基于hp-自適應(yīng)偽譜法的高超聲速飛行器上升段閉環(huán)制導(dǎo)研究

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(中國兵器工業(yè)第203研究所，西安 710065)

0 引言

高超聲速飛行器,其速度大于5馬赫數(shù)，并且通常在20千米到150千米的空間飛行，它是未來軍事領(lǐng)域的重要組成部分，它將成為具備戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)威懾力的空間作戰(zhàn)平臺及武器。能夠快速有效地擊中遠程目標，并達到精確打擊的目的[1-2]。

文獻[3]中Brown等人對于大氣段閉環(huán)制導(dǎo)的可行性進行了研究，提出了使用真空制導(dǎo)算法得到初始猜想，然后通過增加大氣密度的方式求得最優(yōu)軌跡，并將其作為初始猜想，試驗證明這種方法雖然能夠較好地提高收斂性能，但依然不能完全保證無法保證一定的收斂特性。如果無法收斂，飛行器的飛行狀態(tài)始終與最優(yōu)軌跡誤差較大，影響最終精度。

文獻[4]使用粒子群算法進行閉環(huán)制導(dǎo)研究，通過粒子群算法設(shè)計飛行器的飛行軌跡，并在閉環(huán)仿真中實時進行迭代。但是這個方法的收斂時間較長，可能無法保證閉環(huán)制導(dǎo)的實時性要求。

本文提出一種基于hp-自適應(yīng)偽譜法的高超聲速飛行器上升段閉環(huán)制導(dǎo)方法，在飛行器運動動力學(xué)模型和約束條件模型的基礎(chǔ)上，通過數(shù)字仿真驗證了其可靠性，文章的研究結(jié)果為高超聲速飛行器的閉環(huán)制導(dǎo)提供了有價值的參考。

1 飛行器上升段建模

1.1 質(zhì)心運動及動力學(xué)方程

飛行器在上升段平面內(nèi)的運動方程表示為：

(1)

式中，T為推力大小，D為阻力大小，L為升力大小，H為飛行高度，V為飛行器的飛行速度，m為飛行器質(zhì)量，Isp為燃料比沖，g0為海平面重力加速度，α和θ分別為飛行器的攻角和彈道傾角，q為俯仰角速度[5]。

1.2 氣動力模型

選取迎角和馬赫數(shù)作為影響氣動力的最主要因素，擬合公式可以提高算法的快速性，氣動力模型如下[6]：

(2)

應(yīng)用最小二乘法進行氣動參數(shù)辨識。結(jié)果為：

(3)

氣動力系數(shù)擬合曲線如圖1所示。

圖1 升力系數(shù)和阻力系數(shù)變化曲線

1.3 發(fā)動機推力模型

本文采用渦輪發(fā)動機與超燃沖壓發(fā)動機相結(jié)合的推力模型作為研究對象[7]。發(fā)動機推力系數(shù)CT隨著飛行器飛行高度H，馬赫數(shù)M和攻角α的變化而變化，根據(jù)實驗所得數(shù)據(jù)進行曲線擬合，得到推力系數(shù)的計算公式：

CT(M,α)=

(4)

2 約束條件

2.1 微分方程約束

高超聲速飛行器上升段狀態(tài)方程的微分約束：

(5)

式中，X(t)是由飛行器上升階段五個狀態(tài)量組成的向量，U(t)是攻角控制量α。

X(t)=[H(t),x(t),V(t),θ(t),m(t)]

(6)

U(t)=α(t)

(7)

2.2 狀態(tài)量和控制量約束

由于飛行器真實舵機等執(zhí)行機構(gòu)的限制，在上升過程中，控制能力約束主要反映到可使用攻角的約束，相應(yīng)的控制量U(t)需要限制在一定范圍內(nèi)[8]；據(jù)此建立如下約束條件：

(8)

2.3 邊值約束

初始邊界條件：

H(t0)=H0,V(t0)=V0,θ(t0)=θ0

(9)

終止邊界條件：

H(tf)=Hf,V(tf)=Vf,θ(tf)=θf

(10)

其中，t0和tf分別為爬升段的初始時刻和終止時刻。

2.4 路徑約束

1)熱流約束。

熱流密度表達式為：

(11)

