壓彎Π形梁剪力滯的數(shù)值解法

周世軍 宋 剛

(1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,重慶 400045; 2.重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400045;3.貴州省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院股份有限公司,貴陽(yáng) 550081)

0 引 言

Π形梁具有自重輕、橋面寬等特點(diǎn),廣泛應(yīng)用于新建橋梁,特別是斜拉橋。因?yàn)棣靶瘟旱慕ㄔ爝^(guò)程中常伴有軸向壓力作用,同時(shí)橋面過(guò)寬剪力滯效應(yīng)突出,故有必要研究在壓彎作用下Π形梁的剪力滯計(jì)算方法。

在剪力滯的數(shù)值解法上,Luo[1]、張?jiān)５萚2-3]相繼在能量變分法[4]的基礎(chǔ)上,針對(duì)一維梁段有限元進(jìn)行了大量的研究與改進(jìn),但主要集中在箱形截面,對(duì)Π形梁的討論尚不充分。在剪力滯的解析理論方面,Chen等[5]近來(lái)針對(duì)矩形箱梁提出了一種無(wú)須假設(shè)剪力滯翹曲位移模式的剪力滯閉合解法,但并不適于壓彎Π形梁。

針對(duì)截面縱向位移模式的研究,Zhang[6-7]、周茂定[8]基于面內(nèi)剪切變形和截面應(yīng)力軸向平衡條件,對(duì)截面縱向位移函數(shù)進(jìn)行了軸向修正;Lin等[9]提出了一種具有軸向位移修正和高階剪滯翹曲位移的截面縱向位移函數(shù),但上述的軸向位移修正項(xiàng)均不獨(dú)立,無(wú)法應(yīng)用于具有軸向自由度的壓彎構(gòu)件。Zhu和Nie[10-11]基于Dezi等[12-13]提出的二次剪滯翹曲位移,對(duì)Π形組合梁也提出了一種考慮軸向位移的剪力滯解析模型,但卻未能給出其閉合解。

在壓彎作用下,程翔云等[14]通過(guò)引入梁柱效應(yīng)與縱向位移差分別研究壓彎和軸壓作用下箱梁的剪力滯效應(yīng);Chang[15]、Zhou[16-17]和藺鵬臻等[18]先后對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁的剪力滯效應(yīng)進(jìn)行了研究;李喬、萬(wàn)臻[19-20]以及張永健等[21]對(duì)斜拉橋中Π形主梁的剪力滯進(jìn)行了試驗(yàn)分析。現(xiàn)有研究多采用板殼、實(shí)體有限元的數(shù)值方法[22-23],或模型試驗(yàn)與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)[20,23],理論研究尚顯不足。

Π形梁剪力滯效應(yīng)的現(xiàn)有成果往往僅關(guān)注彎曲作用下的剪力滯,對(duì)有軸向力的主梁(如斜拉橋),分析多局限于對(duì)軸力工況的單獨(dú)分析,未能將軸向位移作為獨(dú)立自由度考慮,從而不能合理分析壓彎作用下Π形梁的剪力滯效應(yīng)。本文針對(duì)壓彎Π形梁的剪力滯效應(yīng),引入獨(dú)立的軸向位移以合理描述壓彎Π形梁截面縱向位移狀態(tài),并提出一種每節(jié)點(diǎn)4個(gè)自由度的一維有限梁段法,能有效解決各種邊界條件下壓彎Π形梁剪力滯效應(yīng)的分析。

1 基本假定

針對(duì)剪力滯翹曲位移函數(shù),文獻(xiàn)[6]論證了彎曲作用下面內(nèi)剪切變形使頂板縱向位移沿其板寬方向按二次拋物線分布;文獻(xiàn)[14]同樣也采用二次拋物線作為軸力作用下剪力滯的翹曲位移模式。由于軸力和彎曲均會(huì)產(chǎn)生剪力滯效應(yīng),本文假設(shè)其翹曲位移模式均為二次拋物線,并將兩者產(chǎn)生的剪力滯效應(yīng)合并,用一個(gè)剪力滯位移表征壓彎作用下的剪力滯。

圖1所示的4個(gè)位移變量分別為z=0處腹板的軸向位移u(x)、截面豎向位移v(x)、截面轉(zhuǎn)角θ(x)和剪切轉(zhuǎn)角最大差值φ(x)(即壓彎作用下的剪力滯位移)。

