇含平方項的量進行配方。在給此量的項配方的過程中，由于其它變量與其都有乘積，所以這個過程中，其它變量只要跟它有乘積項，就一定會產(chǎn)生平方項，然后再做選擇給哪個變量先配方。再跟例1相同的方法，找出非退化變換X=CY，寫出標準形。

以上說明，要配方，必須有平方項。但是有的二次型是不含有平方項的，我們首先必須構(gòu)造出平方項，而這個過程不是簡單的加減，而是先做非退化線性替換i= i+j，j=i-j，…，= ，（k=1，2…n且k≠i，j）化二次型為含平方項的二次型，然后按例1中方法配方。

說明：由X組變量到Z組變量，得到了二次型的標準形，這個過程經(jīng)過了兩步非退化線性替換，X=C1Y，Y=C2Z，所以整體是所用的變換矩陣C=C1C2，所用到的非退化線性替換為X=CZ。

方法三，初等變換法的關(guān)鍵詞是初等變換，非退化線性變換為X=CY，則就要有CTAC= ，C是可逆矩陣，一定等于有限個初等陣的乘積，所以A每進行一次列的初等變換就要進行同樣的行的初等變換，直到把A變換成對角陣 。而此時對同階單位矩陣E作與A同樣的列變換而不作行變換，EC=C，這樣就直接得到標準形的系數(shù)矩陣 以及非退化線性變換的系數(shù)矩陣C。

初等變換法要求的是初等變換知識必須掌握熟練，初等變換與初等陣之間的關(guān)系必須清晰，而初等變換又是我們代數(shù)學(xué)中非常常用而重要的工具，所以只要目標明確，初等變換知識熟練，這是一個化二次型為標準形非常合理且簡單的方法，特別對于沒有平方項的二次型，矩陣A的主對角線元素都為零，而 的主對角線元素不可能都是零，所以在這個變換的過程中，一定不能用交換的形式的初等變換，那樣行列進行同樣的交換，仍然是零，我們通常這個時候通常采用倍加形式的變換，先將A的主對角線的變出一個非零元素，然后再按照一般步驟將右上左下其他元素都變成零。

通過以上三種方法的論述會發(fā)現(xiàn)，正交變換法雖然步驟明確，但是計算繁瑣，它的一個最主要的特點就是A的特征值就是其標準形的系數(shù)。而Lagrange配方法和初等變換法雖然沒有上述特點，但是計算過程相對簡單，只是需要根據(jù)所給二次型的系數(shù)的特點，靈活應(yīng)用。同時又要明確的是，不同方法會找到不同的非退化線性變換，所得到的標準形就不同，所以標準形也是不唯一的。所以在教授的過程中，特別是在習(xí)題復(fù)習(xí)階段，各類考試輔導(dǎo)中，教師必須引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析，掌握技巧和規(guī)律，達到完美的學(xué)習(xí)效果。

參考文獻

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