探究一元微積分中幾大定義及應(yīng)用

（大連財(cái)經(jīng)學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院 遼寧 大連 116600）

數(shù)學(xué)中的定義是人類智慧的結(jié)晶，是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種精確表達(dá)，它來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題并應(yīng)用到實(shí)際生活當(dāng)中，它講究嚴(yán)密性，完美性。正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)中的每一個(gè)定義，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技巧、也是學(xué)好數(shù)學(xué)這門學(xué)科的重要前提。極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與定積分是一元微分學(xué)中最基礎(chǔ)也是最重要的研究?jī)?nèi)容，掌握好它們的定義及定義的應(yīng)用至關(guān)重要，下面主要以它們?yōu)檠芯繉?duì)象，探討一下它們的定義及其應(yīng)用實(shí)例。

1.極限定義及其應(yīng)用

極限是微分學(xué)中非常重要的概念之一，它包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，其中函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)研究對(duì)象，它貫穿微積分教學(xué)的始終，因該說(shuō)微積分中幾乎所有重要概念都是通過(guò)極限來(lái)定義的，如連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，定積分，重積分，級(jí)數(shù)的斂散性等等的定義都與極限有關(guān)，因此學(xué)好極限對(duì)學(xué)好微積分是至關(guān)重要的，這也就要求我們無(wú)論是對(duì)極限的定義還是求解方法都要熟練掌握，從而為學(xué)好微積分的打下良好的理論基礎(chǔ).首先我們先回顧一下數(shù)列極限的定義及其應(yīng)用。

1.1 數(shù)列極限

定義：設(shè)數(shù)列{an}，若對(duì)任意的ε＞0，存在正整數(shù)N以及常數(shù)A，使當(dāng) n＞N時(shí)，恒有，則稱{an}的極限為 A(n→∞)，記為。

數(shù)列極限定義是學(xué)習(xí)極限理論時(shí)第一個(gè)接觸的概念，這種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的定量定性定義，對(duì)于初學(xué)者來(lái)講很難理解，在教學(xué)中，為了達(dá)到更好的教學(xué)效果，在講解極限定義時(shí)，最好先講解一下極限的漫長(zhǎng)發(fā)展史，介紹一些典型的例子，從而讓學(xué)生更好的理解極限的這種數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義，并激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)列極限定義的一個(gè)最主要的應(yīng)用就是驗(yàn)證極限的存在性，這也是教學(xué)中的難點(diǎn)，只有理解好定義，才能熟練掌握這種驗(yàn)證方法。

分析：利用極限的定義驗(yàn)證極限值，最關(guān)鍵就是要把定義理解好，在ε-N語(yǔ)言中，ε是預(yù)先給定的，主要是將N找到，而N的取值一般由ε決定。

1.2 函數(shù)極限定義

（1）x→x0時(shí)函數(shù) f(x)的極限。

設(shè)函數(shù)f(x)和常數(shù)A，如果對(duì)于任意給定的ε＞0，必存在δ＞0，使當(dāng)時(shí)，總有不等式成立，則稱常數(shù)A為x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限，記為，或 f(x)→A(x→x0)。

（2）x→∞ 時(shí)函數(shù) f(x)的極限。

設(shè)函數(shù)f(x)和常數(shù)A，如果對(duì)于任意給定的ε＞0，必存在 X＞0，使當(dāng)時(shí)，總有不等式成立，則稱常數(shù)A為x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限，記為，或 f(x)→A(x→∞)。

以上兩個(gè)定義均為函數(shù)的雙側(cè)極限定義，同理可以定義單側(cè)極限，分別為時(shí)的函數(shù) f(x)的極限.接下來(lái)，我們看一下關(guān)于極限定義應(yīng)用的一個(gè)典型例子。

例 1：設(shè)函數(shù) f(x)在(-∞，+∞)上可導(dǎo)，并且滿足 f(0)≤0，證明：存在 ξ1∈(-∞,0)和 ξ2∈(0，+∞)，使得 f(ξ1)=2019=f(ξ2)。

