隨機(jī)事件相互獨(dú)立和兩兩獨(dú)立性的探究

劉淑環(huán)

（中國(guó)政法大學(xué)科學(xué)技術(shù)教學(xué)部，北京102249）

1 引言

隨機(jī)事件相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立是概率論中非常重要的概念。對(duì)這兩個(gè)概念的理解，容易出現(xiàn)一些困惑。例如，事件相互獨(dú)立是不是事件之間發(fā)生沒有影響？事件相互獨(dú)立的本質(zhì)是什么？多個(gè)事件相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立有區(qū)別嗎？等等。本文將通過具體實(shí)例對(duì)這些問題進(jìn)行探究。

2 事件相互獨(dú)立的本質(zhì)

定義1：設(shè)A和B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，如果有P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A和B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立。否則就稱不獨(dú)立或相依[1]。

關(guān)于事件獨(dú)立性判斷，一般都以直覺判斷為先導(dǎo)。例如，在可靠性理論中，人們總會(huì)假設(shè)系統(tǒng)各個(gè)元件的工作是相互獨(dú)立的；又如，一枚骰子擲兩次，則每次出現(xiàn)6點(diǎn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；再如，彩票問題中，每次搖獎(jiǎng)的過程也是相互獨(dú)立的。這些獨(dú)立性可以直接憑直觀就可以判斷。情況復(fù)雜則輔以定義1方法進(jìn)行縝密計(jì)算。

直覺上，人們通常會(huì)認(rèn)為：事件A與B相互獨(dú)立，是指事件A發(fā)生或不發(fā)生對(duì)B發(fā)生或不發(fā)生沒有影響。但這種直覺是否正確？如何刻畫獨(dú)立的這種“沒有影響”？通過下面實(shí)例進(jìn)行分析。

例1：擲一枚硬幣2次，觀察正反面情況，樣本空間為：

{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}

以A記“第一次出現(xiàn)正面”，以B記“第二次出現(xiàn)正面”。顯然，事件A和B獨(dú)立。但A、B發(fā)生與否相互沒有影響嗎？

從事件關(guān)系看：B發(fā)生，有A|B={（正，正）}；B沒發(fā)生，有A|={（正，反）}。同樣，A發(fā)生，有B|A={（正，正）}，A沒發(fā)生，有B|={（反，正）}?？梢?，B發(fā)生與否對(duì)A都產(chǎn)生了影響，A發(fā)生與否也都對(duì)B產(chǎn)生了影響。因此，人們認(rèn)為的“事件之間發(fā)生與否沒有影響”并不是“事件相互獨(dú)立”的本質(zhì)特征。

從概率角度來看：無(wú)論B發(fā)生與否，都有P（A|B）=P（A|）；無(wú)論 A 發(fā)生與否，都有 P（B|A）=P（B/A）。這才是事件獨(dú)立的本質(zhì)，即“事件A與B發(fā)生相互不影響”等價(jià)于“P（A|B）=P（A）”。因此，事件相互獨(dú)立并非指事件結(jié)果相互不影響，而是指“事件在發(fā)生可能性（概率）上相互沒有影響”。

3 事件相互獨(dú)立和樣本空間的關(guān)系

在不同的樣本空間，隨機(jī)事件相互獨(dú)立性的表現(xiàn)可能完全不同，看下面實(shí)例。

例2：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，以A記“抽到K”，以B記“抽到黑桃”，AB為“抽到黑桃K”。則：

P（A）=4/52=1/13，P（B）=13/52=1/4，P（AB）=1/52

可見P（AB）=P（A）P（B），故事件A、B獨(dú)立。

但若將例2改為“從一副含有大小王的撲克牌中任取一張”，A和B仍如上所記，則P（A）=4/54，P（B）=13/54，P（AB）=1/54，這里P（AB）≠P（A）P（B），說明事件A、B不獨(dú)立。因此，在判斷事件是否獨(dú)立時(shí)，一定要明確這些事件所在的樣本空間。