式中，

C=7.9686×10-5,N=0.5,K=3.15

(12)

2)動壓約束。

飛行器的氣動鉸鏈力矩和飛行器表面的耐熱材料限制了動壓的上限，動壓約束的下限值主要與超燃沖壓發(fā)動機啟動的要求相關(guān)。

(13)

3)過載約束。

由于本文研究的是高超聲速飛行器的上升階段，所以只分析了其縱向平面，此處過載約束為飛行器的最大法向過載約束，即：

(14)

2.5 目標函數(shù)

本文分別選取兩種目標函數(shù)對基于hp-自適應(yīng)偽譜法的閉環(huán)制導(dǎo)方法進行研究：

(1)為了使高超聲速飛行器在巡航階段能夠有充足的燃料進行突防和規(guī)避任務(wù)，設(shè)計飛行器在滿足各種約束條件下以最省燃料的方式進行爬升，目標函數(shù)則選取為上升段結(jié)束后飛行器的質(zhì)量最大，對應(yīng)的目標函數(shù)為：

minJ=-mf

(15)

(2)為了能夠使高超聲速飛行器快速有效地完成上升段飛行任務(wù)，設(shè)計飛行器在滿足各種約束條件下以最短時間完成爬升飛行任務(wù)，目標函數(shù)選取為上升段結(jié)束后的時間最小。

minJ=tf

(16)

2.6 上升段飛行走廊

為了更好地描述飛行器飛行包線，基于上節(jié)提出的高超聲速飛行器在爬升階段需滿足的約束條件，需要保證在飛行過程中的狀態(tài)變量在動壓、過載以及熱防護結(jié)構(gòu)所允許的范圍之內(nèi)。通過這些邊界條件協(xié)同確定了上升階段的可飛行區(qū)域，形成了其飛行走廊，以便于對其飛行區(qū)域進行劃分。

圖2 上升段飛行走廊

3 hp-自適應(yīng)偽譜法算法設(shè)計

3.1 飛行軌跡規(guī)劃策略

高超聲速飛行器上升段的閉環(huán)制導(dǎo)研究是非線性問題，一般的非線性最優(yōu)控制問題的標準形式為Bolza型問題[10]，其最優(yōu)控制模型可以表示為：

(17)

(18)

e(x(t0),t0,x(tf),tf)=0

(19)

c(x(t),u(t),t)≤0

(20)

在上面的公式中，x∈Rn為狀態(tài)變量，u∈Rm為控制變量，t為任意時刻，t0為初始時刻，tf為終止時刻。Φ表示Mayer型代價函數(shù)，g表示Lagrance型代價函數(shù)。

結(jié)合本文所研究的高超聲速飛行器閉環(huán)制導(dǎo)研究問題，將基于飛行器最省燃料和最短飛行時間兩種目標函數(shù)的軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，如下式所示。

(1)最省燃料最優(yōu)控制問題：

minJ=-mf

(2)最短飛行時間最優(yōu)控制問題：

minJ=tf

3.2 最優(yōu)控制問題的離散化

如果要對上述連續(xù)的Bolza最優(yōu)控制問題采用直接法進行求解，首先需要對連續(xù)最優(yōu)控制問題進行離散化[11]，將其轉(zhuǎn)化為有限維度的代數(shù)問題，本文將采用基于插值多項式近似逼近狀態(tài)量和控制量的方法。

高超聲速飛行器的軌跡優(yōu)化問題即為能夠達到最優(yōu)性能指標的最優(yōu)飛行軌跡。在進行軌跡優(yōu)化時需要將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一般形式的最優(yōu)控制問題，接著按照上一節(jié)的計算方法對標準形式的軌跡優(yōu)化問題進行離散化；最終得到關(guān)于本文所研究內(nèi)容的離散形式如下。

以高超聲速飛行器上升段最省燃料問題為例：

(1)最優(yōu)性能指標函數(shù)離散后的表達式：

(21)

(2)動力學(xué)微分方程離散化表達式：

(22)

(3)邊值約束離散化：

E(X0,t0,Xf,tf)=0

(23)

(4)路徑約束、狀態(tài)量和控制量約束。

離散化表達式：

(24)

其中，狀態(tài)變量Xi=[hi,Vi,θi,mi]，控制量Ui=[αi]。

為了將離散后的結(jié)果更加具體化，結(jié)合本文的研究內(nèi)容，將運動方程離散化形式表示入下：

?