分析：本題從問(wèn)題出發(fā)，初步判定是零點(diǎn)存在問(wèn)題，先構(gòu)造函數(shù)，但直接可利用的條件只有一條，即條件不充足，所以從極限這個(gè)條件出發(fā)創(chuàng)造條件，從而應(yīng)用零點(diǎn)存在定理即可得出想要的結(jié)論，具體如下。

證：令 F(x)=f(x)-2019，函數(shù) f(x)在(-∞，+∞)上可導(dǎo)，所以 F(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，且 F(0)=f(0)-2019＜0，因，由極限的定義，必定存在 X＞0，當(dāng)時(shí)，使得 f(x)＞2019，即 F(-X)=f(-X)-2019＞0，F(xiàn)(0)＜0。

由零點(diǎn)存在定理，存在 ξ1∈(-X，0)∈(-∞，0)，

使得 F(ξ1)=f(ξ1)-2019=0，即 f(ξ1)=2019，

同理，F(xiàn)(X)=f(X)-2019＞0，F(xiàn)(0)＜0 存在 ξ2∈(0，X)∈(0，+∞)，

使得 F(ξ2)=f(ξ2)-2019=0，即 f(ξ2)=2019。

所以存在 ξ1∈(-∞，0)和 ξ2∈(0，+∞)，使得 f(ξ1)=2019=f(ξ2)。

分析：函數(shù)f(x)是分段函數(shù)，在分段點(diǎn)處的極限通常采用單側(cè)極限定義進(jìn)行討論，當(dāng)左右極限都存在且相等時(shí)，可得出函數(shù)在該點(diǎn)極限存在且為同一個(gè)數(shù)，否則，極限不存在。

2.連續(xù)定義及其應(yīng)用

連續(xù)是微積分中繼極限之后的一個(gè)重要研究對(duì)象，極限是它定義的一個(gè)基礎(chǔ)性條件.連續(xù)是可導(dǎo)，可微分的必要條件，也是極限存在，可積的充分條件，所以學(xué)好函數(shù)的連續(xù)問(wèn)題，是學(xué)好高等數(shù)學(xué)至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié).關(guān)于函數(shù)連續(xù)的定義主要有以下幾種：

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及其鄰域內(nèi)有定義，則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義有如下四種互相等價(jià)的描述：

這個(gè)式子有三層含義：一是蘊(yùn)含著函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0有定義；二是表示極限存在；三是極限值等于函數(shù)值f(x0).這三層意思缺一不可，否則就是間斷點(diǎn)。

（3）在 x=x0處連續(xù)是指：既（左連續(xù)），又（右連續(xù)）。

這幾個(gè)定義是等價(jià)的，一般情況下，第一個(gè)定義在實(shí)際問(wèn)題計(jì)算和討論時(shí)應(yīng)用的較多，而證明函數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題時(shí)往往用第二個(gè)定義多些，分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性的討論與判定多數(shù)采用第三個(gè)定義，即討論左右連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系。

例1：設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且對(duì)x,y任意有關(guān)系式f(x+y)=f(x)+f(y)，

求證：f(x)在上連續(xù)(-∞，+∞)。

證明：對(duì)任意 x,y∈(-∞，+∞)有關(guān)系式 f(x+y)=f(x)+f(y)，令 x=y=0，則f(0)=2f(0)，即 f(0)=0.進(jìn)而，任意 x∈(-∞，+∞)，作改變量△x，則有：，

所以 f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)。

例2：設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，對(duì)點(diǎn)x0∈(a,b)，極限存在，證明：函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)。

證明：已知函數(shù)f(x)在[a,b]上的嚴(yán)格單調(diào)增加，根據(jù)極限保號(hào)性分別有：

當(dāng) x＜x0時(shí)，f(x)＜f(x0)，從而，

當(dāng) x＞x0時(shí)，f(x)＞f(x0)，從而，

所以函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)。

解：（1）f(1)=12=1，又，右連續(xù)，(2x-1)=1=f(1)，左連續(xù)，所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù)。

（2）f(2)=22=4，又，右不連續(xù)，

3.導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是微積分的重要研究對(duì)象，它是研究變化率的問(wèn)題，有著非常廣泛的應(yīng)用，為我們解決實(shí)際問(wèn)題提供了很好的研究工具。

