二自由度振子型的二維LR聲子晶體彎曲振動帶隙研究

吳旭東，張茗海，左曙光，黃海東

(同濟(jì)大學(xué) 新能源汽車工程中心，上海 201804)

近年來聲子晶體因為其彈性波帶隙特性受到了學(xué)者廣泛關(guān)注，當(dāng)彈性波頻率位于其帶隙頻率范圍之內(nèi)時，彈性波就不能自由的傳播[1]。汽車車身板件振動是車內(nèi)低頻結(jié)構(gòu)噪聲的主要來源，因此衰減板件振動成為了車內(nèi)降噪研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，而聲子晶體的相關(guān)特性使它在汽車減振降噪方面具有極大的理論價值和應(yīng)用前景[2]。

目前聲子晶體中的帶隙可以分為布拉格帶隙(頻率對應(yīng)的彈性波波長和晶格常數(shù)處于同一數(shù)量級[3])和局域共振型帶隙(頻率所對應(yīng)的彈性波波長比晶格常數(shù)大幾個數(shù)量級[4])。在結(jié)構(gòu)有限情況下，局域共振帶隙可以抑制低頻的振動，被廣泛應(yīng)用在桿[5]、梁[6]和板件上[7]。對于元胞中只含單個振子的聲子晶體，現(xiàn)有局域共振帶隙研究主要集中在單個彈簧型，文獻(xiàn)[8-9]等提出了一種周期性排列單彈簧單振子的局域共振聲子晶體板，研究了其低頻帶隙的形成機(jī)理和調(diào)節(jié)方法。文獻(xiàn)[10-12]聲子晶體中的元胞由單橡膠單振子組成，對其能帶結(jié)構(gòu)和對應(yīng)色散曲線的位移場進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)局域共振機(jī)理可獲得更低頻的帶隙。因此，現(xiàn)有研究僅限于單彈簧單振子基體板的垂向共振模式產(chǎn)生的一個完全帶隙[13-14]，尚未考慮到雙彈簧類型的聲子晶體，這時由于振子轉(zhuǎn)動自由度的增加，會對帶隙產(chǎn)生一定影響。

汽車行駛工況下，引起板件振動的激勵源往往較為復(fù)雜[15]，多頻段寬頻帶的激勵特點(diǎn)使其隔振成為一個難題，因此雙帶隙方面的研究得到了學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[16-17]通過傳遞矩陣法計算了彈簧并聯(lián)或串聯(lián)多個振子的歐拉梁的雙帶隙，但并聯(lián)振子獲得的低頻帶隙較窄，而串聯(lián)振子則使高頻帶隙變窄。文獻(xiàn)[18]則提出了兩個橡膠串聯(lián)兩個振子的二維聲子晶體，分析了其雙帶隙的形成機(jī)理，進(jìn)而分析了橡膠和振子的幾何參數(shù)對帶隙的影響，而文獻(xiàn)[19]則通過試驗證明了并聯(lián)振子形成的雙帶隙。因此，現(xiàn)有雙帶隙的產(chǎn)生需要通過多個彈簧串聯(lián)或并聯(lián)多個振子，從而得到多個振子的自由度，由此產(chǎn)生布置高度和振子質(zhì)量的增加約束了其工程應(yīng)用價值。如何通過單個振子即可得到目標(biāo)的雙帶隙成為研究的難點(diǎn)，而振子的轉(zhuǎn)動自由度的引入則為問題提供解決方法。

針對以上問題，本文設(shè)計了一種具有雙自由度單振子的局域共振型聲子晶體板,與傳統(tǒng)多振子串并聯(lián)型聲子晶體相比，通過單個振子的平動和轉(zhuǎn)動相互耦合作用即可形成兩個低頻的彎曲波帶隙。從板件的彎曲振動方程出發(fā)，通過平面波展開法計算雙帶隙范圍，而有限元法和樣件試驗得到的振動傳遞函數(shù)驗證了雙帶隙計算方法的準(zhǔn)確性，最后通過對各影響因素的分析為聲子晶體在汽車板件多頻減振應(yīng)用上提供參考。

1 雙自由度振子型局域共振板帶隙計算分析

雙自由度振子型局域共振聲子晶體板的元胞模型如圖1(a)所示，板件通過兩彈簧共同連接著振子。其中，具體參數(shù)如圖1(b)所示，晶格常數(shù)為a，板件厚度用h表示，質(zhì)量為m1；左右彈簧剛度分別用k1和k2表示，其距離板件中心分別為l1和l2；振子質(zhì)量為m2，其尺寸為b1×b2×h2，轉(zhuǎn)動慣量為J。模型主要考慮對板件聲輻射影響較大的垂向振動(z向)，并沒有考慮板件的橫向位移的影響。

