問題驅(qū)動，自然構(gòu)建
——由一堂課引發(fā)的思考

☉安徽省合肥市第四中學 唐愛民

張奠宙先生說過數(shù)學有三種不同的形態(tài)，第一種是數(shù)學家在創(chuàng)建數(shù)學結(jié)構(gòu)過程中的原始形態(tài)；第二種是整理研究成果之后發(fā)表在數(shù)學雜志上、陳述于教科書上的學術(shù)形態(tài)；第三種是便于學生理解學習、在課堂上出現(xiàn)的教育形態(tài).數(shù)學課堂教學就是要把抽象的第一、第二種形態(tài)轉(zhuǎn)化為易于學生理解與接受的第三種形態(tài)，即教育形態(tài)，其中構(gòu)建自然流暢的教學過程是實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵.最近，筆者觀摩了一堂關(guān)于“數(shù)學歸納法”的公開課，縱觀整個教學流程，發(fā)現(xiàn)還是有一些地方值得商榷的.

一、教學主要過程簡介

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

故事情境：從前有個財主，雖有萬貫家財，但幾代都沒人識字.這年，他請來一位先生，在家教兒子讀書.先生上第一課時，先教寫字.他寫一畫說是“一”字；寫二畫，說是“二”字；寫三畫，說是“三”字.教到這里，財主的兒子就把筆一擲，興高采烈地跑去告訴父親，說：“我全學會啦，我全學會啦！爹你快把老師辭退吧，不要破費錢財呀！”財主聽了很高興，真的打發(fā)走先生.過了不久，財主要請一個姓萬的朋友吃酒，他就叫兒子起來寫請?zhí)?誰知過了半天，財主還不見兒子把請?zhí)麑懞?，便去催促?兒子抱怨那人說：“天底下那么多的姓，他什么也不要，偏偏要姓‘萬’的，害得我從早晨到現(xiàn)在，才寫完五百畫.爹，你說氣人不？”

數(shù)學情境：12-1+11=11，22-2+11=13，32-3+11=17，42-4+11=23都是質(zhì)數(shù)，于是就有人得出結(jié)論：任何形如n2-n+11的數(shù)都是質(zhì)數(shù)？你認為這個猜想對不對？

設(shè)計意圖：一方面，通過以上兩個情境讓學生了解什么是歸納法、歸納推理的特點；另一方面，通過運算讓學生認識到歸納法存在的缺陷，引發(fā)學生的認知沖突，為后續(xù)的學習做好必要的思維鋪墊.于是，教師就可以自然地提出“對如何優(yōu)化歸納法”的思考.

2.動手操作，發(fā)現(xiàn)原理

教師為每個學習小組發(fā)放了一副多米諾骨牌，學生在“玩”的同時思考：多米諾骨牌全部倒下需要滿足什么條件？

通過動手操作，學生提出了：必須有一塊骨牌先倒下、骨牌的間隙不能太大、骨牌要排列整齊、骨牌要光滑等條件.

經(jīng)過教師的引導(dǎo)，最后得到骨牌全部倒下的充分條件：第一塊骨牌必須先倒下；前一塊骨牌倒下必須能夠碰到后一塊骨牌.

設(shè)計意圖：讓學生在“玩中學，學中玩”的同時發(fā)現(xiàn)隱藏在背后的數(shù)學原理，這樣的一種發(fā)現(xiàn)方式對學生來說是“有趣的”，能夠調(diào)動學生的學習興趣，并且能夠讓學生體會到數(shù)學與生活的聯(lián)系.

3.抽象類比，形成方法

類比“多米諾骨牌”倒下的充分條件，可以得到證明上述結(jié)論的步驟.

第一塊骨牌倒下：n=1時，等式成立；

前一塊骨牌倒下后一塊骨牌也倒下：n=k時，等式成立→n=k+1時，等式也成立.

經(jīng)過師生的共同討論，最后得到數(shù)學歸納法的一般步驟.

設(shè)計意圖：通過類比，讓學生經(jīng)歷感受、體驗、領(lǐng)悟、深化的思維過程，從而實現(xiàn)從感性認知到理性思考的升華.

最后，進入方法應(yīng)用環(huán)節(jié).教師布置兩道例題（證明等式、證明不等式），讓學生用數(shù)學歸納法進行證明，通過糾正學生的錯誤，規(guī)范書寫格式.

二、引發(fā)的教學思考

作為高中數(shù)學的經(jīng)典課例，有關(guān)“數(shù)學歸納法”的教學探討一直沒有停止，如何讓教學設(shè)計更加自然、符合學生的認知規(guī)律也一直是廣大一線教師努力的方向.雖然本節(jié)課的設(shè)計有很多可圈可點之處，但總體上還是不夠“自然”.

1.“數(shù)學歸納法”不同于“歸納法”

本節(jié)課不是概念課，也不是習題課、公式定理課，而是“數(shù)學思想方法”課.通過本節(jié)課的學習，要讓學生掌握一種全新的思想方法，并認可其合理性、科學性，教學難度不言而喻.但不論什么課型，教師的教學必須立足于學生已有的認知經(jīng)驗，那么“數(shù)學歸納法”的認知基礎(chǔ)是“歸納法”嗎？兩者從字面上看就差了兩個字，看似是同一回事，其實不然.歸納法是從特殊到一般的推理過程，是通過特例來發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，它的適用范圍不僅是數(shù)學學科，而是所有的科學研究.而數(shù)學歸納法僅僅是在數(shù)學中用來嚴格證明某一類命題的數(shù)學方法.歸納法是以獲得結(jié)論為目標，而數(shù)學歸納法是以“皮亞諾自然數(shù)大理中的歸納公理”為理論基礎(chǔ)的一種數(shù)學證明方法，追求的是過程的嚴密性.因此，歸納法與數(shù)學歸納法是有本質(zhì)區(qū)別的.在本課中，把數(shù)學歸納法作為歸納法的一種拓展或者優(yōu)化是值得商榷的.這樣的做法，很容易讓學生把歸納法與數(shù)學歸納法等同起來，從而在實際應(yīng)用中出現(xiàn)一系列的問題.