圖1 Π形梁節(jié)點(diǎn)位移Fig.1Nodal displacementsof Π shaped girder

坐標(biāo)系的建立如圖2所示,位移方向的約定為:u(x)沿+x為正;v(x)沿+z為正;θ(x)和φ(x)繞+y旋轉(zhuǎn)為正。

圖2 Π形梁橫截面與坐標(biāo)系Fig.2 Cross section of Π shaped girder and coordinate system

引入軸向位移u(x)以合理描述壓彎Π形梁截面縱向位移,具體為

(1)

式中:uf(x,y,z)為頂板縱向位移函數(shù);uw(x,z)為腹板縱向位移函數(shù);b為頂板寬度的1/2。

腹板仍滿足平截面假定;對(duì)頂板而言,板內(nèi)縱向纖維的豎向擠壓變形、板平面外的剪切變形及橫向彎曲、橫向應(yīng)變均屬微量,忽略不計(jì)。

2 控制微分方程的建立

當(dāng)主梁受到圖3所示的外力荷載(圖中荷載方向假定為正)時(shí),主梁的總勢(shì)能為:

(2)

式中:E為彈性模量;G為剪切模量;A為橫截面面積;I為截面對(duì)y軸的慣性矩;If為頂板對(duì)y軸的慣性矩;Sf為頂板對(duì)y軸的面積矩;Iφ=8If/15;qv(x)為豎向分布荷載;qu(x)為軸向分布荷載;l為梁體長(zhǎng)度;δe和fe為梁端位移及其相應(yīng)的梁端荷載:

(3)

式中,N(x)為軸力;Q(x)為剪力;M(x)為彎矩;S(x)為與φ(x)對(duì)應(yīng)的剪力滯矩。

圖3 荷載圖示Fig.3 Load diagram

對(duì)式(2)求變分,得

(4)

式(4)即為分析壓彎Π形梁剪力滯效應(yīng)的控制微分方程組。顯然,位移u(x)、v(x)、φ(x)之間相互耦合。

令

(5)

當(dāng)qv(x)=qv,qu(x)=qux+q0時(shí),式(4)的通解為

(6)

式中,c1～c8為積分常數(shù),式(6)對(duì)應(yīng)的邊界條件為

(7)

3 有限梁段法

如圖1在每個(gè)節(jié)點(diǎn)引入4個(gè)節(jié)點(diǎn)位移,對(duì)式(6)進(jìn)行離散化,并代入式(7)建立Π形梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,δe和fe重寫為

(8)

式中:ui,j為節(jié)點(diǎn)軸向位移;vi,j為節(jié)點(diǎn)豎向位移;θi,j為節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角;φi,j為節(jié)點(diǎn)剪力滯位移;Ni,j為節(jié)點(diǎn)軸力;Qi,j為節(jié)點(diǎn)剪力;Mi,j為節(jié)點(diǎn)彎矩;Si,j為節(jié)點(diǎn)剪力滯矩;節(jié)點(diǎn)上各物理量均以坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?如圖4所示。

圖4 節(jié)點(diǎn)力正方約定Fig.4 Nodal forces positive convention

根據(jù)式(6)～式(8),可得節(jié)點(diǎn)位移δe和節(jié)點(diǎn)力fe與積分常數(shù)c1～c8之間的關(guān)系式為

(9)

式中:C=(c1c2c3c4c5c6c7c8)T;Mδ,Mf分別為聯(lián)系δe,fe與C的系數(shù)矩陣(8×8)。

令

(10)

將式(9)化為

(11)

(12)

(13)

(14)

令

單元?jiǎng)偠染仃噆e中各上三角元素表示如下:

如圖5所示為考慮剪力滯的壓彎Π形梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?節(jié)點(diǎn)剪力滯位移φi,j分別與節(jié)點(diǎn)軸向位移ui,j、節(jié)點(diǎn)豎向位移vi,j和節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移θi,j相互耦合,與式(10)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣為:

(15)

式中,C=cosα,S=sinα,α為單元坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系間的夾角,規(guī)定由結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系逆時(shí)針轉(zhuǎn)到單元坐標(biāo)系為正。

圖5 單元?jiǎng)偠染仃囀疽鈭DFig.5 Element stiffness matrixdiagram

4 算 例

結(jié)合圖6所示的主梁斷面尺寸,分別采用本文方法和ANSYS實(shí)體單元SOLID185分析簡(jiǎn)支梁、懸臂梁和連續(xù)梁在軸向壓力Nx=500 kN和豎向均布荷載qv(x)=450 kN/m共同作用下的剪力滯效應(yīng)。其中,材料的彈性模量E=3.55×107kN/m2,剪切模量G=0.4E。為實(shí)現(xiàn)實(shí)體單元與本文方法之間的比較,選擇圖6中的A點(diǎn)(腹板中面z=0處)作為實(shí)體單元響應(yīng)輸出位置,以保證兩種計(jì)算方法之間的可比性。