圖1 模型參數(shù)Fig.1 Model parameters

1.1 平面波展開法帶隙計算

根據(jù)基爾霍夫薄板理論，板件和振子的運(yùn)動方程為

(1)

其中,

(2)

式中：w1為板件垂向位移；w2為振子垂向位移；θ為振子扭轉(zhuǎn)振動時繞y軸轉(zhuǎn)過的角度；D=Eh3/12(1-v2)是板件的彎曲剛度；ω為圓頻率；f為彈簧對板件或者振子的合力。

根據(jù)周期結(jié)構(gòu)的Bloch定理

(3)

同時振子位置的位移滿足

(4)

由δ函數(shù)的定義求出

(5)

將式(3)～式(5)代入式(1)，整理得到

(6)

選取半軸上M個通過原點(diǎn)的倒格矢，因為G是二維矢量，那么總平面波數(shù)量為(2M+1)2，將方程整理成矩陣形式得到

(7)

其中，

至此，方程轉(zhuǎn)為求解矩陣特征值ω2問題，進(jìn)一步可以求得頻率f。將波矢k沿著晶胞不可約Brillouin區(qū)的邊界進(jìn)行掃描，將每一個波矢代入方程解出N個特征頻率得到聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)圖。

1.2 有限元法帶隙特性驗證

為了驗證平面波展開法計算帶隙位置及寬度的正確性，在有限元中建立了8×8 周期的雙自由度振子型局域共振板。在有限元模型中，基體板厚度較薄，使用殼單元建模，可以滿足仿真的準(zhǔn)確性同時減少網(wǎng)格計算時間，而振子需考慮轉(zhuǎn)動慣量的影響因此使用實(shí)體建模，振子和基體板則通過彈簧單元連接。在ABAQUS中進(jìn)行加速度頻率響應(yīng)分析，板件狀態(tài)為四周自由約束，板件加速度激勵信號及響應(yīng)信號位置如圖2所示。

加速度頻率響應(yīng)函數(shù)為

(8)

式中：ain為激勵信號；aout為拾取振動信號。

雙自由度振子型局域共振板參數(shù)如下：晶格常數(shù)a=50mm，板件厚度h=1 mm；板件和振子材料均為鋼，楊氏模量E=210 GPa，泊松比0.3，密度ρ=7 850 kg/m3；左右彈簧剛度為k1=25 000 N/m和k2=25 000 N/m，其距離板件中心l1=0.015 m和l2=0.015 m；振子質(zhì)量為m2=0.05 kg，其尺寸為b1×b2×h2=40×10×16 mm，轉(zhuǎn)動慣量為7.73 ×10-6kg·m2。

通過MATLAB計算能帶結(jié)構(gòu)圖如圖4(a)所示，選取平面波數(shù)量N=(2×5+1)2=121，與相同參數(shù)下的單彈簧振子聲子晶體對比(見圖3)，帶隙范圍雖然都為153～296 Hz，但雙彈簧型聲子晶體會在192 Hz處中存在著一條平直帶。這平直帶類似于二維聲子晶體的點(diǎn)或線缺陷結(jié)構(gòu)，此時振動傳遞函數(shù)在帶隙范圍內(nèi)有一個局域共振峰。如果將此局域共振峰的頻率對應(yīng)于車身板件的負(fù)貢獻(xiàn)區(qū)頻率[20]，可以更有效的實(shí)現(xiàn)車內(nèi)降噪。此時振動加速度頻率響應(yīng)函數(shù)如圖4(b)所示，帶隙范圍為154～300 Hz，帶隙最大衰減深度達(dá)140 dB。同時在180～184 Hz存在一個局域共振峰，局域共振峰帶隙頻率略小于能帶結(jié)構(gòu)平直帶，但這與能帶結(jié)構(gòu)圖中的平直帶相呼應(yīng)，證明計算方法的有效性。

當(dāng)左右彈簧和中心的距離不等時，即l1=0.015 m和l2=0.01 m，能帶結(jié)構(gòu)圖如圖5(a)所示。此時能帶結(jié)構(gòu)圖中存在兩個分離的帶隙，分別為141.7～158.7 Hz，173.4～298.5 Hz。此時加速度頻率響應(yīng)函數(shù)如圖5(b)所示，帶隙頻率與能帶結(jié)構(gòu)圖吻合，帶隙內(nèi)衰減振動可達(dá)180 dB。