2.“多米諾”骨牌不是數(shù)學歸納法的本質(zhì)

在很多課例中，都把“多米諾”骨牌游戲作為發(fā)現(xiàn)、提煉數(shù)學歸納法的情境，教材也是這樣處理的.但實際上，“多米諾”骨牌現(xiàn)象并非數(shù)學歸納法的本質(zhì).數(shù)學歸納法的出現(xiàn)要早于“多米諾”骨牌游戲，也就是說數(shù)學歸納法并不是從“多米諾”骨牌游戲中獲得靈感的，只是類比發(fā)現(xiàn)“多米諾”骨牌效應(yīng)中隱藏著“從一到多，從有限到無限”的數(shù)學原理，于是，就把“多米諾”骨牌游戲作為揭示數(shù)學歸納法的載體.但在實際教學中，這也是教師的“一廂情愿”而已.正如本節(jié)課中所出現(xiàn)的，在探討讓“多米諾”現(xiàn)象成功發(fā)生的條件時，很多學生卻提出了“骨牌要排列整齊、骨牌要光滑”等類似的“無效”條件，這就充分說明了從“多米諾”骨牌游戲中提出“數(shù)學歸納法”有多難.

三、問題驅(qū)動，自然構(gòu)建

那么本節(jié)課該如何設(shè)計？關(guān)鍵是要明確數(shù)學歸納法的本質(zhì).數(shù)學歸納法的本質(zhì)其實就是“遞推”，其證明步驟呈現(xiàn)的就是一個遞推的過程.它的教學難點是如何從“有限”上升到“無限”，而數(shù)學中往往用“任意”過渡到“無限”，這就是證明步驟中為什么有“假設(shè)k”，因為“k”是任意的，任意都成立，從而推出所有都成立.明確了上述兩點，本節(jié)課的自然構(gòu)建也就不成問題了.

1.直面問題，引發(fā)思考

問題：已知數(shù)列{an}中，a1=1，且滿足N*），計算a2，a3，a4，由此推測數(shù)列的通項公式an，并給出證明.

設(shè)計意圖：通過計算a2，a3，a4的值，讓學生經(jīng)歷歸納猜想的過程；猜想獲得公式后，引發(fā)學生對于如何進行嚴格證明的思考.并且，本題原本就包含了一個明顯的遞推公式，其作用就是利用an可以求得an+1，即已知前一項可以獲得后一項的結(jié)果，學生經(jīng)過運算，不斷地經(jīng)歷這樣的一種“遞推”的過程，然后教師再進行適當引導(dǎo)，類比就很容易從形式上與數(shù)學歸納法建立聯(lián)系.

2.聯(lián)系生活，發(fā)現(xiàn)原理

上述問題已經(jīng)具備了提煉數(shù)學歸納法的基本要素，但要讓學生直接從中得出數(shù)學歸納法的證明步驟，顯然難度太高.聯(lián)系生活中的一些常見現(xiàn)象，可以降低思維難度.

摸球問題：一個袋子里面裝了很多球，如何確定里面裝的全是紅球？

問題1：摸1個球，發(fā)現(xiàn)是紅球能否說明里面裝的全是紅球？

問題2：摸出2個球，3個球，4個球都是紅球能否說明里面裝的全是紅球？

問題3：需要摸出幾個球是紅球才能說明里面裝的全是紅球？

設(shè)計意圖：通過簡單的生活例子，引發(fā)學生對于“數(shù)學歸納法”做出最原始的思考.顯然，摸出“幾個”球是無法得到“全是紅球”的結(jié)論的，最直接的辦法就是把所有的球都確認一遍.如果球的數(shù)量很多，這種“枚舉”的方法效率太低.但無論如何，第1個球必須是紅球，如果不是就可以直接得出否定的結(jié)論.這就是數(shù)學歸納法的第一步“n=1”，這一步是證明的開始，是不可或缺的.

問題4：能否通過足夠少的摸球次數(shù)就能確定“全是紅球”的結(jié)論？

設(shè)計意圖：顯然，這種辦法在現(xiàn)實中一般是不可能辦到的，除非能夠證明任意兩個球之間都存在著某種“傳遞”關(guān)系，“前一個球是紅色能夠推出下一個球也是紅色”，這就是數(shù)學歸納法中的“遞推”關(guān)系.最后，回到“數(shù)列通項問題”，類比“摸球”現(xiàn)象，提煉出數(shù)學歸納法證明的一般步驟，這樣的教學設(shè)計就會顯得很自然.

教無定法，貴在“自然”.教學不是方法的灌輸，也不是技巧的訓(xùn)練，而是在豐富的情境下，通過問題驅(qū)動，讓學生體會到每一個數(shù)學概念的出現(xiàn)，新知識、新方法的產(chǎn)生，從而實現(xiàn)學生思維的自然構(gòu)建.