數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及概念的形式教學(xué)法

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(青島實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)中的邏輯學(xué)貫穿于所有學(xué)科和現(xiàn)實(shí)生活，它滲透在各個(gè)行業(yè)領(lǐng)域的各個(gè)方面，無(wú)論是小到日常生活中的交際語(yǔ)言，還是大到專(zhuān)業(yè)學(xué)科的知識(shí)語(yǔ)言，邏輯學(xué)都是滲透在每個(gè)字里行間，束縛著行業(yè)的規(guī)范和語(yǔ)言的規(guī)范。

一、數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容是知識(shí)，其形式是命題，因此它的本質(zhì)是知識(shí)的邏輯與命題的邏輯。知識(shí)的邏輯為所有教師和學(xué)生所知，而概念的形式即命題如何還原呢？其實(shí)，它可以還原成命題的基本結(jié)構(gòu)：即條件加結(jié)論。它如同我們正常討論時(shí)的語(yǔ)言，很多時(shí)候并沒(méi)有那么明顯地呈現(xiàn)出命題的形式。下面我以“相反數(shù)”為例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。

相反數(shù)的概念：一般地，在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，與原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)互為相反數(shù)(opposite number)。

它可以還原成命題：如果在數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)互為相反數(shù)。

問(wèn)題1：“判斷正誤：如果在數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)a和b到原點(diǎn)的距離相等，那么a和b互為相反數(shù)，即有a=-b(或b=-a)”。

逆命題：如果在數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等。

問(wèn)題2：“判斷正誤：如果在數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)a和b互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，即有|a|=|b|”。

否命題：如果在數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)不互為相反數(shù)。

問(wèn)題3：“判斷正誤：如果在數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)a和b到原點(diǎn)的距離不相等，那么a和b不互為相反數(shù)，即a≠-b(或b≠-a)”。

逆否命題：如果在數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)不互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)點(diǎn)不在原點(diǎn)的兩側(cè)，或它們到原點(diǎn)的距離不相等。

問(wèn)題4：“判斷正誤：如果在數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)a和b不互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不相等，即|a|≠|(zhì)b|”。

其中，毋庸置疑的是相反數(shù)的概念還原的原命題肯定是真，即問(wèn)題1是正確的；其次，通過(guò)判斷逆命題演變的問(wèn)題2是正確的，所以逆命題為真；最后通過(guò)判斷否命題和逆否命題演變的問(wèn)題2和問(wèn)題3是正確的，所以否命題和逆否命題也都為真。通過(guò)還原相反數(shù)概念的本質(zhì)，學(xué)生對(duì)相反數(shù)概念的認(rèn)識(shí)在不斷強(qiáng)化，達(dá)到了對(duì)概念理解的融會(huì)貫通。

二、數(shù)學(xué)概念的形式教學(xué)

1.形式教學(xué)的意義

要回答形式教學(xué)的意義是什么，就要回答我們?yōu)槭裁匆獙?duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行形式教學(xué)。

原因一：數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)是命題的邏輯。

數(shù)學(xué)概念的形式教學(xué)法有利于在早期培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和語(yǔ)言的思辨能力，嚴(yán)謹(jǐn)而全面。因?yàn)楹芏鄶?shù)學(xué)概念辨析的本質(zhì)實(shí)際就是命題與命題間不斷變換邏輯結(jié)構(gòu)，要讓一個(gè)學(xué)生步入社會(huì)后具備正常人與人交涉的能力，就要使得其具備邏輯思辨的能力，而不是只憑感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷所有的是非。

另外，數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)形式是命題，且是真命題，而命題又可以轉(zhuǎn)換為逆命題，所以數(shù)學(xué)概念的形式教學(xué)也有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。逆向思維是邏輯思維中的基本思想，當(dāng)順向思維難于解決問(wèn)題時(shí)，可以從條件或問(wèn)題思維尋求解決問(wèn)題思路的方法。

原因二：數(shù)學(xué)概念的邏輯結(jié)構(gòu)往往是隱性的。

數(shù)學(xué)概念猶如我們?nèi)粘５恼Z(yǔ)言體系，它的邏輯結(jié)構(gòu)并沒(méi)有那么明顯，很多人在討論問(wèn)題時(shí)只憑感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷是非，于是出現(xiàn)了太多的非理性紛爭(zhēng)。但是實(shí)際上，都違背了語(yǔ)言的邏輯，使得很多情節(jié)沒(méi)有了紋理。在一定程度上將語(yǔ)言的邏輯結(jié)構(gòu)顯化，則有助于我們分析和解決問(wèn)題。

原因三：所有問(wèn)題都是概念的延伸。

不僅僅是數(shù)學(xué)，所有當(dāng)下的學(xué)科問(wèn)題都是各自學(xué)科概念的延伸，都是各自概念演變出來(lái)的，本質(zhì)都逃不掉學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)概念的理解，不管是知識(shí)的內(nèi)容，還是形式的邏輯結(jié)構(gòu)，萬(wàn)變不離其宗。只有抓住問(wèn)題的本質(zhì)，學(xué)生才能學(xué)得更加深入。

