“類比+對比”：讓深度學(xué)習(xí)自然發(fā)生
——二元一次方程概念的教學(xué)感悟

筅江蘇省徐州市賈汪區(qū)英才中學(xué) 徐 倩

類比是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過類比，學(xué)生可以由已有的知識與經(jīng)驗(yàn)，猜想出即將學(xué)習(xí)的知識.然而，由于類比是一種主觀的、不充分的似真推理，通過類比獲得的結(jié)論僅是近似結(jié)論，想要使其有效納入到數(shù)學(xué)的知識體系和學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)中，必須對學(xué)生猜想出的結(jié)論進(jìn)行對比分析，在得到新知識的同時(shí)，使學(xué)生對其有一個(gè)深度認(rèn)知.本文擬結(jié)合教材中二元一次方程概念的教學(xué)歷程，談?wù)劰P者的做法，供大家參考.

一、二元一次方程概念的教學(xué)過程

1.情境引入，梳理舊知

教師投影教材“引言問題”（略），學(xué)生分析并給出方程2x+（10-x）＝16，教師立即利用這一方程引導(dǎo)學(xué)生完整梳理了一元一次方程的相關(guān)知識，并板書：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式的方程，叫作一元一次方程.

2.探索建模，類比起名

教師引導(dǎo)學(xué)生增設(shè)未知數(shù)，在讓學(xué)生體會更簡便的列方程過程的同時(shí)，得到兩個(gè)與一元一次方程不同的方程：①x+y＝10，②2x+y＝16.對于這兩個(gè)沒有學(xué)過的方程，教師讓學(xué)生應(yīng)用以前的經(jīng)驗(yàn)，類比“起名”.由于有一元一次方程的“命名”經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快給出了這兩個(gè)方程的名稱——二元一次方程.

3.對比完善，規(guī)范概念

在板書“二元一次方程”的名稱后，教師要求學(xué)生類比一元一次方程給二元一次方程下定義.學(xué)生根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，從未知數(shù)個(gè)數(shù)、含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)及是否為整式等角度類比給出了“定義”：含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式的方程，叫作二元一次方程.教師順勢將其板書在黑板上，并追問：這里，“滿足未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程一定是二元一次方程”嗎？同時(shí)投影方程③xy＝10，提問：方程③和方程①②能歸到一類嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：給“一次”下定義，僅關(guān)注“未知數(shù)的次數(shù)”是不夠的，還要考慮“含有未知數(shù)的各個(gè)項(xiàng)的次數(shù)”.從而引導(dǎo)學(xué)生給出二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的方程，叫作二元一次方程.

4.辨析述理，鞏固定義

學(xué)生活動：判斷下列各式是否為二元一次方程，并說明理由.

（1）3x+2y；（2）2-x+3+5=0；（3）3x-4y=z；（4）x+xy=1；（5）x2+3x=5y；（6）7x-y=0.

學(xué)生對給出的六個(gè)式子逐一判斷，并陳述理由，教師進(jìn)一步明確二元一次方程的定義中的幾個(gè)關(guān)鍵詞.

二、教學(xué)過程簡析

二元一次方程的概念是教材中二元一次方程組的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn).學(xué)生已經(jīng)較為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了一元一次方程的知識，積累了從定義、解、解法和應(yīng)用獲取方程知識的經(jīng)驗(yàn).對于本節(jié)課而言，一元一次方程的命名經(jīng)驗(yàn)將是本節(jié)課探索的基礎(chǔ).所以，在學(xué)生探索新的方程前，教師首先讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象一元一次方程的過程，然后回顧了他們所獲得的一元一次方程的定義，并進(jìn)行了板書，這一切為后面給二元一次方程命名夯實(shí)了基礎(chǔ).接下來的探索從“起名”出發(fā)，在學(xué)生類比猜想出二元一次方程的“定義”后，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合xy＝10重點(diǎn)對“一次”的定義方法進(jìn)行了規(guī)范.最后，教師安排了一道練習(xí)，讓學(xué)生判斷給定的式子是否為二元一次方程，并說明理由，從而鞏固剛剛獲得的定義.整個(gè)教學(xué)過程，教師不僅注重類比方法的應(yīng)用，還讓學(xué)生結(jié)合實(shí)例對得到的“定義”進(jìn)行規(guī)范矯正，這樣的“類比+對比”，讓學(xué)生的思維不斷走向深入，深度學(xué)習(xí)在探索過程中自然發(fā)生，學(xué)生學(xué)習(xí)的效果自然是比較好的.

