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    挖掘考題中的數(shù)學(xué)史,讓數(shù)學(xué)不枯燥

    2019-01-28 09:21:30武漢市鋼都中學(xué)梅柳紅
    衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2018年23期
    關(guān)鍵詞:畢達哥拉斯數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)

    武漢市鋼都中學(xué) 梅柳紅

    隨著新課程的實施,教材中數(shù)學(xué)史的內(nèi)容所占比例大幅增加,但從教學(xué)實際來看,數(shù)學(xué)史受重視的程度并未發(fā)生太大的改變,挖掘高考中的數(shù)學(xué)史因素,并有效應(yīng)用于教學(xué),是將數(shù)學(xué)史和高中數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合的有效途徑。下面我們一起來欣賞近年來高考卷中的數(shù)學(xué)史,借以說明數(shù)學(xué)史的人才選拔功能。

    例1.(2006年湖北卷第15題)將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù),就得到一個如圖所示的分數(shù)三角形,稱為萊布尼茨三角形。從萊布尼茨三角形可看出:,其中x=___

    例2.(2007年高考湖南卷理科15題)將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖所示的0-1三角數(shù)表.從上往下數(shù),第1次全行的數(shù)都為1的是第1行,第2次全行的數(shù)都為1的是第3行,…,第n次全行的數(shù)都為1的是第___行;第61行中1的個數(shù)是 .

    答案:2n-1,32

    數(shù)學(xué)史背景鏈接:楊輝三角。

    “楊輝三角”,也稱“賈憲三角”,在西方文獻中則成為“帕斯卡三角”。賈憲是北宋人,約公元1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細草》的著作,原書丟失,但其主要內(nèi)容被南宋數(shù)學(xué)家楊輝著《詳解九章算法》(1261)摘錄,因能傳世?!皸钶x三角”,它實際上是一張二項系數(shù)表,與我們現(xiàn)在的學(xué)習(xí)聯(lián)系最緊密的是二項式展開式的系數(shù)規(guī)律。楊輝三角最本質(zhì)的特征是:它的兩條斜線數(shù)字都是1,而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個數(shù)之和。宋元時期是中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰時期,也是中國數(shù)學(xué)史上名家輩出、成果迭起的重要時期,“楊輝三角”的發(fā)現(xiàn)就是其中精彩的一頁,在競賽中也常常會用到,最簡單的就是叫你找規(guī)律。

    例3.(2007年湖北卷第21題)已知m,n為正整數(shù).

    (Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x>-1時,(1+x)m≥1+mx;

    解答:(Ⅰ)證:用數(shù)學(xué)歸納法證明:

    (?。┊?dāng) m =1時,原不等式成立;

    ∵ x2≥0,∴左邊≥右邊,原不等式成立;

    綜合(ⅰ),(ⅱ)知,對一切正整數(shù)m,不等式都成立。

    即當(dāng) n ≥ 6 時,不存在滿足該等式的正整數(shù)n

    故只需討論n=1,2,3,4,5的情形,

    當(dāng)n=1時,3≠4,等式不成立;

    當(dāng)n=2時,32+42=52,等式成立;

    當(dāng)n=3時,33+43+53=63,等式成立;

    當(dāng)n=4時,34+44+54+64為偶數(shù),而74為奇數(shù),

    故34+44+54+64≠74,等式不成立;

    當(dāng)n=5時,同n=4的情形可分析出,等式不成立;

    綜上,所求的n只有n=2,3.

    數(shù)學(xué)史背景鏈接:伯努利不等式,埃斯柯特(Escott)猜想。

    第(Ⅰ)問所要證明的不等式實際上是伯努利(Bernoulli)不等式的一個變式,伯努利不等式的一般形式為:

    設(shè)x>-1,則當(dāng)0<α <1時,有(1+ x )α≤1+ α x ,而當(dāng)α <0或α >1時,有(1+ x )α≥1+ α x,當(dāng)且僅當(dāng) x = 0 時取等號。

    第(Ⅲ)問是數(shù)論中典型的不定方程問題,它源于埃斯柯特(Escott)猜想,而埃斯柯特是基于波文(Bowen)猜想:方程沒 有非平凡解 (平凡解指,即1+2=3)。而Escott猜想是柯召等人進行研究的,它比Bowen猜想更具有一般性:當(dāng)n>1時,關(guān)于n,h,x的方程的正整數(shù)解只有(n,h,x)=(2,1,3),(3,2,3)。.對于第(Ⅲ)問,只是Escott猜想的一個特殊情況,即令,僅求n。

    與此如出一轍的還有商高定理(即勾股定理)的推廣:

    一般而言,證明:

    商高定理在中國有悠久的歷史,可以上溯到大禹治水時代(公元前21世紀)或周公時代(公元前11世紀)。普遍定理至晚到陳子時代(公元前6、7世紀)已經(jīng)明確認識并廣泛應(yīng)用。而后人對前人的成果予以加工,得到的結(jié)構(gòu)也是妙不可言。

    例4.(2008年湖北卷第15題)觀察下列等式:

    數(shù)學(xué)史背景鏈接:垛積術(shù)。

    南宋的楊輝在《詳解九章算法》中明確提出了一些高階等差數(shù)列的求和公式,朱世杰在這方面獲得系統(tǒng)和普遍結(jié)果。朱世杰在《四元玉鑒》中給出了一系列所謂“三角垛”公式:

    ……

    這樣,朱世杰相繼以前一個級數(shù)的和作為新級數(shù)的一般項,就得到了P階等差級數(shù)求和的一般公式:

    從北宋到元代中葉,中國數(shù)學(xué)有了一套嚴整的系統(tǒng)和完備的算法,是中國古代數(shù)學(xué)的全盛時期,這時歐洲還處在中世紀,中國數(shù)學(xué)家光輝燦爛的成就遠遠走在世界的前列!