當(dāng)左右彈簧剛度不等時，即k1=50 000 N/m和k2=25 000 N/m，能帶結(jié)構(gòu)圖如圖6(a)所示，加速度頻率響應(yīng)函數(shù)如圖6(b)所示，同樣存在兩個分離的帶隙，分別為165.1～214.3 Hz，248～372.9 Hz。第一帶隙寬度相比圖5更寬。從圖中可以看出，左右彈簧參數(shù)不等時，原來的平直帶則演變成彎曲的色散曲線，此曲線將原來的帶隙一分為二。

因此，振子轉(zhuǎn)動自由度的引入可以增加帶隙的數(shù)量。工程實(shí)際中，往往會出現(xiàn)多個目標(biāo)減振頻率之間大小相差較大的情況，此時單個帶隙無法滿足大跨度的頻率要求，因此可以通過兩個不同位置的帶隙來解決，充分利用有限的帶隙寬度從而達(dá)到大頻率跨度的減振需求。

圖2 有限元仿真板件激振及拾振位置Fig.2 The position of excitation and response in FEM

圖3 單彈簧單振子型聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.3 The band structure of PCs with single spring and oscillator

圖4 k1=k2且l1=l2Fig.4 k1=k2 and l1=l2

圖5 k1=k2且l1≠l2Fig.5 k1=k2 and l1≠l2

圖6 k1≠k2且l1=l2Fig.6 k1≠k2 and l1=l2

1.3 帶隙樣件試驗驗證

局域共振板參數(shù)如下：選取周期數(shù)為6×6，晶格常數(shù)a=50mm，板件厚度h=1mm；板件和振子材料均為鋼，楊氏模量E=210GPa，泊松比0.3，密度ρ=7 850kg/m3；振子質(zhì)量為m2=0.05kg，尺寸為b1×b2×h2=40×16×10mm，轉(zhuǎn)動慣量為7×10-6kg·m2。經(jīng)彈簧剛度識別試驗得到左右彈簧剛度為k1=46 000N/m和k2=40 000N/m，其距離板件中心l1=0.015m和l2=0.015m。試驗樣件及設(shè)備如圖7所示，板件四端通過彈性繩自由懸吊，確保其邊界條件與有限元仿真相同，即均處于自由約束狀態(tài)。測試過程中，為防止彈性繩對激勵影響，激振器白噪聲激勵信號處于板件邊緣中點(diǎn)，通過加速度傳感器拾取激振點(diǎn)和水平方向邊緣點(diǎn)的加速度信號。

圖7 樣件試驗布置圖Fig.7 Experiment of flexural vibration in phononic crystals

將獲得的激勵和響應(yīng)加速度信號進(jìn)行計算，得到樣件的振動傳遞函數(shù)，將試驗結(jié)果和有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如圖8所示。對比圖中兩曲線可以看出，試驗得到帶隙范圍為210～236Hz，250～352Hz，而有限元仿真得到帶隙范圍為196～252Hz，256～364Hz，這兩種方法得到的彎曲振動傳遞函數(shù)基本一致。因此通過試驗結(jié)果的對比，驗證了本文理論計算采用的方法的準(zhǔn)確性，同時也驗證了雙自由度振子型聲子晶體能夠有效抑制板件振動。

圖8 聲子晶體彎曲振動傳遞特性對比Fig.8 Comparison of the flexural vibration transmission spectrums by FEM and experiment

2 帶隙機(jī)理分析

單彈簧振子型聲子晶體帶隙形成機(jī)理是振子與基體板的垂向共振產(chǎn)生了一個完全帶隙，而雙彈簧連接時則會出現(xiàn)平直帶。因此對帶隙的產(chǎn)生進(jìn)行深入分析，建立帶隙開始和截止時對應(yīng)的簡化模型，在帶隙開始時，對應(yīng)的簡化模型如圖9(a)所示，此時基體板固定不動，對振子多自由度系統(tǒng)分析，建立運(yùn)動微分方程

圖9 具有局域共振帶隙的聲子晶體簡化模型Fig.9 The simplified model of LR phononic crystals

(9)

剛度矩陣

質(zhì)量矩陣

在帶隙截止時，對應(yīng)的簡化模型如圖9(b)所示，此時基體板將與振子共振，運(yùn)動微分方程為

(10)

