基于口袋儀器實驗室的一階/二階系統(tǒng)響應(yīng)綜合性實驗

張志明, 李蓉艷

(同濟大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院, 上海 200092)

工程認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)的自動化類專業(yè)培養(yǎng)方案體系中,信號與系統(tǒng)與自動控制原理是兩門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程[1-4],其教學(xué)內(nèi)容相互銜接,前者是后者的先修課程,后者是前者的深化應(yīng)用。兩者共同的基本教學(xué)目的是使學(xué)生理解和掌握系統(tǒng)的基本理論和基本方法,同時提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力?；A(chǔ)理論知識作為課程教學(xué)中的重點內(nèi)容和難點內(nèi)容,國內(nèi)外的教材中均有詳細(xì)論述[1-4],但對于本科學(xué)生來說,由于學(xué)習(xí)內(nèi)容同時兼?zhèn)漭^強的專業(yè)理論性和工程實用性,初學(xué)時很容易陷入強記數(shù)學(xué)公式的誤區(qū),故需要改革課程的實驗內(nèi)容、配合理論教學(xué)、強化和補充學(xué)習(xí)效果[5-8]。

1 線性時不變系統(tǒng)的響應(yīng)特性

線性時不變系統(tǒng)是信號與系統(tǒng)和自動控制原理課程中的學(xué)習(xí)和研究對象,其中一階/二階系統(tǒng)是構(gòu)成復(fù)雜系統(tǒng)的基本單元,無論是實驗教學(xué)還是工程實踐,應(yīng)用極為普遍,學(xué)習(xí)一階/二階系統(tǒng)的性能分析有助于加強對一般系統(tǒng)特性的理解和掌握,具有重要的實際意義。以二階系統(tǒng)為例,其數(shù)學(xué)模型可以用二階微分方程表示,轉(zhuǎn)換為s域傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式如下式:

(1)

時域分析是3大分析方法之一,在時域中研究問題,重點討論系統(tǒng)在輸入信號作用下的過渡過程響應(yīng)形式,其特點在于直觀與精確,例如對于欠阻尼二階系統(tǒng)對象,阻尼比ξ、自然頻率ωn、阻尼振蕩頻率ωd和各項動態(tài)性能指標(biāo)均可以從階躍響應(yīng)波形上直接判讀或間接計算得到,如圖1所示。

圖1 二階欠阻尼系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)

傳統(tǒng)的一階/二階系統(tǒng)響應(yīng)實驗在模擬實驗箱上完成[9],并通過外部示波器觀察系統(tǒng)的響應(yīng)和各項動態(tài)指標(biāo),由于內(nèi)部電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)固定,只能局限于簡單的驗證性實驗,實驗內(nèi)容難以擴展。另外,采用Matlab等軟件實現(xiàn)的仿真實驗靈活多樣,但局限于理論模型計算,對所依托的實際硬件電路和物理信號不能直接測試和分析[10-11]。因此,本文圍繞工科學(xué)生工程實踐能力培養(yǎng)目標(biāo),以實際教學(xué)內(nèi)容理論基礎(chǔ)為依托,基于便攜式口袋儀器實驗室,軟件和硬件結(jié)合,設(shè)計與實現(xiàn)貫通信號與系統(tǒng)及自動控制原理課程的一階/二階系統(tǒng)響應(yīng)綜合創(chuàng)新性實驗。

2 口袋儀器實驗室

虛擬儀器技術(shù)的引入使得計算機在ELVIS硬件平臺的支持下可以由軟件實現(xiàn)常規(guī)儀器功能[12],豐富了實驗手段,但受限于相關(guān)設(shè)備平臺的成本和體積,普通院校很難滿足學(xué)生的需求。Digilent公司的低成本迷你便攜式學(xué)生設(shè)備AnalogDiscovery2具有多個基于計算機的通用實驗室儀器功能[13],針對測試學(xué)習(xí)及應(yīng)用,可與WaveForms[14]軟件及實驗電路結(jié)合,為工科學(xué)生提供一個隨時隨地都可以開展學(xué)習(xí)和工程創(chuàng)新實踐的“口袋儀器實驗室”。

AnalogDiscovery2通過FlyWire導(dǎo)線探針連接到實驗電路,具有2個差分模擬輸入通道(1MΩ,±25V,14位,100MS/s),用于示波器、頻譜分析儀、網(wǎng)絡(luò)分析儀、電壓表等儀器；2個模擬輸出通道(±5V,14bit,100MS/s),用于信號發(fā)生器；16通道數(shù)字輸入/輸出(高速TTL)，用于邏輯分析儀、數(shù)字模式發(fā)生器等儀器；同時可對外提供2個可編程電源(0～+5V,0～-5V)接口。AD2連接至計算機的USB接口,由WaveForms軟件驅(qū)動[14],用戶通過簡潔易用的圖形化界面操作,配置為以上所述的多種實驗室功能儀器。AD2NIEdition的接口定義和WaveForms軟件界面分別如圖2中所示。

