HPM視角下反證法的教學(xué)設(shè)計(jì)研究

張艷蓉　張府柱

摘? 要：該文從數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的視角，開(kāi)發(fā)教學(xué)設(shè)計(jì)，在真實(shí)的教學(xué)情境中實(shí)踐教學(xué)設(shè)計(jì)。研究梳理了數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的相關(guān)理論，從學(xué)生認(rèn)知、思想方法和數(shù)學(xué)史3個(gè)維度來(lái)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，并總結(jié)出數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的一般流程。

關(guān)鍵詞：HPM? 反證法? 教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G642 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2019）11（b）-0120-03

近幾年，關(guān)于HPM的研究發(fā)展迅速，HPM的文章也是層出不窮，但文章的涉及面很多是中小學(xué)。基于已有的研究出發(fā)，能夠以HPM的視角對(duì)反證法進(jìn)行教學(xué)，采用設(shè)計(jì)研究的方法，解決反證法教與學(xué)的問(wèn)題，并以此更深一步研究，主要圍繞以下問(wèn)題展開(kāi)。

（1）學(xué)生理解反證法是否呈現(xiàn)出歷史相似性，歷史相似性研究是HPM領(lǐng)域研究中的一個(gè)方向，也是HPM研究者進(jìn)行數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)。

（2）HPM視角下反證法教學(xué)對(duì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定義的理解以及對(duì)學(xué)生的情感態(tài)度與價(jià)值觀有什么影響？從HPM視角下去實(shí)施教學(xué)，問(wèn)題是此教學(xué)是否對(duì)學(xué)生有影響，能否解決教學(xué)中存在的問(wèn)題。

（3）HPM視角下數(shù)學(xué)反證法教學(xué)對(duì)教師的專業(yè)發(fā)展有什么影響？可以從教師對(duì)HPM教學(xué)知識(shí)、教學(xué)能力、教學(xué)信念來(lái)考察參與HPM視角下數(shù)學(xué)反證法教學(xué)過(guò)程中的專業(yè)發(fā)展，此問(wèn)題可以分解為：①HPM視角下數(shù)學(xué)反證法教學(xué)對(duì)教師的信念產(chǎn)生的影響;②HPM視角下數(shù)學(xué)反證法教學(xué)對(duì)教師知識(shí)產(chǎn)生的影響;③HPM視角下數(shù)學(xué)反證法對(duì)教師的教學(xué)能力產(chǎn)生的影響。

1? 數(shù)學(xué)反證法的歷史

數(shù)學(xué)的發(fā)展出現(xiàn)過(guò)3次危機(jī)，每一次都和一個(gè)悖論有關(guān)，而最終的解決又勢(shì)必推動(dòng)數(shù)學(xué)的向前發(fā)展，取得重大的突破，產(chǎn)生劃時(shí)代的數(shù)學(xué)成就。

什么是悖論呢？從推理過(guò)程看上去合乎情理，但結(jié)果卻得出了矛盾。悖論在很多情況下表現(xiàn)得出不符合排中律的矛盾命題：由真，可以推出它為假;由假，則可以推出它為真。這種嚴(yán)格性大家公認(rèn)為是數(shù)學(xué)的一個(gè)主要特點(diǎn)，因此如果數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論則會(huì)造成對(duì)數(shù)學(xué)可靠性的懷疑。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)由希帕索斯悖論引發(fā)，這個(gè)悖論的產(chǎn)生和勾股定理有著密切的聯(lián)系，并且最終促成了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，對(duì)以后的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，在解決這次危機(jī)的過(guò)程中，有許許多多的科學(xué)家為之付出了努力，有的甚至還付出了生命的代價(jià)。

數(shù)學(xué)第一次危機(jī)發(fā)生在公元前580～568年之間的古希臘，數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，這個(gè)學(xué)派發(fā)現(xiàn)并且證明了勾股定理，畢達(dá)哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，殺牛百只以示慶賀。因此，這一定理還又獲得了一個(gè)帶神秘色彩的稱號(hào)：“百牛定理”，所以在西方將勾股定理稱為畢達(dá)哥拉斯定理[3]。

“萬(wàn)物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石，是畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“一切數(shù)均可表示成整數(shù)或整數(shù)之比”，因?yàn)檎麛?shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)，整數(shù)與整數(shù)的比就是分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)和有理數(shù)的等價(jià)性，整數(shù)或整數(shù)之比實(shí)際上就是有理數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰就是現(xiàn)在我們所熟悉“一切數(shù)都可以表示成分?jǐn)?shù)”。畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）提出后，希帕索斯（學(xué)派中的一個(gè)成員）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不能用整數(shù)表示，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用另外一個(gè)屬來(lái)表示，這個(gè)數(shù)就是，這就是希帕索斯悖論，也叫作畢達(dá)哥拉斯悖論。這個(gè)的出現(xiàn)在數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。