三、幾點(diǎn)感悟

1.合理類比，推動結(jié)論自然生成

類比是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，它是學(xué)生在初中階段獲取新知的重要方法之一.因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)注重相似知識在學(xué)習(xí)路徑上的類似之處，引導(dǎo)學(xué)生從舊知出發(fā)類比猜想獲得新知的學(xué)習(xí)內(nèi)容、順序和方法，從而幫助他們較為順利地獲得新知.值得注意的是，基于舊知的類比務(wù)必合理，應(yīng)與學(xué)生的認(rèn)知狀況和數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律相契合，不能拋開學(xué)生與數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律而盲目類比，導(dǎo)致知識的生長缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ)，脫離數(shù)學(xué)，偏離學(xué)生，這樣類比想要取得較好的學(xué)習(xí)效果是很困難的.在本文的案例中，一元一次方程的知識與經(jīng)驗(yàn)是本節(jié)課展開類比學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，這些知識與經(jīng)驗(yàn)在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)獲得，只不過由于時(shí)間關(guān)系學(xué)生可能會遺忘.因而，教者在課上首先將學(xué)生獲得的一元一次方程的知識進(jìn)行了梳理，將本節(jié)課類比的障礙逐步掃清，這樣的“奠基”讓起名與下定義成為可能，保證了本節(jié)課的學(xué)習(xí)成效.

2.趁勢對比，確保定義嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范

類比，是一種好的獲取新知的方法，但類比是一種似真推理，其結(jié)論有時(shí)并不準(zhǔn)確，是無法順利融入學(xué)生已有知識系統(tǒng)的.因而，在教學(xué)過程中，要通過對比的方式，讓這些通過類比得出的結(jié)論進(jìn)一步規(guī)范、完善，成為能夠被學(xué)生認(rèn)同、符合數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的定義、定理、公理等，真正為學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活服務(wù).以本文中的案例為例，教者從學(xué)生的固有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，用類比的方式給新方程起了一個(gè)十分規(guī)范的名字，這無疑讓學(xué)生覺得下定義可以參照一元一次方程進(jìn)行，因而，當(dāng)他們給出了“含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式的方程，叫作二元一次方程”的結(jié)論時(shí)，幾乎沒有學(xué)生懷疑.事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論中對“一次”的陳述是不準(zhǔn)確的，如果不加以規(guī)范，會讓學(xué)生誤解.因此，教者引入一個(gè)與給定方程不一樣的新方程xy＝10，對學(xué)生的視覺形成沖擊，將結(jié)論中的“未知數(shù)的次數(shù)”變成“含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)”，從而形成最終的定義.

3.辨析述理，及時(shí)鞏固學(xué)習(xí)成果

概念教學(xué)中，應(yīng)用是較為重要的，然而在真正將其付諸應(yīng)用前，我們應(yīng)努力幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與外延，使他們真正把握住概念的本質(zhì)特征，找到概念應(yīng)用的“著力點(diǎn)”.為此，在學(xué)生獲得規(guī)范的概念后，可以設(shè)置一些簡單的概念辨析題，通過對一些變式或范例的對比分析，讓學(xué)生逐步厘清概念中的關(guān)鍵詞及其含義，在真正理解概念的基礎(chǔ)上用好概念.在本文的案例中，教師通過引導(dǎo)幫助學(xué)生獲得了二元一次方程的準(zhǔn)確定義，這并沒有成為教學(xué)的終點(diǎn)，接下來所呈現(xiàn)出的六個(gè)式子，既有代數(shù)式，也有方程，而在給出的方程中，不僅包含了本節(jié)課的二元一次方程，還有學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的一元一次方程和后續(xù)學(xué)習(xí)的一元二次方程、二元二次方程，如此魚龍混雜，找出二元一次方程就已不易，想要再說清理由就更難了.因而，在教學(xué)過程中，教師不得不引導(dǎo)學(xué)生對“二元”和“一次”兩個(gè)核心詞的內(nèi)涵進(jìn)行反復(fù)分析與解讀，使他們能從“含有未知數(shù)的個(gè)數(shù)”和“含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)”這兩個(gè)角度來厘清二元一次方程的本質(zhì)屬性，真正實(shí)現(xiàn)讓概念從理解走向應(yīng)用.由此可見，用例題來加深學(xué)生對概念的理解和掌握，設(shè)置的例題不在于多，不在于難，而在于針對和即時(shí)，只要是針對概念本質(zhì)的、及時(shí)的練習(xí)，不管多容易，都能起到輔助學(xué)生認(rèn)知的成效.

作為一種學(xué)生獲得新知的重要方法，類比一直蘊(yùn)藏于我們的數(shù)學(xué)教學(xué)之中，其作用是不言而喻的.只不過，我們在教學(xué)時(shí)，要時(shí)刻關(guān)注類比生成成果與實(shí)際結(jié)論之間的差異，及時(shí)做好對比矯正，以便學(xué)生獲得更為規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)、適用的學(xué)習(xí)成果.而這一切，扎根于課堂的教師理應(yīng)擔(dān)起重任，基于類比再對比，讓學(xué)生的認(rèn)知在知識的辨析中不斷走向深入，實(shí)現(xiàn)思維寬度與廣度的拓展，在不自覺中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).