圖2 Digilent Analog Discovery2外部信號接口定義及Waveforms軟件界面

3 一階/二階系統(tǒng)響應(yīng)實驗設(shè)計與實踐

一階/二階系統(tǒng)響應(yīng)綜合創(chuàng)新性實驗的硬件由口袋儀器實驗室AnalogDiscovery2和系統(tǒng)響應(yīng)實驗功能電路組成,在WaveForms軟件的控制下實現(xiàn)對一階/二階系統(tǒng)響應(yīng)的觀察與特性分析,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。信號發(fā)生器模塊產(chǎn)生連續(xù)時間信號作為激勵送入實驗功能電路,和系統(tǒng)時域響應(yīng)信號一起接入雙通道示波器模塊,實驗電路所需的±-5V工作電源由可編程直流電源模塊提供。

圖3 一階/二階系統(tǒng)響應(yīng)實驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

3.1 實驗電路的驅(qū)動信號生成與輸出信號波形測量

使用口袋儀器實驗室的信號發(fā)生器模塊[13],代替?zhèn)鹘y(tǒng)實驗方法中的外部儀器或者實驗箱電路,生成的連續(xù)時間信號通過W1/GROUND模擬量輸出端口輸出。在Waveforms軟件的Wavegen軟面板界面[14]中可以方便地設(shè)置和調(diào)整典型激勵信號(階躍信號、脈沖信號和斜坡信號等)的類型和參數(shù)。

口袋儀器實驗室的示波器(Scope)模塊具備示波器的常用功能,用于數(shù)據(jù)采集及信號分析,操作方法與實驗室中的真實示波器類似。兩對模擬量差分輸入通道(1+/1-和2+/2-端口)可同時測量兩路模擬信號,利用杜邦線連接或排母排針對插,接入示波器輸入端口,同時測試并同屏顯示其波形和參數(shù)。

口袋儀器實驗室的Spectrum(頻譜分析儀)和Network(網(wǎng)絡(luò)分析儀)分別用以分析系統(tǒng)信號的頻率特性和測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù),其激勵信號生成可復(fù)用信號發(fā)生器的模擬量輸出端口,信號采集端口則與示波器的兩對模擬差分輸入通道復(fù)用。

3.2 基礎(chǔ)實驗電路設(shè)計與實踐

含有儲能元件電感L和電容C的電路有著廣泛的應(yīng)用[15],如振蕩器、濾波電路、調(diào)諧放大器等,在用微分方程或系統(tǒng)函數(shù)進行建模和分析時,和機械、液壓、氣動等實際系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型[1-2],微分方程的階數(shù)由電路中獨立的儲能元件個數(shù)決定。以此為基礎(chǔ)設(shè)計與實現(xiàn)的實驗功能電路,可很容易地采用實物元器件在面包板或?qū)嶒炁_上搭建真實電路,進行電路測試或分析。本實驗提供搭建的無源RC一階系統(tǒng)/RLC二階系統(tǒng)電路如圖4(a)所示,配合口袋儀器實驗室,可完成如下基礎(chǔ)實驗項目:

(1) 無源RC一階系統(tǒng)/RLC二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模與時域求解(理論解析)；

(2) 采用無源器件搭建與調(diào)試簡單實驗系統(tǒng)；

(3) 一階/二階系統(tǒng)在階躍信號、脈沖信號和斜坡信號等典型激勵信號下的輸出波形響應(yīng),了解一階/二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性；

(4) 利用階躍響應(yīng)法、頻域分析法求解系統(tǒng)函數(shù)表達式中的重要參數(shù)(阻尼比ξ、無阻尼自然角頻率ωn)和各項動態(tài)性能指標(biāo)。

當(dāng)圖4(a)中的跳線開關(guān)S1和S2斷開時,實驗電路為典型的RLC串聯(lián)二階系統(tǒng),其系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

實驗時圖4(a)中電位器VR1的阻值從10kΩ開始逐漸減小至零,即可改變系統(tǒng)阻尼比ξ,使系統(tǒng)分別處于過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼、無阻尼狀態(tài),用示波器觀察和記錄系統(tǒng)輸入信號和階躍響應(yīng)輸出,結(jié)果分別如圖4中的(b)、(c)、(d)、(e)所示。