在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為希帕索斯就是魔鬼的化身，這位天才的思想家被投進(jìn)了大海，為科學(xué)獻(xiàn)身的第一人。但是希帕索斯的名字卻和一樣，讓后人永遠(yuǎn)地記住了他，希帕索斯也成了有史以來(lái)第一個(gè)使用反證法的人。

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，其對(duì)角線為a，那么根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理α2=2，假設(shè)a是分?jǐn)?shù)，設(shè)（p，q既約），有，即，從而可得q是一個(gè)偶數(shù)，那么q也是一個(gè)偶數(shù)，再令q=2m，代到q2=2p2里面，4m2=2p2也就是4m2=p2，這樣就得到p2是一個(gè)偶數(shù)，那么p也一定是一個(gè)偶數(shù)，這和p，q既約是相矛盾的，從而可以得到a不能表示成分?jǐn)?shù)，也就是說(shuō)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線不能用整數(shù)之比來(lái)表示。

這種現(xiàn)象并不是唯一的，而是普遍的，比方一邊長(zhǎng)為1另一邊長(zhǎng)為2的矩形的對(duì)角線也不能用整數(shù)之比來(lái)表示，這無(wú)異于在平靜的水面上投下了一塊巨石一般，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)上和認(rèn)識(shí)上掀起了軒然大波，引起了認(rèn)識(shí)上的恐慌。為了擺脫這種尷尬，許多學(xué)者開(kāi)始致力于化解這一危機(jī)。從這次數(shù)學(xué)危機(jī)得出，僅憑直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定正確，要經(jīng)過(guò)推理證明才是可靠的。

2? 反證法教學(xué)設(shè)計(jì)與研究

反證法是逆向思維的典型方法，其獨(dú)特的思維方式對(duì)提高數(shù)學(xué)思想有著重要的意義。它不僅具有強(qiáng)大的論證威力，而且越是困難的問(wèn)題它越有功效。要想深刻理解反證法，就要深刻地領(lǐng)悟“正難則反”的思維原理。通過(guò)證明反論題為假而間接證明原論題為真的方法，叫作反證法，反證法證明步驟。

（1）反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立，這個(gè)假設(shè)叫作“反證假設(shè)”。

（2）歸謬：由反證假設(shè)出發(fā)，運(yùn)用已知條件，進(jìn)行正確推理，導(dǎo)致矛盾。

（3）肯定：由所得矛盾，斷定反證假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論成立。

其中第（2）步是關(guān)鍵，主要尋找以下矛盾：與反證假設(shè)相矛盾;與已知條件相矛盾;與已知事實(shí)、定義、公理、前此定理相矛盾;自相矛盾。

3? 反證法應(yīng)用

當(dāng)用直接證法無(wú)法下手甚至不可能時(shí)，可使用反證法。

反證法更適用于：否定性問(wèn)題;唯一性問(wèn)題;存在性問(wèn)題;無(wú)限性問(wèn)題;同一性問(wèn)題（逆命題成立）;學(xué)科起始性定理;命題結(jié)論的反面中唯一，應(yīng)用窮舉反證法?；贖PM反證法的教學(xué)設(shè)計(jì)需要考慮教學(xué)設(shè)計(jì)要解決教學(xué)問(wèn)題，需要了解具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容的歷史，科學(xué)準(zhǔn)確地理解其本質(zhì)，在學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，應(yīng)用教學(xué)理論來(lái)完成教學(xué)設(shè)計(jì)。在教學(xué)設(shè)計(jì)中恰當(dāng)?shù)厝谌霐?shù)學(xué)史，使得教學(xué)更加符合學(xué)生認(rèn)知，學(xué)生更容易理解，更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)自信心[1]。

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)的3個(gè)維度

一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)要考慮課程與教學(xué)論領(lǐng)域，同時(shí)還要注意課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法，教師的數(shù)學(xué)教學(xué)觀等直接影響到教學(xué)（見(jiàn)圖1）。

如何設(shè)計(jì)HPM理論與實(shí)踐連接，把數(shù)學(xué)史融入到教學(xué)中，從而設(shè)計(jì)有效的教案;關(guān)鍵是促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展，引領(lǐng)教師的HPM。通過(guò)建立HPM學(xué)術(shù)共同體把HPM領(lǐng)域教學(xué)實(shí)踐，從理論與實(shí)踐兩個(gè)方面解決上述問(wèn)題（見(jiàn)圖2）。

3.2 教學(xué)設(shè)計(jì)的策略

融入數(shù)學(xué)史的反證法教學(xué)，關(guān)鍵部分就是教學(xué)設(shè)計(jì)，如何設(shè)計(jì)HPM視角下的反證法教案呢，經(jīng)過(guò)閱讀部分研究者的HPM的設(shè)計(jì)及反證法的教學(xué)有了設(shè)計(jì)思路（見(jiàn)圖3）。

