數(shù)形結(jié)合與空間觀念在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

黃玉梅

摘要：數(shù)學(xué)是一門比較抽象的學(xué)科，要激發(fā)并維持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，必須重視學(xué)習(xí)方法的研究與滲透。常用的數(shù)學(xué)思想方法包括很多，這里重點談的是數(shù)形結(jié)合思想與空間觀念的應(yīng)用。所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是指根據(jù)數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，優(yōu)化解題途徑的思想。而空間觀念是幾何課程改革的一個課程核心的概念，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》描述了空間觀念的主要表現(xiàn)，其中包括“能夠由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”。這是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析，不斷由低到高向前發(fā)展的認識客觀事物的過程，是建立在對周圍環(huán)境直接感知基礎(chǔ)上的、對空間與平面相互關(guān)系的理解和把握。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;空間觀念;中考;效率

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2019）24-060-2

因為我多年從事初三數(shù)學(xué)的教學(xué)，因此深刻感受到數(shù)學(xué)思想方法的重要性。畢業(yè)班的學(xué)習(xí)特點就是時間緊，任務(wù)重。若要打好中考這場硬仗決不能強攻，只能智取。作為比較抽象的數(shù)學(xué)，如果要激發(fā)并讓學(xué)生特別是九年級的學(xué)生保持對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，那么經(jīng)常提煉歸納各種數(shù)學(xué)思想方法尤為重要。在各類思想方法中，我覺得數(shù)形結(jié)合思想與空間意識的運用最能給學(xué)生解題帶來驚喜。所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是指根據(jù)數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，優(yōu)化解題途徑的思想。數(shù)形結(jié)合思想是初中課本中的基本的數(shù)學(xué)思想，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中起著十分重要的作用。而空間觀念是幾何課程改革的一個課程核心的概念，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》描述了空間觀念的主要表現(xiàn)，其中包括“能夠由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”。這是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析，不斷由低到高向前發(fā)展的認識客觀事物的過程，是建立在對周圍環(huán)境直接感知基礎(chǔ)上的、對空間與平面相互關(guān)系的理解和把握。數(shù)形結(jié)合思想與空間意識是相輔相成的，它們有密切的關(guān)系，在初中數(shù)學(xué)解題中可以為我們帶來莫大的便利。

首先談?wù)勅绾卫脭?shù)形結(jié)合思想去解決常見數(shù)學(xué)問題。

華羅庚說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛?！庇捎跀?shù)和形是一種對應(yīng)，有些數(shù)量比較抽象，我們難以把握，而形具有形象、直觀的優(yōu)點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把數(shù)的對應(yīng)——形找出來，利用圖形來解決問題。

例3.當(dāng)n為正整數(shù)時，求12+14+18+...+12n的值。

分析：本題對于初中的學(xué)生來說還是非常難的，我們可以考慮用數(shù)形結(jié)合思想來解決。

我們可以這樣理解，假設(shè)有一個邊長為1的正方形，用剪刀去剪這個正方形紙片，第一次剪去正方形紙片的一半，正方形剩余面積是12，第二次剪去剩余圖形的一半，得到的圖形面積是14，第三次剪去第二次剪剩的圖形的一半，得到的圖形面積是18，即每次剪去前一次剩余圖形面積的一半，……那么當(dāng)?shù)趎次剪后得到的圖形面積是（12）n，把每次剪下來的圖形面積相加，即得到1-12n=12+14+18+...+12n

通過以上幾個例題，我們不難看出，利用數(shù)形結(jié)合的思想確實很巧妙地化難為易?？偠灾?，“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微”。見到數(shù)量就要考慮它的幾何意義，見到圖形就應(yīng)考慮它的代數(shù)關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題。因此數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用。

其次談?wù)勅绾纬浞掷每臻g觀念去解決常見數(shù)學(xué)問題。

空間觀念是創(chuàng)新精神所需的基本因素，沒有空間觀念，幾乎談不上任何發(fā)明創(chuàng)造，許多的發(fā)明創(chuàng)造都是以實物的形態(tài)呈現(xiàn)的，都是設(shè)計者先根據(jù)想象畫出設(shè)計圖，然后再做出模型，最后才完善成功的。在這過程中空間觀念起著非常重要的作用，所以明確空間觀念的意義，認識空間觀念的特點，發(fā)展學(xué)生的空間觀念非常重要。

例1.已知等邊△ABC，以AC為腰，在△ABC外作等腰三角形，AD=AC，連接BD，則∠BDC= °

解析：此題解法比較多，一種解法就是可以根據(jù)AB=AC=AD得到A，B，C，D四點共圓，再利用圓周角定理得出∠BDC=30°

例2.如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC.

（1）求證：AC=AD+CE;

（2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q.

i）若點P與A，B兩點不重合，求DPPQ的值;

ii）當(dāng)點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長。

【答案】（1）證明：∠A=∠C=90°DB⊥BE

有∠ADB+∠ABD=90°以及∠ABD+∠EBC=90°

∴∠ADB=∠EBC?? 又AD=BC

∴Rt△ADB≌Rt△EBCAB=EC

∴AC=AB+BC=EC+AD

（2）ⅰ）連結(jié)DQ，∠DPQ=∠DBQ=90°，∴D，PB，Q四點共圓.

且DQ為該圓直徑，那么就有∠DQP=∠DBP

∴Rt△DPQ∽Rt△DAB

DPPQ=DAAB=35

ⅱ）P到AC中點時，AP=4，AD=3，由勾股定理得DP=5

由DPPQ=35PQ=253.DQ=5343又DB=34

BQ=4343∴MM'=12BQ=2343MM'即為中點運動軌跡.

通過以上兩例我們同樣感受到利用空間觀念解題的妙處。

在中考之前的幾輪復(fù)習(xí)中，作為數(shù)學(xué)老師，我們應(yīng)該經(jīng)常通過具體題目和學(xué)生一起總結(jié)與提煉各種數(shù)學(xué)思想方法，這樣不但可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的奧妙，更重要的是通過達到“多題一解”的效果提高學(xué)習(xí)和解題效率，在有限的時間里最大程度地掌握所學(xué)，為中考取得理想成績做好準備！

[參考文獻]

[1]邵瑞.化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐研究[D].延邊大學(xué)，2018.

[2]李雪.初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)研究與案例分析[D].河北師范大學(xué)，2014.

（作者單位：山東省濟南市歷城區(qū)港溝中學(xué)，山東 濟南 250102）