需要注意的是,在整個實驗電路的實施過程及調(diào)試中,無論是在面包板上搭建電路,還是通過實驗板飛線連接,或者直接制作電路PCB時,都必須提醒學(xué)生考慮到系統(tǒng)實物對象與理想數(shù)學(xué)模型之間的差異性。例如,R=0 Ω時計算得到系統(tǒng)阻尼比ξ=0,此時理論上系統(tǒng)階躍響應(yīng)形式應(yīng)該是無阻尼狀態(tài)的等幅振蕩,但圖4(e)中實際波形為衰減振蕩(和欠阻尼狀態(tài)時的響應(yīng)波形類似)。究其原因,是電路中實際的電感線圈和電容器元件都具有損耗電阻,其實際參數(shù)值與標(biāo)稱參數(shù)值之間也有誤差。學(xué)生需要在實驗過程中據(jù)此對系統(tǒng)元件參數(shù)設(shè)計進行必要的修正,實驗電路才能和理論解析一致正常工作,相關(guān)的分析可以作為實驗考核報告的擴展組成部分。

3.3 擴展實驗項目

在基礎(chǔ)實驗以驗證性實驗基礎(chǔ)上,利用口袋儀器實驗室AD2的多種儀器功能,可以方便地擴展實驗項目和內(nèi)容。仍以前述的RLC串聯(lián)二階系統(tǒng)為例,可以學(xué)習(xí)與掌握測試系統(tǒng)頻率響應(yīng)的方法。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jω)=|H(jω)|ej φ(ω),由幅頻特性|H(jω)|和相頻特性ej φ(ω)組成,分別表征了系統(tǒng)對輸入信號的放大特性和延時特性,有著重要的理論價值和實用價值。系統(tǒng)的過渡過程與頻率響應(yīng)有確定的關(guān)系,一階和二階系統(tǒng)可直接用數(shù)學(xué)方法來解析求解,高階系統(tǒng)的求解過程則需要很多時間,在工程實踐中實際意義不大。建立在頻率響應(yīng)基礎(chǔ)上的分析和設(shè)計方法,稱為頻率響應(yīng)法,根據(jù)頻率響應(yīng)的特征量直接估計系統(tǒng)過渡過程的性能,再分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其他特性,是信號與系統(tǒng)以及自動控制理論中的基本方法之一[1-3]。

常規(guī)的實驗手段測量線性系統(tǒng)頻率響應(yīng),需要在所考察的頻率范圍內(nèi)選擇若干個頻率值,分別測量各個頻率下輸入信號(正弦信號)和系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出(正弦信號)的振幅和相位角值,繪出所對應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線。這樣的實驗過程繁瑣并且誤差較大[9],影響實驗效果。使用AD2口袋儀器實驗室的Network(網(wǎng)絡(luò)分析儀),基于正弦掃頻法,其激勵信號受軟件控制,按所設(shè)置的頻率范圍和樣本點數(shù)參數(shù)自動掃頻輸出,系統(tǒng)的激勵信號和響應(yīng)信號分別接入到兩路輸入通道,由軟件自動采集和計算,可直接獲得系統(tǒng)的波特圖(幅頻特性和相頻特性)曲線。測試結(jié)果如圖5中所示(R=400 Ω,ξ=0.2, 欠阻尼),實驗結(jié)果與時域理論解析及Mulitsim軟件仿真結(jié)果相近似符合。

3.4 多樣化綜合實驗

實驗項目如果僅驗證教學(xué)內(nèi)容,學(xué)生缺少動手實踐機會,很難讓學(xué)生產(chǎn)生深刻的感性認(rèn)識和激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣,對學(xué)生動手能力提高有限。在前述基礎(chǔ)實驗和擴展實驗項目的基礎(chǔ)上,通過理論知識仿真化、軟件實驗硬件化和硬件實驗設(shè)計化等手段,開展多樣化的綜合性實驗設(shè)計,以達到開闊學(xué)生思路、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的目的。

以常見的I型二階系統(tǒng)為例,受電子器件的物理特性約束,采用RLC元件構(gòu)成的無源電路系統(tǒng)只能近似接近理想特性,而采用運算放大器、電阻、電容等模擬器件的有源電路系統(tǒng)特性更好[15],可構(gòu)成比例、積分、一階慣性等典型環(huán)節(jié),通過串聯(lián)/并聯(lián)/反饋形式組合為復(fù)雜系統(tǒng)。I型二階系統(tǒng)原理電路見圖6，S1開關(guān)斷開時,為二階開環(huán)系統(tǒng)；S2開關(guān)接通時,為二階閉環(huán)系統(tǒng)。多樣化綜合實驗要求學(xué)生必須先對二階電路系統(tǒng)建模,設(shè)計并仿真系統(tǒng)函數(shù)(使用Matlab或Multisim軟件),分析和討論系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)頻響特性的影響和相應(yīng)的設(shè)計指標(biāo),并在仿真成功后再準(zhǔn)備好相應(yīng)的元器件和連接線裝配調(diào)試,對最終得到的響應(yīng)信號結(jié)果進行分析和討論,從而深刻掌握輸入激勵、輸出響應(yīng)信號與系統(tǒng)在時域、頻域的對應(yīng)關(guān)系及物理意義。