根據(jù)以上HPM設(shè)計(jì)框架初步設(shè)計(jì)了反證法的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)反證法的演進(jìn)過(guò)程，從中發(fā)現(xiàn)反證法的原理，以重構(gòu)式來(lái)進(jìn)行反證法概念教學(xué)，以系列趣味題來(lái)激起學(xué)習(xí)的興趣，在探索中學(xué)習(xí)歷史，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。

4? 反證法研究的學(xué)生反饋及教學(xué)反思

（1）這種融入教學(xué)史的方式受到學(xué)生的喜歡，學(xué)生情感價(jià)值觀也得到提升，培養(yǎng)了學(xué)生探索創(chuàng)新的能力，但是學(xué)生的成績(jī)或理解水平?jīng)]有得到很大的提升，這也反映出1、2次的課程的HPM教學(xué)不可能改變學(xué)生的成績(jī)，只有通過(guò)長(zhǎng)期的HPM教學(xué)實(shí)踐，才能改變學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)模式。從對(duì)學(xué)生的反饋來(lái)看，仍有不少學(xué)生表示反證法不好理解，效果也沒(méi)有想象得好，實(shí)踐中還需繼續(xù)摸索。

（2）HPM視角下的反證法教學(xué)，僅僅教學(xué)研究的需要和嘗試，教師準(zhǔn)備也比較費(fèi)時(shí)，但也有利于教師的專業(yè)發(fā)展。首先，教師的教育信念有了變化，教師認(rèn)識(shí)到讓學(xué)生理解定義及定理的重要，數(shù)學(xué)歷史讓教師感受到對(duì)學(xué)生認(rèn)知的理解的重要性。其次，教師教學(xué)知識(shí)的增加了不少，在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，教師的數(shù)學(xué)史知識(shí)有所增加;教師了解教學(xué)設(shè)計(jì)的大體思路，如何設(shè)計(jì)更有利于達(dá)到教學(xué)效果。最后，教師的教學(xué)能力也得到提升，表現(xiàn)在教師開(kāi)始有意識(shí)地關(guān)注與學(xué)生的互動(dòng)，利用機(jī)會(huì)去激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生討論;同時(shí)，意識(shí)到在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，需關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)及認(rèn)知過(guò)程的漸進(jìn)性，知道選擇加工史料的方式方法，了解到如何從教育研究的角度幫助教學(xué)。

5? 研究的啟示

反證法教學(xué)設(shè)計(jì)要考慮學(xué)生的認(rèn)識(shí)情況、對(duì)反證法的理解、對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)，建立數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要與數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展相聯(lián)系，有效地設(shè)計(jì)把數(shù)學(xué)史融入到課堂教學(xué)中去。通過(guò)研究述，構(gòu)建了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式，總結(jié)出數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一般實(shí)施流程。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)對(duì)老師要求更高，把數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)需要老師將數(shù)學(xué)史的資料進(jìn)行加工，使學(xué)生容易吸收真正達(dá)到優(yōu)化課堂教學(xué)如何培養(yǎng)領(lǐng)域的教師專業(yè)化，如何促進(jìn)教師應(yīng)用來(lái)提升教學(xué)率。當(dāng)前教師面臨著數(shù)學(xué)史知識(shí)缺乏、學(xué)生的升學(xué)壓力以及可直接應(yīng)用的HPM視角下數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的設(shè)計(jì)研究案例缺乏等問(wèn)題。解決這些問(wèn)題的根本方法就是探索出領(lǐng)域的教師專業(yè)發(fā)展模式，以及詳細(xì)地分析教師專業(yè)發(fā)展的分析框架。

參考文獻(xiàn)

[1] 馮振舉，曲安京.HPM視野下的數(shù)學(xué)新課程內(nèi)容構(gòu)成[J].課程教材教法，2007，27（9）：38-42.

[2] 尹靜，王篤勤.教育設(shè)計(jì)研究與教師實(shí)踐性知識(shí)的構(gòu)建[J].河北大學(xué)學(xué)報(bào)：哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版，2013，38（2）：65-68.

[3] 李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].3版.北京：高等教育出版社，2011.

[4] 周余峰.一次公開(kāi)課的啟示——談新課程理念下的教學(xué)觀[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊：中等教育，2013（24）：27-28.

[5] 陳惠勇.數(shù)學(xué)史觀下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)新模式[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007，10（5）：58-62.

[6] 沈衛(wèi)國(guó).康托對(duì)角線法中的邏輯問(wèn)題及由此引出的反證法使用中必須注意的推理誤區(qū)[J].前沿科學(xué)，2017，11（2）：42-50.