    例5.(2009年湖北卷第10題)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如:

    他們研究過圖1中的1,3,6,10,……,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16,……這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( )

    A.289 B.1024 C.1225 D.1378

    把四個選項的數(shù)字,分別代入上述兩個通項公式,可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.

    例6.(2006年高考數(shù)學(xué)廣東卷第14題)在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間,某商場櫥窗里用同樣的乒乓球成若干堆“正三棱錐”形的展品,其中第一堆只有一層,就一個球,第2、3、4 堆最底層(第一層)分別按圖所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆 n層就放一個乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù),則 f (3) =_____, f (n) =______.

    數(shù)學(xué)史背景鏈接:形數(shù)。

    畢達哥拉斯很注意形與數(shù)的關(guān)系。“形數(shù)”(figurate number)就是形與數(shù)的結(jié)合物,如本題中的三角形數(shù)、正方形數(shù)。諸如此類的還有五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等。這一類數(shù)列現(xiàn)在可歸入高階等差數(shù)列的范圍。用同樣的方式可以定義所有的多邊形數(shù)。這一過程還可以推廣到三維空間去構(gòu)造多面體數(shù)?!靶螖?shù)”體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。除此之外,畢達哥拉斯學(xué)派還給出了其他數(shù)形結(jié)合的例子,如畢達哥拉斯三元數(shù)組:(m為奇整數(shù)),它們分別表示一個直角三角形的兩條直角邊和斜邊,與勾股定理密切相關(guān)。關(guān)于數(shù)的研究,還有很多例子,反映了古代人的智慧,值得我們好好學(xué)習(xí)。

    解答:由a6=1,得a5=2,a4=4,a3=1或8,a2=2或16,a1=4或5或32

    數(shù)學(xué)史背景鏈接:角谷猜想

    角谷猜想,在西方它常被稱為西拉古斯(Syracuse)猜想,因為據(jù)說這個問題首先是在美國的西拉古斯大學(xué)被研究的;而在東方,這個問題由將它帶到日本的日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫的名字命名,被稱作角谷猜想。它的問題是:從1到n的任何一個自然數(shù), 只要對n反復(fù)進行下列兩種運算:如果n是偶數(shù), 就除以2 ;如果n是奇數(shù), 就乘以3加1,最后的結(jié)果總是1。今天在數(shù)學(xué)文獻里,大家就簡單地把它稱作“3x +1問題”。因為這是個形式上很簡單的問題,要理解這個問題所需要的知識不超過小學(xué)三年級的水平,所以每一個數(shù)學(xué)愛好者都可以來碰碰運氣,試試是不是能證明它。不乏天才和世界上第一流的數(shù)學(xué)家,他們都沒有成功。數(shù)論學(xué)家保爾?厄爾多斯(Paul Erdos) :“數(shù)學(xué)還沒有準備好來回答這樣的問題?!?/p>

    例8.(2009年高考數(shù)學(xué)湖北卷文科第9題)設(shè),xR∈記不超過x的最大整數(shù)為[x],令{x}=-[x],則

    A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

    B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

    C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

    D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

    數(shù)學(xué)史背景鏈接:黃金分割

    例9.(2007年高考數(shù)學(xué)北京卷第13題)2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會,會標(biāo)是我國以古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的。弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)。如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為θ,那么cosθ的值等于______.

    解答:由題意可知,大、小正方形邊長分別為5、 1.設(shè)直角三角形較短邊長為a,則

    另外一方面,由勾三股四弦五,直接檢驗也可以快速解決問題。

    數(shù)學(xué)史背景鏈接:勾股定理

    勾股定理又叫商高定理,或稱畢達哥拉斯定理。在一個直角三角形中,斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和。據(jù)考證,人類對這條定理的認識,少說也超過4000年!中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》,就有這條定理的相關(guān)內(nèi)容。我們可以清楚地看到,我國古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要的數(shù)學(xué)原理了。 在西方有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據(jù)說當(dāng)他證明了勾股定理以后,欣喜若狂,殺牛百頭,以示慶賀,故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是,畢達哥拉斯的證明方法早已失傳,我們無從知道他的證法。

    勾股定理是幾何學(xué)中的明珠,它充滿魅力,千百年來,人們對它的證明趨之若鶩,其中有數(shù)學(xué)家、畫家,也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者,比如一位美國國家總統(tǒng)也給出過一種很經(jīng)典的方法。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯,其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此,關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種,僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法,這是其它任何定理無法比擬的。

    在一般人看來,數(shù)學(xué)是一門枯燥無味的學(xué)科,因而很多人視其為畏途。從某種程度上說,如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容而讓數(shù)學(xué)活起來,這樣便可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、方法和原理的理解與認識的深化。而以高考題為線索去了解數(shù)學(xué)史,使得枯燥的文字介紹多了一層理論基礎(chǔ),同時也使得單調(diào)的數(shù)學(xué)試題,籠罩了一層歷史的神秘美感。

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