學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的助學(xué)策略

江蘇省徐州市邳州市陳樓中學(xué) 王 聞

教材中的許多概念、法則、約定是直接給出的，缺少了概念的生成過程，掩蓋了概念的自然性、合理性.許多數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)概念教學(xué)重視程度不夠，處理概念教學(xué)時往往敷衍了事，或者讓學(xué)生死記硬背，違背了教材的意圖，也違背了新課程標(biāo)準(zhǔn)，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).筆者認(rèn)為，教師要在正確診斷學(xué)情的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，通過助學(xué)策略引導(dǎo)學(xué)生自然地經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、法則的生成過程，體驗數(shù)學(xué)概念、法則的合理性.筆者結(jié)合自己的教學(xué)、觀課等實踐，談?wù)勗诔浞掷斫鈹?shù)學(xué)的基礎(chǔ)上改進(jìn)數(shù)學(xué)概念、法則的教學(xué)策略.

一、運(yùn)用類比遷移，揭示內(nèi)涵生成概念

數(shù)學(xué)的發(fā)展史告訴我們許多概念具有相似的特性.對于這些概念的教學(xué)，教師可先引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過的同類概念的內(nèi)涵、外延及特性，再運(yùn)用類比遷移的思想生成新的概念.

案例1：二元一次方程的概念.

教師首先引導(dǎo)學(xué)生回憶一元一次方程的概念，并板書.然后提出下列問題.

問題1：判斷下列方程是否是一元一次方程，并說明理由.

（1）3x+2=5；（2）2x+y=7；（3）x=1；（4）=5；（5）x-6y=9；（6）x2-2x-3=0.

學(xué)生一般會回答（1）（3）是，（2）（4）（5）（6）不是.

教師緊接著提出問題：（4）（6）為什么不是？

學(xué)生會回答一元一次方程是整式方程，故（4）不是；（6）中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是1，故不是.

教師圈出（2）（5），再次提出問題：（2）（5）為什么不是一元一次方程？它們有什么特點呢？聰明的你能給它取一個名字嗎？

有了熟悉的概念作為鋪墊，學(xué)生很快會發(fā)現(xiàn)二元一次方程的特點.此時，教師再讓學(xué)生觀察（7）+y=8和（8）x2-3y=7是不是二元一次方程.有的學(xué)生會說是，有的學(xué)生會說不是，在討論交流后會形成統(tǒng)一觀點：類比（4）=5不是一元一次方程，因為它不是整式方程，所以（7）+y=8不是二元一次方程，同樣因為它不是整式方程；類比（6）x2-2x-3=0不是一元一次方程，因為未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是1，所以（8）x2-3y=7不是二元一次方程，同樣因為未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是1.

問題2：類比一元一次方程，你能說一說什么叫二元一次方程嗎？它有什么特點呢？

問題3：一元一次方程與二元一次方程有什么共同特征？

于是，二元一次方程的概念水到渠成.

章建躍老師說：“對同類概念進(jìn)行對比，可概括共同屬性.”所以說數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心就是“概括”，也就是說教師要把凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的思維活動打開，以若干典型的具體事例為范例，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會分析各事例的屬性、抽象概括其共同的本質(zhì)屬性，從而歸納得出數(shù)學(xué)概念，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的核心本質(zhì).通過同類概念的共同屬性引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識概念、感悟概念，進(jìn)而學(xué)會運(yùn)用類比遷移的思想方法解決問題，提升學(xué)生的觀察能力、分析能力、概括總結(jié)能力、應(yīng)用能力和發(fā)散思維能力.

在復(fù)習(xí)了一元一次方程概念的內(nèi)涵之后，再讓學(xué)生運(yùn)用類比遷移的思想方法學(xué)習(xí)二元一次方程的概念，然后讓學(xué)生感悟概念的外延，從而幫助學(xué)生明確二元一次方程今后的學(xué)習(xí)方向、研究方法和研究內(nèi)容，又可以引領(lǐng)學(xué)生把方程知識系統(tǒng)化學(xué)習(xí)，有利于方程知識體系的構(gòu)建.教學(xué)中教師通過復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的相似的數(shù)學(xué)概念為背景的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比遷移的思想方法獲得新的發(fā)現(xiàn)，再嘗試著給新概念下定義，這種做法順理成章，易于學(xué)生接受，學(xué)生很容易體驗數(shù)學(xué)概念生成的自然性.

二、遵循認(rèn)知規(guī)律，展示聯(lián)系生成概念

教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式教學(xué)和因材施教.有效的教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生、激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生通過自己的思考建立起對數(shù)學(xué)的理解，構(gòu)建和發(fā)展數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生深入學(xué)習(xí)，獲得概念的發(fā)生、發(fā)展過程，認(rèn)識概念的本質(zhì).

案例2：開平方的概念.

在蘇科版八年級上冊教科書中，教材設(shè)計一課時同時學(xué)習(xí)開平方和平方根的概念，學(xué)生很難理解這兩個概念.許多學(xué)生初中畢業(yè)了還沒搞清楚開平方的含義，就更別說平方根的概念了.這就需要教師挖掘概念生成的規(guī)律，設(shè)計適合學(xué)生的有效助學(xué)設(shè)計幫助學(xué)生探究開平方概念的內(nèi)涵.

首先讓學(xué)生回憶舊知：

問題1：先填空，后觀察思考，你能發(fā)現(xiàn)什么？

（1）（-1）2=（ ），（+1）2=（ ），（ ）2=1；

（2）（-2）2=（ ），（+2）2=（ ），（ ）2=4；

（4）（-0.2）2=（ ），（+0.2）2=（ ），（ ）2=0.04.