通過剛度矩陣、質(zhì)量矩陣可以求得系統(tǒng)固有頻率和主振型，而固有頻率即對應(yīng)帶隙開始和截止頻率，固有振型則反映了帶隙開始和截止時的振動模式。如圖10所示，可以看出，采用簡化模型和平面波展開法方法計算得到的帶隙頻率基本吻合，說明該簡化模型的有效性，因此可以用該固有振型可以解釋帶隙的振動模式，即帶隙產(chǎn)生及結(jié)束的機(jī)理。

圖10 彈簧剛度對帶隙的影響Fig.10 The influence analysis of spring’s stiffness

當(dāng)左右彈簧參數(shù)對稱時，帶隙開始及結(jié)束對應(yīng)的振型如圖11所示，第一帶隙開始及第二帶隙結(jié)束時振子的兩彈簧連接點(diǎn)位移相等，振子整體運(yùn)動為平動，與單彈簧振子型的振動形式相同；而第一帶隙結(jié)束頻率和第二帶隙開始頻率相等，對應(yīng)的振型也一樣，此時振子繞中心軸轉(zhuǎn)動，板件位移為零，因此正是板件的轉(zhuǎn)動導(dǎo)致能帶結(jié)構(gòu)圖中出現(xiàn)平直帶。

當(dāng)左右彈簧離中心距離不等或剛度不等時，即l1=0.015m和l2=0.01m或k1=50 000N/m和k2=25 000N/m，其他參數(shù)同上不變，通過MATLAB計算得到帶隙開始及截止時元胞對應(yīng)的振型圖，如圖12所示。當(dāng)?shù)谝粠堕_始時，振子以距離中心較遠(yuǎn)的彈簧或剛度較大的彈簧為軸轉(zhuǎn)動，而第二帶隙開始則對應(yīng)振子以距離較近或剛度較小的彈簧為軸而轉(zhuǎn)動。對帶隙結(jié)束振型分析，第一帶隙截止時，振子轉(zhuǎn)動的同時，中心與板件的平動運(yùn)動方向相同；第二帶隙截止時，振子轉(zhuǎn)動較小，同時振子與板件運(yùn)動方向相反。因此，振子繞中心軸的轉(zhuǎn)動與垂向平動的耦合導(dǎo)致平直帶的產(chǎn)生以及相互分離的雙帶隙。

圖11 左右彈簧對稱帶隙開始及截止對應(yīng)主振型Fig.11 Mode shape when k1=k2 and l1=l2

圖12 左右彈簧不對稱帶隙開始及截止對應(yīng)主振型Fig.12 Mode shape when k1≠k2 or l1≠l2

3 帶隙影響因素分析

汽車板件振動激勵源往往較為復(fù)雜，需要合理選擇聲子晶體的參數(shù)來抑制板件的振動。通過分析聲子晶體具體參數(shù)對帶隙的影響，為雙振子型聲子晶體在汽車板件的應(yīng)用提供參考。

3.1 彈簧剛度的影響

如圖10(a)所示，保持其他參數(shù)不變，左右彈簧距離相等時，當(dāng)兩彈簧剛度增加時，帶隙開始、截止以及平直帶頻率均隨剛度增加而增加。當(dāng)固定一段的彈簧剛度不變(k1=25 000N/m)，改變另一端的彈簧剛度，如圖10(b)所示，彈簧剛度增加或減小，均會形成兩個分離的帶隙。彈簧剛度減小時第一帶隙向低頻擴(kuò)展，可以獲得較低頻的帶隙，到一定程度第二帶隙基本不變。彈簧剛度增大則向高頻移動，到一定程度時第一帶隙頻率基本不變，而第二帶隙繼續(xù)向高頻發(fā)展。兩彈簧剛度相差越大，雙帶隙的頻率相差也越大。

3.2 彈簧距離的影響

如圖13(a)所示，保持其他參數(shù)不變，兩彈簧剛度相等時，當(dāng)兩彈簧距離同時增加時，帶隙的起始和截止頻率不受變化，但會影響平直帶的頻率，平直帶的頻率基本與左右彈簧距離成正比，要在帶隙內(nèi)形成平直帶的缺陷態(tài)效果左右彈簧距離需要滿足一定的條件，否則平直帶均在帶隙外。當(dāng)固定其中一彈簧距離不變(l1=15mm)，改變另一彈簧距離，如圖13(b)所示。第一帶隙截止頻率與彈簧距離成正比的關(guān)系，兩彈簧距離相等后，第一帶隙起始頻率隨距離變化很小。而第二帶隙則正好相反，起始頻率在前10mm隨距離減小而后成正比的增加，而截止頻率則較為平緩，兩彈簧距離相等前減小而之后增加。

