兩個(gè)分支的Degasperis-Procesi系統(tǒng)的弱適定性?

陳麗娜，關(guān)春霞, 馮兆永，劉成霞

(1. 廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520；2. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275；3. 南方醫(yī)科大學(xué)口腔醫(yī)院，廣東 廣州 510280)

關(guān)于Degasperis-Procesi(DP)方程的研究目前已有較多的研究成果[1-10]，本文主要研究?jī)蓚€(gè)分支的DP系統(tǒng)：

(1)

(2)

如果ρ=0，則系統(tǒng)(2)為文獻(xiàn)[11]中的DP方程。DP方程具有雙哈密頓函數(shù)和尖峰孤立子解,完全可積[12]，是非線性水波動(dòng)力學(xué)的一個(gè)模型[13]。Escher等[14]研究了DP方程解的爆破率和弱解的整體存在唯一性。

本文運(yùn)用特征線方法將DP系統(tǒng)化成ODE系統(tǒng)，首先證明該ODE系統(tǒng)解的存在唯一性，再證明原系統(tǒng)在(H1(R)∩W1,∞(R))×(L2(R)∩L∞(R))中解的存在唯一性并給出解對(duì)初值的弱連續(xù)依賴性結(jié)論。

注1 在本文中，為方便起見(jiàn)，H1(R)，W1,∞(R)，L2(R)，L∞(R)空間中的R均省略。

1 ODE系統(tǒng)解的存在唯一性

對(duì)Cauchy 問(wèn)題(2)的光滑解(u,ρ)，定義x(β,t)為系統(tǒng)(2)的特征線，β為初值，有

(3)

對(duì)任意I>0，由常微分理論知方程(3)有唯一解x∈C1([-I,I];R)，定義

M(β,t)=

(1+ζβ(δ,t))dδ

(4)

令

N(β,t)=?xM(β,t)=

(5)

類似地，可以求出T，U關(guān)于t求導(dǎo)的等式，得到如下ODE系統(tǒng)

(6)

其中M,N的定義見(jiàn)式(4)-(5)。

定義空間X=H1∩W1,∞，Y=L2∩L∞，我們證明系統(tǒng)(6)在空間X×X×Y×Y中存在唯一解。

為證明ODE系統(tǒng)的存在唯一性給出如下定義和命題:

定義1 對(duì)任意α>-1，給定Oα={ζ∈X:essinfζβ≥α}∩X，設(shè)x(β,t)=ζ(β,t)+β，其中ζ∈Oα，有xβ=1+ζβ≥1+α>0；由文獻(xiàn)[15]知：當(dāng)β∈R時(shí)映射β→x(β)是同胚的，存在可逆函數(shù)記為ψ，定義

n(·)=(ζ(·),U(·),T(·),S(·))∈

Oα×X×Y×Y；

利用變量替換和卷積公式以及式(5)-(6)可得

M(n)(β)=

(7)

(8)

系統(tǒng)(6)看成抽象的ODE系統(tǒng)

命題1 記X1=X×X×Y×Y，X2=Oα×X×Y×Y，則映射F:X2→X1是局部Lipschitz連續(xù)的。

證明首先證明F(n)∈X1，

(9)

(10)

(11)

(12)

利用式(9)-(10)得出M(n)∈Y，類似方法可得N(n)∈Y。由式(8)得：

(13)

因而N(n)β∈Y。接著證明F的局部Lipschitz連續(xù)。

M(ζ1,U,T,S)-M(ζ2,U,T,S)≤

p(x2(β)-x2(δ))·

(ζ1(β)-ζ2(β)) +

(14)

接著證明關(guān)于U,S,T的局部Lipschitz連續(xù)，利用式(7)有

(15)

結(jié)合式(14)-(15)可知

(16)

命題1得證。類似定理3.8[16]的證明過(guò)程，可推出以下定理1和命題2成立。

命題2 設(shè)n0=(ζ0,U0,S0,T0)∈BA，A>0，則

(17)