(25)

3.3 hp-自適應(yīng)偽譜法算法流程

hp自適應(yīng)策略即是求解連續(xù)最優(yōu)控制問題時，對相應(yīng)問題進行單元劃分，每個單元再運用偽譜法進行離散近似和參數(shù)化，同時所分單元的數(shù)目和每個單元近似用的多項式的階數(shù)即配點數(shù)，采用一種自適應(yīng)的策略來獲得。hp-自適應(yīng)偽譜法其實就是綜合了h方法和p方法，首先將時間分段，然后對每一段繼續(xù)采用Guass偽譜法進行離散化。

基于以上分析計算，可以進一步得到hp-自適應(yīng)偽譜法的迭代流程圖和制導(dǎo)系統(tǒng)流程圖。

圖3 hp-自適應(yīng)偽譜法流程框圖

圖4 制導(dǎo)系統(tǒng)流程圖

4 閉環(huán)制導(dǎo)策略

如圖5所示，為飛行器整個飛行階段的閉環(huán)制導(dǎo)軌跡示意圖。整個階段根據(jù)設(shè)計策略分為n個優(yōu)化時間段，在每一個時間段內(nèi)實時運行偽譜算法，根據(jù)慣性導(dǎo)航裝置測量的飛行器當(dāng)前姿態(tài)和位置信息生成最優(yōu)軌跡，將計算得出的控制量轉(zhuǎn)化為舵機裝置的輸出電壓，舵機偏轉(zhuǎn)控制導(dǎo)彈按照設(shè)計出的最優(yōu)軌跡飛行。在這個階段中，飛行器會由于外界干擾因素而偏離最優(yōu)軌跡，在一個解算周期內(nèi)到達如圖所示的A點。

當(dāng)飛行器在一個解算周期后到達圖中A點，飛行控制器根據(jù)測量元件輸出的飛行器當(dāng)前的飛行狀態(tài)，繼續(xù)生成控制指令，導(dǎo)引飛行器按照方案彈道飛行。整個飛行階段劃分為多個解算周期，直至到達目標位置，滿足約束條件。

圖5 閉環(huán)制導(dǎo)原理示意圖

5 仿真驗證

5.1 仿真條件設(shè)置

飛行器初始高度和初始速度：

(26)

終端高度和終端速度：

(27)

路徑約束參數(shù)如表1所示。

表1 路徑約束條件

5.2 最優(yōu)軌跡優(yōu)化

基于飛行器模型參數(shù)和約束條件，本節(jié)對高超聲速飛行器上升段最省燃料和最短飛行時間軌跡進行優(yōu)化驗證，精度要求設(shè)置為10-4。

(1)最省燃料最優(yōu)軌跡，如圖6所示。

圖6 高度、速度、過載、質(zhì)量變化對比曲線

(2)最短飛行時間最優(yōu)軌跡，如圖7所示。

圖7 高度、速度、過載、質(zhì)量變化對比曲線

從仿真結(jié)果可以分析出：

1)最省燃料最優(yōu)軌跡中，飛行器高度在大約100米時下降了一段距離，這是由于此時速度達到了4馬赫，超燃沖壓發(fā)動機準備開始工作，由于高度繼續(xù)下降不會導(dǎo)致速度的減小，所以為了使終端燃料最多，優(yōu)化策略在保證完成終端目標的情況下使飛行器高度有所下降。其他參數(shù)均滿足約束條件。

飛行器的總飛行時長為234.65 s。

2)最短飛行時間軌跡優(yōu)化中，飛行器完終端目標總時間為205.41 s，滿足了快速性要求，其他參數(shù)均滿足約束條件。

5.3 閉環(huán)制導(dǎo)仿真驗證

為了更好地驗證閉環(huán)制導(dǎo)策略的優(yōu)點，采用開環(huán)制導(dǎo)方式制導(dǎo)進行比較，以優(yōu)化飛行器最短飛行時間作為仿真條件。