學(xué)生很快會回憶平方的運(yùn)算，并能總結(jié)出互為相反數(shù)的數(shù)平方值相等.教師再追問：

（5）（ ）2=0.

到這里，學(xué)生就能完全回憶舊知：平方相等的數(shù)有兩個，且互為相反數(shù)；0的平方等于0.

問題2：若x2=1，則x=______，這里從第一個等式到第二個等式的過程叫開平方.即1開平方的結(jié)果是______.

由等式x2=9得到等式x=______的過程也叫開平方.即9開平方的結(jié)果是______.

聰明的你能說出0開平方是多少嗎？

問題3：有平方得負(fù)數(shù)的數(shù)嗎？為什么？

問題4：下列各數(shù)能開平方嗎？如果能，請說出開平方的結(jié)果；如果不能，請說明理由.

到這里，我們可以看到：如果教師能降低學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，從學(xué)生熟悉的事例出發(fā)，先讓學(xué)生理解平方與開平方的聯(lián)系，再生成平方根的概念就水到渠成了.

學(xué)生獲得一個數(shù)學(xué)概念的過程先要從具體的、直觀的、熟悉的情境引入，再引領(lǐng)學(xué)生建立抽象的思考過程，從而滲透抽象思維，歸納出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).

因此，數(shù)學(xué)概念的形成過程就是以學(xué)生的直接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，運(yùn)用學(xué)生熟悉的、具體的、直觀的情境探索，用歸納的方式抽取出一類事例的共同屬性，進(jìn)而加深對數(shù)學(xué)概念的理解.

三、通過實驗操作，探究分析生成概念

董林偉老師說：“直觀和具體是理解數(shù)學(xué)概念的重要方式和手段，教學(xué)中我們可以設(shè)計生動形象的數(shù)學(xué)實驗解釋抽象的數(shù)學(xué)理論，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)意義，增強(qiáng)概括抽象能力.”通過數(shù)學(xué)實驗操作，學(xué)生能直觀、具體地感受到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，體驗概念生成的自然性、合理性.

案例3：有理數(shù)的加法法則.

有理數(shù)的加法法則非常抽象，又蘊(yùn)含著分類討論的數(shù)學(xué)思想，可以借助“筆尖在數(shù)軸上的移動”的實驗活動來幫助學(xué)生建立有理數(shù)的加法法則，也可以讓學(xué)生利用正負(fù)數(shù)的意義在南北方向或東西方向運(yùn)動的實驗來歸納總結(jié)有理數(shù)的加法法則，感悟有理數(shù)加法的意義.規(guī)定向北為正，向南為負(fù)，讓一名學(xué)生在教室的前面按南北方向走（步幅大小相同，實驗者走路的步幅盡量相同），其余學(xué)生記錄過程并計算結(jié)果.

（1）第1組實驗：讓學(xué)生從講臺中間先向北走3步，再向北走2步，此時他相對于出發(fā)點的位置為（+3）+（+2）=+5；讓學(xué)生從講臺中間先向南走3步，再向南走2步，此時他相對于出發(fā)點的位置為（-3）+（-2）=-5；讓學(xué)生從講臺中間先向南走5步，再向南走6步，此時他相對于出發(fā)點的位置為（-5）+（-6）=-11；再讓學(xué)生換一組數(shù)實驗并嘗試著從定“和的符號”和求“和的結(jié)果”的角度歸納總結(jié).

（2）第2組實驗：讓學(xué)生從講臺中間先向北走3步，再向南走2步，此時他相對于出發(fā)點的位置為（+3）+（-2）=+1；讓學(xué)生從講臺中間先向北走3步，再向南走5步，此時他相對于出發(fā)點的位置為（+3）+（-5）=-2；讓學(xué)生從講臺中間先向北走3步，再向南走3步，此時他相對于出發(fā)點的位置為（+3）+（-3）=0；再讓學(xué)生換一組數(shù)實驗并嘗試著從定“和的符號”和求“和的結(jié)果”的角度歸納總結(jié).

（3）第3組實驗：讓學(xué)生從講臺中間先向北走3步，再向北（南）走0步，此時他相對于出發(fā)點的位置為（+3）+0=+3；讓學(xué)生從講臺中間先向南走3步，再向北（南）走0步，此時他相對于出發(fā)點的位置為（-3）+0=-3；再讓學(xué)生換一組數(shù)實驗并嘗試著從定“和的符號”和求“和的結(jié)果”的角度歸納總結(jié).

利用“在南北方向走路的實驗”，既可以幫助學(xué)生直觀地理解有理數(shù)的加法法則，又可以避免抽象語言帶來的理解上的困難，還能培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力，又能滲透有理數(shù)的加法的意義，引領(lǐng)學(xué)生解決生活中的問題.

在實驗教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生在觀察、操作、探索、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等活動中完成數(shù)學(xué)法則的形成、建構(gòu)和完善.

章建躍老師說：“課堂教學(xué)中，‘自然的過程’來源于數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程和學(xué)生認(rèn)知過程的融合，具體表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)概念、原理的不斷歸納和概括的過程.”因此，教師首先要充分理解數(shù)學(xué)，挖掘數(shù)學(xué)概念、法則形成過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)設(shè)計中，以問題為載體，通過設(shè)計有效的活動和助學(xué)策略引導(dǎo)，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維活動打開，引導(dǎo)學(xué)生展開學(xué)習(xí)，使數(shù)學(xué)概念、法則的“生成”更加自然、更加合理.