2.形式教學(xué)的方法

只有弄清楚數(shù)學(xué)概念辨析的本質(zhì)是什么，我們才能繼續(xù)研究概念形式教學(xué)的方法。在第一部分我們?cè)敿?xì)介紹了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，其實(shí)大體能推出形式教學(xué)的方法和步驟。

數(shù)學(xué)概念的形式教學(xué)的基本方法和步驟：

(1)學(xué)生能將概念還原成命題——學(xué)生要學(xué)會(huì)顯化概念的邏輯結(jié)構(gòu)。他們就要從概念中找出條件和結(jié)論，并用常見(jiàn)的因果關(guān)系關(guān)聯(lián)詞來(lái)聯(lián)結(jié)，如“如果……那么……”“若……則……”等。

(2)學(xué)生能將原命題轉(zhuǎn)換為逆命題，并舉例判斷真假，若為假，則能舉出反例。

(3)學(xué)生能將原命題轉(zhuǎn)換為否命題，并舉例判斷真假，若為假，則能舉出反例。

(4)學(xué)生能將原命題轉(zhuǎn)換為逆否命題，并舉例判斷真假，若為假，則能舉出反例；較高層次的學(xué)習(xí)是學(xué)生能在逆命題的基礎(chǔ)上將其轉(zhuǎn)換為原命題的逆否命題，實(shí)際上逆否命題就是逆命題的否命題。

3.形式教學(xué)的建議

對(duì)于中學(xué)低年級(jí)學(xué)生，即初中生，他們的數(shù)理邏輯思維還沒(méi)有發(fā)展到一定階段，在這個(gè)階段內(nèi)，學(xué)生判斷命題的真假幾乎完全只憑對(duì)概念知識(shí)的理解，即“對(duì)概念的內(nèi)容認(rèn)知階段”。在這個(gè)階段內(nèi)教師可以直接把概念還原后的形式呈獻(xiàn)給學(xué)生進(jìn)行辨析，強(qiáng)化對(duì)概念的理解。

在學(xué)完命題的結(jié)構(gòu)、命題的真假和命題的幾種形式后，初期階段可以引導(dǎo)學(xué)生自行轉(zhuǎn)換一些結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單的概念，如簡(jiǎn)單命題(又稱(chēng)直言命題)。在這個(gè)階段，學(xué)生判斷命題的真假還是幾乎處在“對(duì)概念的內(nèi)容認(rèn)知階段”。

在學(xué)完幾種命題間的關(guān)系后，可以進(jìn)行高級(jí)學(xué)習(xí)式的命題轉(zhuǎn)換。在這個(gè)階段，學(xué)生判斷命題的真假可以局部借助命題的結(jié)構(gòu)邏輯，在“對(duì)概念的內(nèi)容認(rèn)知階段”基礎(chǔ)上，結(jié)合“對(duì)概念的形式認(rèn)知”來(lái)判斷命題的真假。如這個(gè)階段學(xué)生已經(jīng)知道了逆否命題的真假同原命題的真假，否命題與逆命題同真假。

在學(xué)完聯(lián)言命題與選言命題后，尤其是它們的否定形式，可以引導(dǎo)學(xué)生自行轉(zhuǎn)換一些結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的概念，如復(fù)合命題(又稱(chēng)復(fù)言命題)。此時(shí)學(xué)生已經(jīng)到了高年級(jí)學(xué)段。在這個(gè)階段，學(xué)生判斷命題的真假可以獨(dú)立于“對(duì)概念的內(nèi)容認(rèn)知階段”“對(duì)概念的形式認(rèn)知”已經(jīng)成熟，判斷命題的真假可以理性選擇對(duì)概念內(nèi)容的判斷或形式的判斷。

三、結(jié)論

數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是內(nèi)容與形式的統(tǒng)一，知識(shí)是內(nèi)容，其邏輯是形式，它可以還原成命題的基本形式：條件加結(jié)論。它如同我們?nèi)粘５恼Z(yǔ)言，很多時(shí)候并沒(méi)有那么明顯地呈現(xiàn)出命題的結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)概念考查的素養(yǎng)是逆向思維和邏輯思維，因此，建議教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)該先引導(dǎo)學(xué)生還原出概念的原命題，再考查命題的其他形式。同時(shí)，提醒生活中的大多數(shù)人在進(jìn)行思辨時(shí)，語(yǔ)言要符合邏輯。

數(shù)學(xué)概念的形式教學(xué)并不是孤立的，它不是獨(dú)立于概念的內(nèi)容而教學(xué)的，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念延伸的命題進(jìn)行正確判斷需要兼顧對(duì)其內(nèi)容的理解和對(duì)形式的邏輯判斷。在針對(duì)低年級(jí)學(xué)生教學(xué)時(shí)，要以?xún)?nèi)容教學(xué)為主，到較高年級(jí)才能結(jié)合形式進(jìn)行教學(xué)。