圖5 二階系統(tǒng)波特圖(幅頻特性和相頻特性)

圖6 I型二階系統(tǒng)的原理電路

該I型二階系統(tǒng)的典型分析與綜合設(shè)計實驗需要綜合運用時域和頻域分析方法,由學(xué)生自主完成設(shè)計實驗、分析與解釋數(shù)據(jù)的工作,最后通過信息綜合得到合理有效結(jié)論。實驗包括如下內(nèi)容:

(1) 典型二階系統(tǒng)模擬電路的構(gòu)成方法及I型二階開環(huán)/閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)建模與仿真；

(2) I型二階開環(huán)/閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)(自然頻率ωn、阻尼比ξ)對系統(tǒng)響應(yīng)過渡過程的影響研究；

(3) 掌握欠阻尼I型二階閉環(huán)系統(tǒng)在階躍信號輸入時的動態(tài)性能指標(biāo)MP、tP、ts的計算；

(4) 設(shè)計實驗電路,搭建實物系統(tǒng),使用AD2口袋儀器實驗室進行測試分析；

(5) 分別觀察和分析I型二階閉環(huán)系統(tǒng)在階躍信號輸入時,欠阻尼,臨界阻尼,過阻尼狀態(tài)的瞬態(tài)響應(yīng)曲線及其動態(tài)性能指標(biāo)tr、MP、tP、ts值,并與理論計算值作對比。

實驗電路中激勵信號在輸入到實際功能實驗電路之前,先經(jīng)過一個前置的電壓跟隨器U1A,這是因為對于本實驗電路,當(dāng)調(diào)節(jié)電位器VR4阻值近似為零時,系統(tǒng)蛻變?yōu)榻鼰o阻尼系統(tǒng),此時因AD2激勵信號源的驅(qū)動能力有限,系統(tǒng)響應(yīng)和理論模型相比可能會有較大誤差,所以需要增加一個電壓跟隨器以增強激勵信號的驅(qū)動能力；同理,系統(tǒng)的輸出響應(yīng)信號的后級也增加有一個電壓跟隨器U1B。

表1 I型二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)(欠阻尼狀態(tài),閉環(huán)系統(tǒng))

注:1.括號內(nèi)數(shù)值為測量值；2.K、wn和ξ都為計算值。

完整的系統(tǒng)響應(yīng)實驗裝置硬件單元組件包括Analog Discovery2口袋儀器實驗室和實驗電路(可用萬能板或面包板搭建),如圖7所示。其中萬用板右下方紅線框中為無源RC一階系統(tǒng)/RLC二階系統(tǒng)電路,配套AD2使用時需要FlyWire杜邦線連接；萬用板其余部分為I型二階系統(tǒng)的有源模擬電路,同樣也可以使用FlyWire,更可靠的連接方式是通過雙排彎排母和AD2的雙排插針直接對插固定連接,避免飛線連接引起的導(dǎo)線松動或接錯問題。

圖7 基于口袋儀器實驗室的系統(tǒng)響應(yīng)實驗裝置

4 結(jié)語

由被動性學(xué)習(xí)到主動性學(xué)習(xí)最好的方法就是實踐,引入便攜式口袋儀器實驗室,給學(xué)生提供了一個基礎(chǔ)理論分析計算與實際工程問題相結(jié)合的創(chuàng)新實踐平臺,為專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和工程素質(zhì)的拓展奠定良好的基礎(chǔ)。作為隨課實驗在課堂現(xiàn)場進行時,學(xué)生可直接參與實驗過程,直接有機整合到理論內(nèi)容的教學(xué)中。更重要的是,可以由學(xué)生在課后根據(jù)教學(xué)要求自主進行實驗設(shè)計、分析和調(diào)試,將一般驗證性實驗擴展為課后自主綜合性實驗,從相對狹窄的課程理論內(nèi)容擴展到寬口徑專業(yè)基礎(chǔ)和創(chuàng)新能力培養(yǎng)。

致謝:感謝同濟大學(xué)電子與信息工程學(xué)院控制科學(xué)與工程系碩士研究生王德明、壽佳鑫、鐘政同學(xué)對課程教學(xué)和實驗調(diào)試的支持！