存在唯一的一個(gè)解滿足U0,β=S0(1+ζ0,β)，n∈C1([-I,I];BA)，并且當(dāng)I>0時(shí)有Uβ=S(1+ζβ)。

綜上，ODE系統(tǒng)的存在唯一性證明完成。

2 證明原系統(tǒng)解的存在性和唯一性

接著證明方程(2)在初值z(mì)0∈X×Y時(shí)解的存在性。

定理2 給定z0=(u0,ρ0)∈X×Y，存在I1>0，對(duì)任意I∈(0,I1]，方程(2)存在解z=(u,ρ)滿足

u∈C0([-I,I];H1)∩

L∞([-I,I];W1,∞)∩C1([-I,I];L2)；

ρ∈C0([-I,I];L2)∩

L∞([-I,I];L∞)∩C1([-I,I];H-1)

證明由z0∈(u0,ρ0)∈X×Y，有ζ0=0，U0=u0，S0=u0x，T0=ρ0，n0=(ζ0,U0,S0,T0)，可得z0∈BA，利用定理1得存在I1>0，I∈(0,I1]，方程(17)存在唯一解n=(ζ,U,T,S)∈C1([-I,I];BA)，ζβ>α>-1，定義x(β,t)=β+ζ(β,t)，則對(duì)任意(β,t)∈R×[-I,I]，有x(β,t)>0，所以x(·,t)的逆映射存在，記為ψ(·,t)；令

(u(x,t),ρ(x,t))=

(U(ψ(x,t),t),T(ψ(x,t),t)),

(x,t)∈R×[-I,I]

有

(U(β,t),T(β,t))=(u(ψ(x,t),t),ρ(x(β,t),t)),

(β,t)∈R×[-I,I]

同文獻(xiàn)[16]有

?tψ+u?xψ=0

(18)

Lζ∈C0([-I,I];H1)∩C1([-I,I];L2)

(19)

由U∈L∞([-I,I];W1,∞)，T∈L∞([-I,I];W1,∞)以及ψ∈L∞([-I,I];W1,∞)，有u∈L∞([-I,I];W1,∞)，ρ∈L∞([-I,I];L∞)，變量t具有連續(xù)性，由于U∈C1([-I,I];X)和X?Y，可得Ut∈L∞([-I,I];Y)，由文獻(xiàn)[16]中的引理2.9，2.10，2.12以及式(18)-(19)有

因?yàn)棣啤蔆0([-I,I];Y)，所以u(píng)∈C0([-I,I];Y)。

利用命題2有Uβ=Sxβ，直接計(jì)算可得

ux(x,t)=Uβ(ψ(x,t),t)ψx(x,t)=

S(ψ(x,t),t)xβ(ψ(x,t),t)ψx(x,t)=S(ψ(x,t),t)

由S∈C1([-I,I];Y)，有St∈L∞([-I,I];Y)，對(duì)任何t1,t2∈[-I,I]，有

(20)

在S(·,t)∈L2以及t1∈[-I,I]條件下，ΡS(·,t1):ζ→S(ψ,t1)是Oα→L2的局部一致連續(xù)，即當(dāng)t2→t1時(shí)，有

(21)

結(jié)合式(20)-(21)有?xu∈C([-I,I];L2)，u∈C([-I,I];H1)。

因證明ρ∈C([-I,I];L2)跟證明u的正則性相似，所以省略。

利用式(18)和U∈C1([-I,I];X)，Uβψx=ux有

-Uβ(ψ(x,t),t)uψx(x,t)+

Ut(ψ(x,t),t)=Ut(ψ(x,t),t)-uux(x,t)

即

(22)

接著證明ut∈C0([-I,I];L2)，假設(shè)-I≤t1

利用u∈C0([-I,I];H1)，ρ∈C0([-I,I];L2)，有ut∈C0([-I,I];L2)。

最后證明z=(u,ρ)滿足系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程：定義

(23)

(24)

則qx=ρ，Qβ=Txβ。

利用Uβ=Sxβ，xβ(ψ(x,t),t)ψx(x,t)=1得

Qt(β,t)=

(25)

(26)

則有

qt(x,t)=Qt(ψ(x,t),t)+

Qβ(ψ(x,t),t)ψt(x,t)=Qt(ψ(x,t),t)+

T(ψ(x,t),t)xβ(ψ(x,t),t)ψt(x,t)=

xβ(ψ(x,t),t)u(x,t)ψx(x,t)=

-T(ψ(x,t),t)u(x,t)+

(27)