如圖7所示,在壓彎作用下,本文方法與實(shí)體單元的位移分析結(jié)果吻合良好,能夠正確反映軸向位移和豎向位移沿梁長(zhǎng)的變化規(guī)律。對(duì)簡(jiǎn)支梁而言,軸向位移為負(fù),沿軸力方向;對(duì)懸臂梁而言,軸向位移先正后負(fù),固定端沿軸力反向,自由端沿軸力方向;對(duì)連續(xù)梁而言,軸向位移基本變化規(guī)律與簡(jiǎn)支梁相同,但在中間鉸支座處軸向位移出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象,跳躍方向沿軸力反向。由此表明,在壓彎作用下,由于剪力滯效應(yīng)的影響梁?jiǎn)卧妮S向位移沿梁長(zhǎng)的變化規(guī)律并非直線u(x)=Nxx/EA,而是隨不同的受力狀態(tài)和邊界條件改變。

圖6 橫斷面尺寸(單位:cm)Fig.6 Dimension of cross section (Unit:cm)

圖7 壓彎作用下實(shí)體單元和本文方法的位移對(duì)比圖Fig.7 Displacement comparisons of solid elementandpresent methodunder axial compression and bending

結(jié)合式(1)和式(7),消去位移變量,得到頂板正應(yīng)力σf與單元桿端力間的關(guān)系如式(16)所示。

(16)

如圖8-圖13所示,分別為Π形截面簡(jiǎn)支梁、懸臂梁和連續(xù)梁的廣義力矩圖,以及各主梁跨中截面頂板正應(yīng)力分布圖。經(jīng)實(shí)體單元SOLID185驗(yàn)證,本文所提出的梁?jiǎn)卧軌蜉^準(zhǔn)確地計(jì)算壓彎Π形梁的截面正應(yīng)力,合理反映了由剪力滯所引起的截面正應(yīng)力分布不均勻的現(xiàn)象。同時(shí),與文獻(xiàn)[2]分析結(jié)果類似,在壓彎作用下,Π形梁的剪力滯矩S和彎矩M同樣也具有相似的分布規(guī)律,但相對(duì)于箱梁而言,Π形梁的剪力滯矩S的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于彎矩M的絕對(duì)值,且軸向壓力對(duì)廣義力矩的影響極小,可忽略不計(jì)。

圖8 簡(jiǎn)支梁的廣義力矩圖Fig.8 Generalized moment of simply supported girder

圖9 簡(jiǎn)支梁跨中截面應(yīng)力Fig.9 Stress on midspan section of simply supported girder

圖10 懸臂梁的廣義力矩圖Fig.10 Generalized moment of cantilever girder

圖11 懸臂梁跨中截面應(yīng)力Fig.11 Stress on midspan section of cantilever girder

圖12 連續(xù)梁的廣義力矩圖Fig.12 Generalized moment of continuous girder

圖13 連續(xù)梁跨中截面應(yīng)力Fig.13 Stress on midspan section of continuous girder

5 結(jié) 論

本文通過(guò)引入軸向位移u(x),以合理描述壓彎作用下截面的縱向位移狀態(tài),給出了軸向位移、豎向位移與剪力滯位移間相互耦合的微分關(guān)系,并利用解析解和邊界條件建立了梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而導(dǎo)出了壓彎作用下考慮剪力滯的Π形梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?/p>

通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)支梁、懸臂梁和連續(xù)梁的位移與應(yīng)力進(jìn)行分析,本文方法能夠較好地與實(shí)體單元分析結(jié)果相吻合,能夠準(zhǔn)確反映Π形梁的位移狀態(tài)與受力狀態(tài),驗(yàn)證了本文方法的有效性和可靠性,并得出以下結(jié)論。

(1) 在壓彎作用下,由于剪力滯的影響梁?jiǎn)卧妮S向位移沿梁長(zhǎng)不再按照直線變化,而隨受力狀態(tài)和邊界條件的不同而改變。

(2) 連續(xù)梁中間支座處,軸向位移出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象,跳躍方向沿軸力反向;

(3) Π形梁的剪力滯矩S和彎矩M具有相似的分布規(guī)律,但剪力滯矩S的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于彎矩M的絕對(duì)值,軸向壓力對(duì)廣義力矩的影響可以忽略。