(1)開環(huán)制導(dǎo)。

所謂開環(huán)制導(dǎo)，即整個飛行階段不考慮外界干擾因素的影響，在飛行器上升段初始時刻就優(yōu)化出一條最優(yōu)軌跡，飛行過程中以該彈道作為方案彈道的制導(dǎo)方式。

(2)閉環(huán)制導(dǎo)。

在整個飛行過程中，共分為多個解算周期，每一個解算周期的初始時刻會獲取測量元件輸出的飛行器狀態(tài)信息，根據(jù)該信息和終端目標信息實時在一個周期內(nèi)生成一條最優(yōu)軌跡。

仿真曲線說明如下：點劃線為閉環(huán)制導(dǎo)最優(yōu)曲線；虛線為閉環(huán)制導(dǎo)飛行器飛行實際曲線；點線為開環(huán)制導(dǎo)飛行器飛行曲線；實線為上升段初始時刻優(yōu)化出的最優(yōu)曲線。

以升力系數(shù)拉偏為例，對本文提出的閉環(huán)制導(dǎo)策略進行驗證，右側(cè)的示意圖中的兩條曲線表示的是開環(huán)制導(dǎo)和閉環(huán)制導(dǎo)與理想閉環(huán)最優(yōu)軌跡參數(shù)的誤差。

對升力系數(shù)拉偏+10%情況進行分析。仿真結(jié)果如下圖所示。

圖8 高度變化對比曲線

圖10 質(zhì)量變化對比曲線

圖11 動壓變化對比曲線

圖13 過載變化對比曲線

仿真結(jié)論：

(1)開環(huán)制導(dǎo)方式下，飛行器終端高度與理想終端高度偏差約260 m，且飛行過程變化劇烈；閉環(huán)制導(dǎo)方式下飛行器高度誤差約為10 m；

(2)從速度變化曲線可以看出，開環(huán)制導(dǎo)方式下的速度與終端任務(wù)速度偏差較大，約100 m/s，而閉環(huán)制導(dǎo)方式下的偏差為20 m/s。

(3)從質(zhì)量變化曲線可以看出，開環(huán)制導(dǎo)和閉環(huán)制導(dǎo)方式下變化趨勢大致相同；

(4)由圖9至圖11可以看出，對于飛行過程的路徑約束，閉環(huán)制導(dǎo)方式下飛行動壓、熱流密度和飛行過載均滿足約束條件；開環(huán)制導(dǎo)方式下動壓在某一階段超過了上限值，存在風(fēng)險；由于飛行器每一個周期內(nèi)都會重新優(yōu)化一次飛行軌跡，所以過載變化較劇烈，但仍然滿足約束條件。

(5)從整個階段的飛行時間來看，閉環(huán)制導(dǎo)方式下的飛行時間優(yōu)于開環(huán)制導(dǎo)；

(6)本文的仿真驗證是在普通PC機上進行，每個周期的閉環(huán)仿真計算時間大約為1.2 s，優(yōu)于絕大部分智能算法。

6 結(jié)論

文章通過分析高超聲速飛行器上升段的飛行狀態(tài)，提出一種基于hp-自適應(yīng)偽譜法的閉環(huán)制導(dǎo)策略，并建立了飛行器上升段的運動模型及約束條件模型，將最優(yōu)控制問題中的變量離散化，將存在約束的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題；同時完成開環(huán)制導(dǎo)和閉環(huán)制導(dǎo)數(shù)字仿真對比驗證。

仿真結(jié)果表明，文章研究的基于hp-自適應(yīng)偽譜算法閉環(huán)制導(dǎo)策略可以根據(jù)飛行器當(dāng)前狀態(tài)量在一定的解算周期內(nèi)實時在線設(shè)計最優(yōu)飛行軌跡，消除某些外界因素對飛行器軌跡造成的偏差，最終以我們期望的最優(yōu)條件和最優(yōu)速度到達期望的終端目標位置。同時，該算法收斂時間快，具備閉環(huán)制導(dǎo)在線快速優(yōu)化的潛力。