3.3 振子質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的影響

如圖14(a)所示，當(dāng)彈簧左右參數(shù)對稱時，此時帶隙開始及截止振動模式均為振子的平動，因此轉(zhuǎn)動慣量對帶隙起始及截止頻率均無影響。轉(zhuǎn)動慣量只會改變平直帶對應(yīng)的頻率，轉(zhuǎn)動慣量越大，平直帶對應(yīng)頻率越低。因此轉(zhuǎn)動慣量在一定范圍內(nèi)，帶隙內(nèi)才有局域共振峰出現(xiàn)。但當(dāng)左右參數(shù)不對稱，例如當(dāng)左右彈簧距離不等時，如圖14(b)所示，轉(zhuǎn)動慣量越大則第二帶隙帶寬越大，反之則第一帶隙帶寬越大；且隨著轉(zhuǎn)動慣量越大，第一帶隙向低頻移動。

圖13 彈簧距離對帶隙的影響Fig.13 The influence analysis of spring’s distance

由圖15(a)所示，當(dāng)系統(tǒng)左右參數(shù)對稱時，因為此時帶隙開始和截止時振子的振動模式是振子繞中心軸轉(zhuǎn)動，與純質(zhì)量無關(guān)，質(zhì)量對平直帶對應(yīng)的頻率沒影響，質(zhì)量越大帶隙越往低頻走，與單彈簧振子帶隙趨勢相同。但當(dāng)左右參數(shù)不對稱，例如當(dāng)左右彈簧距離不等，如圖15(b)所示，質(zhì)量增大，第一帶隙截止頻率基本不變，開始頻率向低頻移動；到達(dá)一定范圍時，第二帶隙起始頻率變化較小，截止頻率相比開始頻率變化較大。

圖14 振子轉(zhuǎn)動慣量對帶隙的影響Fig.14 The influence analysis of oscillator’s moment of inertia

圖15 振子質(zhì)量對帶隙的影響Fig.15 The influence analysis of oscillator’s mass

4 結(jié) 論

針對汽車行駛中多頻段寬頻帶的激勵源特點(diǎn)，為抑制板件的低頻振動，本文提出了一種單振子雙彈簧類型的二維聲子晶體結(jié)構(gòu)，使振子具有平動和轉(zhuǎn)動的自由度，計算并分析了其雙帶隙特性，并得到以下主要結(jié)論：

(1)平面波展開法計算了二自由度振子型聲子晶體的色散曲線，并通過有限元法和樣件試驗的振動傳遞特性進(jìn)行驗證。與傳統(tǒng)單彈簧振子型聲子晶體相比，雙彈簧聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖中帶隙內(nèi)會出現(xiàn)一條平直帶，類似缺陷態(tài)特性，使加速度頻率響應(yīng)函數(shù)帶隙內(nèi)中出現(xiàn)局域共振峰；當(dāng)雙彈簧參數(shù)非對稱時，平直帶拓寬，使能帶結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生明顯分離的雙帶隙。

(2)從帶隙開始和截止頻率對應(yīng)的振型可以得到，當(dāng)?shù)谝粠堕_始時，振子主要以距離中心較遠(yuǎn)的彈簧或剛度較大的彈簧為軸而轉(zhuǎn)動，而第二帶隙開始則對應(yīng)振子以距離較近的彈簧為軸或剛度較小而轉(zhuǎn)動。因此，振子的轉(zhuǎn)動與垂向平動的耦合導(dǎo)致平直帶的產(chǎn)生以及相互分離的雙帶隙。

(3)彈簧剛度和距離的不等分布有助于雙帶隙的產(chǎn)生。距離、剛度越小有助于第一帶隙向低頻移動，越大則第二帶隙向高頻移動；振子質(zhì)量越大，第一帶隙越寬頻率越低，而轉(zhuǎn)動慣量越小則第一帶隙越寬，但頻率也越高。通過調(diào)節(jié)四個參數(shù)的數(shù)值可以得到特定的雙帶隙范圍，為聲子晶體在汽車板件多頻減振應(yīng)用中提供了新的設(shè)計方法。