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在x0處取得改變量△x(△x≠0)時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地取得改變量△y=f(x0+△x)-f(x0)，如果極限存在，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處0可導(dǎo)，記為。

若將變化趨勢(shì)x→△x改為相應(yīng)的x→△x+(x→△x-)，則稱為相應(yīng)的右導(dǎo)數(shù)（左導(dǎo)數(shù)），分別記為，且有函數(shù)在x0處可導(dǎo)的充要條件：f'(x0)存在，通常用該定理判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)。

在微積分中，我們知道導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，如利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性、圖像的凹凸性、極值與最值等問(wèn)題.除此之外導(dǎo)數(shù)定義本身的應(yīng)用也是非常重要的，如下面的實(shí)例。

例1：已知f'(x0)=5，求解極限①；②。

分析：利用導(dǎo)數(shù)定義求相應(yīng)的極限問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用的一個(gè)典型。

②分解變形

例 2：設(shè)函數(shù) f(x)=(x2018-1)g(x)，其中 g(x)在 x=1處連續(xù)，且 g(1)=1，求f'(1)。

分析：因?yàn)榇祟}不知道f(x)的解析式，所以不能利用先求導(dǎo)函數(shù)，再帶入1求f'(1)，故只能從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)進(jìn)行求解。

解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義可得：

例3：設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，證明：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并求f'(x)。（第18屆大連市數(shù)學(xué)競(jìng)賽）

（2）若 f(x0)=0，

綜上，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且：

4.定積分的定義及其應(yīng)用

定積分是積分學(xué)中一個(gè)重要研究對(duì)象，在實(shí)際問(wèn)題中有著非常廣泛的應(yīng)用，特別是在幾何學(xué)和物理學(xué)中，如可以求解不規(guī)則圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、變力沿直線所作的功、水壓力、引力等實(shí)際問(wèn)題，而定積分的定義本身也有一定的研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用。

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，記作 a=x0＜x1＜x2＜···＜xn-1＜xn=b。

這樣就把區(qū)間[a,b]任意分成個(gè) n小區(qū)間[x0,x1],[x1,x2],···[xn-1,xn]，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為△xi=xi-xi-1，其中i=1,2···n，在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn) ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作乘積 f(ξi)△xi(i=1,2···n)，在求和，令 λ=max{△x1,△x2,···△xn}，若當(dāng) λ→0 時(shí)，無(wú)論區(qū)間怎樣分割，無(wú)論ξi怎樣選取，若上述和式的極限都存在，則稱此極限值就是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的定積分，記作：。

定積分研究的是一種特殊和式的極限問(wèn)題，因此我們可以逆向思考，如果碰到類似這樣的和式極限問(wèn)題，我們可以將其轉(zhuǎn)化為定積分求解，這也是微積分中求解極限的一個(gè)典型方法.利用定積分定義求解極限關(guān)鍵之處在于通過(guò)和式結(jié)構(gòu)確定定積分的被積函數(shù)和積分上下限，因此要求學(xué)生們對(duì)定積分的定義要理解透徹，這樣才能夠準(zhǔn)確地求解出極限來(lái)。

解：首先將上述和式轉(zhuǎn)化為黎曼和式，即定積分定義中和式結(jié)構(gòu)。

分析：相比較，此題的難度大些，但處理方法同上，首先將給出的和式變形再進(jìn)行分析求解。

這里的和式，可以看成是函數(shù)sinx在區(qū)間[1,b]上按分劃，即：

綜上，我們通過(guò)對(duì)一元微積分中重要概念的研究和典型例子分析可知，在學(xué)習(xí)微積分的過(guò)程中，對(duì)于每個(gè)新接觸的概念定義，我們不僅要掌握它的一般形式，更應(yīng)懂得它的內(nèi)涵，將其理解透徹，只有這樣，才能掌握怎樣應(yīng)用定義去解決相應(yīng)的問(wèn)題的方法，并舉一反三，從而學(xué)好微積分，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。