例3：有三個(gè)小孩的家庭中，由性別構(gòu)成的樣本空間有8種等可能情況，以b表示男孩，以g表示女孩，則樣本空間為：

Ω={bbb，bbg，bgb，gbb，bgg，gbg，ggb，ggg}

以A記“家中男女孩都有”，以B記“家中至多一個(gè)男孩”，則AB即表示“家中只有一個(gè)男孩”。則P（A）=6/8，P（B）=4/8，P（AB）=3/8。顯然，P（AB）=P（A）P（B），所以，A與B相互獨(dú)立。

但例3 中，若家庭有兩個(gè)小孩，樣本空間只含有4 種等可能情況，即 Ω={bb，bg，gb，gg}。A和B仍如上所記，則P（A）=2/4，P（B）=3/4，P（AB）=2/4。顯然P（AB）≠P（A）P（B），所以，此時(shí)事件A與B 相互不獨(dú)立。

因此，在判斷事件是否獨(dú)立時(shí)，一定要明確這些事件所在的樣本空間。

4 多個(gè)事件相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的區(qū)別

定義2：設(shè)任意三個(gè)事件A、B、C，如果有：

P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），則稱A、B、C兩兩獨(dú)立。若還有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），稱A、B、C相互獨(dú)立。

定義2給出了三個(gè)事件相互獨(dú)立要滿足的四個(gè)條件，且事件相互獨(dú)立并不等價(jià)于事件兩兩獨(dú)立。由事件相互獨(dú)立可推出兩兩獨(dú)立，但由事件兩兩獨(dú)立不能保證相互獨(dú)立。這點(diǎn)學(xué)生理解稍有困難，下面兩個(gè)實(shí)例可答疑解惑。

例4：從3、4、5、60 中隨機(jī)選出一數(shù)，以A記“該數(shù)是3的倍數(shù)”，以B記“該數(shù)是4的倍數(shù)”，以C記“該數(shù)是5的倍數(shù)”。則有：P（A）=P（B）=P（C）=2/4=1/2，且P（AB）=P（AC）=P（BC）=1/4，P（ABC）=1/4。

顯然，P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），故事件A、B、C兩兩獨(dú)立。但P（ABC）=1/4≠1/8=P（A）P（B）P（C），所以事件A、B、C相互不獨(dú)立。

該例說明，三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，并不能保證P（ABC）=P（A）P（B）P（C）一定成立。

例 5：從 1、2、3、4、5、6、7、8 中隨機(jī)抽選一數(shù)，以A記{1，2，3，4}，以B記{1，3，4，5}，以C記{1，6，7，8}。則有：

P（A）=P（B）=P（C）=4/8=1/2；

P（AB）=2/8=1/4，P（AC）=1/8，P（BC）=1/8；且P（ABC）=1/8

顯然有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），但P（AC）≠P（A）P（C），P（BC）≠P（B）P（C）。

該例說明，即使P（ABC）=P（A）P（B）P（C），也不能保證事件兩兩獨(dú)立。

基于以上的分析，便不難理解“三個(gè)以上事件相互獨(dú)立，要保證其中任意部分的事件都要相互獨(dú)立”的下述定義：

定義 3：設(shè)n個(gè)事件A1，A2，……，An，對(duì)任意的 1≤i＜j＜k＜…≤n，如果以下等式均成立

由定義3可知，n個(gè)事件相互獨(dú)立，則其中任意一部分內(nèi)的事件仍相互獨(dú)立，且任意一部分與另一部分也相互獨(dú)立。自然的，n個(gè)事件相互獨(dú)立，則其中任意兩個(gè)事件必然兩兩獨(dú)立。而n個(gè)事件若相互獨(dú)立，則必須要保證定義3中的2n-n-1個(gè)等式同時(shí)成立，只要有一個(gè)等式不成立，n個(gè)事件就不相互獨(dú)立。