對(duì)等式(27)兩邊同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)得到：

ρt+(uρ)x+uxρ=0

(28)

由u∈C0([-I,I];H1)，ρ∈C0([-I,I];L2)可得uρ∈C0([-I,I];L2)。利用式(28)類似可證ρt∈C0([-I,I];H-1)，ρ∈C1([-I,I];H-1)結(jié)合式(22)、式(28)證明z=(u,ρ)滿足方程(2)。

接下來(lái)，證明方程(2)解的唯一性。

定理3 假設(shè)(u,ρ)滿足

u∈C0([-I,I];H1)∩L∞([-I,I];W1,∞)∩

C1([-I,I];L2)；

ρ∈C0([-I,I];L2)∩L∞([-I,I];L2)

是系統(tǒng)(2)的解，其中(u0,ρ0)∈X×Y，則解(u,ρ)是唯一的。

證明利用文獻(xiàn)[16]中(3.22)-(3.23)的相似論證有

u∈C0([-I,I];H1)∩

L∞([-I,I];W1,∞)∩C1([-I,I];L2)

顯然方程

?tζ(β,t)=u(β+ζ(β,t),t),ζ(β,0)=0

(29)

有唯一解ζ∈C1([-I,I];C0)∩L∞([-I,I];W1,∞)，對(duì)任意(β,t)∈R×[-I,I]定義：

x(β,t)=β+ζ(β,t)；

U(β,t)=u(x(β,t),t)；

S(β,t)=ux(x(β,t),t)；

利用定理3.10[16]，可得essinfxβ= essinfy>ρ> 0以及

(ζ,U,S)(·,t)∈Oρ-1×X×Y，?t∈[-I,I]；

yt=Sy

(30)

xβ(β,t)=y(β,t)

(31)

設(shè)T(β,t)=ρ(x(β,t)t)，?(β,t)∈R×[-I,I]，利用ζ∈Oρ-1，有T∈L∞([-I,I];Y)。

由于(u,ρ)∈C0([-I,I];H1×L2)是系統(tǒng)(2)的解以及ut∈C0([-I,I];L2)可得

Ut(β,t)=(uux+ut)(x(β,t),t)=

-?xM(β,t)=-N(β,t)

(32)

?βN(β,t)=

(33)

即得

(34)

由于式(30)-(31)，式(34)，xt=ζt=U有

(35)

接著，定義q(x,t)，Q(β,t)跟式(23)-(24)中的一樣，因而有

(36)

利用Qtβ(β,t)=-ytT(β,t)，Qβ=Txβ=Ty有

(37)

結(jié)合式(29)，(32)，(35)，(37)有n=(ζ,U,S,T)滿足方程(17)，利用命題2可得n=(ζ,U,S,T)∈C1([-I,I];X1)和系統(tǒng)(2)的解是唯一的，由于對(duì)?t∈[-I,I]，x(·,t)同胚，所以(u,ρ)是唯一的，定理3證明完成。

接下來(lái)我們給出解對(duì)初值的弱連續(xù)依賴性結(jié)論。

其中ni=(ui,ρi)為初值u0i(i=1,2)對(duì)應(yīng)的解，Ii(i=1,2)為ni的存在時(shí)間，I=minI1,I2。

注2 定理4證明方法類似于定理2的估計(jì)過(guò)程，這里證明省略。

3 結(jié) 論

綜合定理1-4得出本文的主要結(jié)論：

u∈C0([-I,I];H1)∩L∞([-I,I];W1,∞)∩

C1([-I,I];L2)；

ρ∈C0([-I,I];L2)∩L∞([-I,I];L2)

且

其中常數(shù)C>0。此外，在空間(H1∩W1,∞)×(L2∩L∞)中，如果初始值z(mì)01→z02，那么存在I>0并且其對(duì)應(yīng)的解z1=(u1,ρ1)，z2=(u2,ρ2)滿足在空間C([-I,I];H1)∩C1([-I,I];L2)中u1→u2，在空間C([-I,I];L2)中ρ1→ρ2。