好的問(wèn)題總是成堆出現(xiàn)的
——從2019年全國(guó)卷Ⅱ第20題談起

☉江蘇省南通中學(xué) 李維堅(jiān)

著名的美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)：“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L(zhǎng)的.”

對(duì)于2019年全國(guó)Ⅱ卷第20題，看似不顯山不露水，其實(shí)簡(jiǎn)約卻不簡(jiǎn)單.

題目已知函數(shù)f（x）=lnx-.討論f（x）的單調(diào)性，并證明f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

該問(wèn)題的載體是近幾年大熱的“取點(diǎn)”問(wèn)題.正所謂“眾里尋點(diǎn)千百度，那點(diǎn)卻在燈火闌珊處”.“取點(diǎn)”問(wèn)題在歷年高考、模擬題中頻繁出現(xiàn)，一般利用單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理解決.現(xiàn)在有的模擬題考查難度加大，有時(shí)需要先放縮再“取點(diǎn)”，有時(shí)需要先取含參的點(diǎn)再放縮，令師生求而不得、苦不堪言.前幾年的全國(guó)卷均以此作為壓軸題，令人望而生畏.

而今年，本題的“取點(diǎn)”唾手可得.

那么本題中隱藏的玄機(jī)又在何處呢？下面筆者談?wù)勛约旱淖疽?jiàn).

其一，本題函數(shù)單調(diào)性的判斷不需要導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，高一的學(xué)生可通過(guò)“分而治之”化歸為基本函數(shù)的方法，或者通過(guò)單調(diào)性定義判斷出來(lái).對(duì)比現(xiàn)在很多考題中的函數(shù)的構(gòu)造，為了求導(dǎo)而求導(dǎo)，出現(xiàn)了很多現(xiàn)實(shí)生活中根本不可能建模，或者根本不存在的函數(shù)，成為了復(fù)雜函數(shù)的堆砌，完全脫離了數(shù)學(xué)實(shí)際.而本題中的函數(shù)，構(gòu)造簡(jiǎn)約，是兩個(gè)基本函數(shù)：定義域不連續(xù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和一次分式函數(shù)的和，考查的是學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的認(rèn)知水平和解決能力，可以說(shuō)一看就了然于心，這個(gè)函數(shù)分別在（0，1）、（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù).用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷單調(diào)性，真是殺雞焉用牛刀.

其二，很多網(wǎng)上的答案在區(qū)間（1，+∞）上取的點(diǎn)是“e”和“e2”，證得f（e）=＜0，f（e2）=＞0，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知，f（x）在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn).繼而，在區(qū)間（0，1）上又取點(diǎn)“”和“”，同理可證得.

那么問(wèn)題來(lái)了，我們常說(shuō)要解題反思，解題反思包含的一個(gè)環(huán)節(jié)就是“解后反思”.波利亞說(shuō)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅是一半，更重要的是解題之后的回顧.”

解題之后的回顧帶來(lái)了對(duì)問(wèn)題進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).

本題開(kāi)啟了“取點(diǎn)”的新局面：利用原函數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化“取點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，達(dá)到事半功倍的效果.解決了一個(gè)新的問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該考慮“相似的問(wèn)題”、“相近的問(wèn)題”，好的問(wèn)題總是成堆出現(xiàn)的，問(wèn)題促使我們思考，提高我們的數(shù)學(xué)思維能力.

相似的問(wèn)題如下，一道調(diào)研壓軸題，同樣僅需高一的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以解決.

變式：已知函數(shù)f（x）=時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)x，使得f（-x）=-f（x）？若存在，試確定這樣的實(shí)數(shù)x的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

通過(guò)對(duì)上題的解后反思，我們不難發(fā)現(xiàn)，本題函數(shù)的單調(diào)性一目了然，本題的問(wèn)題方程f（-x）=-f（x）所蘊(yùn)含的性質(zhì)，恰恰幫我們簡(jiǎn)化了“取點(diǎn)”的道路.

但本題的求解之路并非簡(jiǎn)單地重復(fù)全國(guó)卷.

思考維度1：直接作差構(gòu)造函數(shù).當(dāng)x≥1且x≠2時(shí)，令g（x）=f（-x）+f（x）=，易得g（x）在區(qū)間（1，2）和區(qū)間（2，+∞）上分別是單調(diào)減函數(shù).在區(qū)間（1，2）上，g（x）≤g（1）=-1-a＜0，不存在滿足條件的x.在區(qū)間（2，+∞）上，易得g（3）=，根據(jù)單調(diào)性考慮取大于2小于3的數(shù)，此時(shí)將具體的數(shù)代入會(huì)有解題困難，考慮取含參數(shù)的大于2 小于3 的，代入得；若是失效，可嘗試取離2更近的數(shù)，比如，或，代入g（x），看成關(guān)于a的函數(shù)F（a），求其范圍即可.由此可得函數(shù)g（x）在區(qū)間（2，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0.而根據(jù)此函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x），當(dāng)x0（x0≠0）滿足此方程時(shí)，實(shí)數(shù)-x0也一定滿足f（-x）=-f（x），即滿足f（-x）=-f（x）的根成對(duì)出現(xiàn)，互為相反數(shù).因而，所有滿足f（-x）=-f（x）的實(shí)數(shù)x的個(gè)數(shù)為2個(gè).

這種思維方式幾乎與全國(guó)卷一脈相承，完美融合了基本函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性及零點(diǎn)存在性定理.

思考維度2：對(duì)于方程f（-x）=-f（x），更多的人可能條件反射想到的是將分式方程化為整式方程、三次方程，這恰是我們導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的重點(diǎn)，也是我們完全可駕馭的.化歸后再構(gòu)造函數(shù)h（x）=ax3-（2a+1）x2-2x+2，并研究其單調(diào)性.下面筆者撇開(kāi)導(dǎo)數(shù)，利用“分而治之”的策略，回歸函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)談?wù)劚绢}的解法.

首先第一次利用“分而治之”，h（x）化為h（x）=ax2（x-2）-x2-2（x-1），易得其在區(qū)間［1，2］上函數(shù)值恒小于0.下面用定義證明h（x）在（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)：任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，則h（x1）-h（x2）=（x1-x2）［（ax12+ax1x2+ax22）-（2a+1）（x1+x2）-2］.

（ax12+ax1x2+ax22）-（2a+1）（x1+x2）-2=ax1（x1-2）+ax2（x2-2）+ax1x2-x1-x2-2.

因而h（x1）-h（x2）＜0.所以h（x）在（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù).

易得h（2）＜0，h（3）＞0，由零點(diǎn)存在性定理可知，h（x）在（2，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，以下同思考維度1.

思考維度2雖然在函數(shù)的處理策略上與全國(guó)卷大相徑庭，但是“分而治之”的思想方法卻是一用到底，這啟發(fā)我們?cè)诮忸}時(shí)，要沉下心觀察數(shù)式的結(jié)構(gòu)特質(zhì)，事先要有解題規(guī)劃，這樣才能明確解題方向，在方向的指引下，不斷尋求問(wèn)題的突破口.

張奠宙教授曾以賈島的《尋隱者不遇》中一句深刻雋永的“只在此山中，云深不知處”來(lái)通感“零點(diǎn)存在性定理”.“零點(diǎn)存在性定理”又是“二分法”的基石，而本文中反復(fù)使用的“分而治之”又何嘗不是“二分法”和“化歸”的應(yīng)用之一呢.

“數(shù)學(xué)化”地處理問(wèn)題，不僅在遇到新的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能以黃楊木般“困于天而能自全于天”的心態(tài)解決問(wèn)題，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一堆好的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且也可以在其他領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并通過(guò)數(shù)學(xué)建模去解決問(wèn)題.有了通性通法的指導(dǎo)，面對(duì)難題，黃楊舊厄三年閏只是偶然，赤驥非無(wú)萬(wàn)里姿才是常態(tài).