波紋夾層板沖擊響應(yīng)理論計(jì)算方法研究

劉 昆，王 哲，王自力

(1. 江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2. 船舶與海洋工程碰撞擱淺研發(fā)中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

隨著現(xiàn)代海軍的不斷發(fā)展，艦船結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能已經(jīng)成為了設(shè)計(jì)人員廣泛關(guān)注的問題，抗沖擊性能的好壞直接影響到艦船的作戰(zhàn)能力和艦上人員、設(shè)備的安全，對于整個(gè)艦船來說十分重要。夾層板作為一種組合結(jié)構(gòu)，具有重量輕、比強(qiáng)度和比剛度高、抗沖擊能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，近年來國外先進(jìn)造船國家已將其應(yīng)用于軍船和民船部分區(qū)域結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)制造當(dāng)中[1-3]。由于夾層板擁有廣闊的應(yīng)用前景，近年來國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了深入的研究。Fleck等[4]研究了空爆載荷作用下夾層梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并結(jié)合剛塑性材料模型推導(dǎo)了求解夾層梁塑性變形的解析計(jì)算公式，所得公式計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合良好。Xue等[5]通過理論與有限元相結(jié)合的方法研究了蜂窩夾層板、桁架夾層板以及波紋夾層板在局部壓潰及沖擊載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，研究表明夾層板抗沖擊能力顯著優(yōu)于等質(zhì)量的平板。劉均等[6-7]對沖擊載荷下方形蜂窩夾層板的殘余變形進(jìn)行了理論研究，并給出了簡化解析計(jì)算公式。Yuan等[8]考慮彎矩和軸力的影響，研究了夾層梁在沖擊載荷作用下的塑性變形理論計(jì)算方法，并與仿真結(jié)果進(jìn)行了對比，兩者吻合較好。Li等[9]針對鋁制波紋夾層板開展了空中爆炸試驗(yàn)研究，并進(jìn)行了有限元數(shù)值分析，兩者一致性較好，驗(yàn)證了有限元分析技術(shù)的可行性。Xia等[10]通過近距離空中爆炸試驗(yàn)和接觸爆炸試驗(yàn)研究了圓管夾芯夾層板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，研究發(fā)現(xiàn)近距離爆炸主要導(dǎo)致迎爆面和夾芯產(chǎn)生較大面積的塑性變形，而接觸爆炸則主要是迎爆面和夾芯的局部撕裂。

波紋夾層板夾芯形式多樣、力學(xué)性能復(fù)雜，爆炸沖擊載荷作用時(shí)間短且結(jié)構(gòu)響應(yīng)表現(xiàn)出強(qiáng)非線性特點(diǎn)，給理論求解帶來很大的困難，因此需對波紋夾層板的響應(yīng)過程和變形模式進(jìn)行適當(dāng)簡化。本文以兩種典型的波紋夾層板為研究對象，基于動(dòng)能定理和能量守恒等理論，考慮彎矩和膜力的影響，推導(dǎo)出波紋夾層板在爆炸載荷作用下塑性變形的解析計(jì)算公式，并與仿真結(jié)果進(jìn)行對比分析以驗(yàn)證和完善相關(guān)理論。研究成果可為波紋夾層板結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和抗沖擊性能評估提供參考。

1 結(jié)構(gòu)響應(yīng)過程簡化分析

根據(jù)爆炸沖擊載荷的作用特點(diǎn)，可以把波紋夾層板的響應(yīng)過程簡化為流固耦合作用、芯層壓縮和整體變形3個(gè)階段，如圖1所示。其中，圖1(a)為夾層板在沖擊載荷下受流固耦合作用而獲得初速度，夾層板受到爆炸沖擊波作用時(shí)，由于整個(gè)沖擊過程很短，在這一過程中可近似認(rèn)為僅有迎爆面面板獲得初始速度，而其余結(jié)構(gòu)此時(shí)仍保持靜止；圖1(b)為夾芯層受壓變形階段，當(dāng)夾層板迎爆面產(chǎn)生初始速度后，波紋夾芯受迎爆面載荷的作用開始壓縮，同時(shí)芯層和背爆面在迎爆面的推動(dòng)下逐漸加速，夾層板的面板和夾芯最終可以達(dá)到某一相同速度，這時(shí)夾芯壓縮過程結(jié)束；圖1(c)為夾層板的整體變形階段，芯層壓縮結(jié)束之后，整個(gè)夾層板仍具有速度，處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在慣性效應(yīng)的作用下夾層板將繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直至速度為零，至此波紋夾層板完成整個(gè)變形響應(yīng)過程。

圖1 波紋夾層板動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程Fig.1 Dynamic response process of corrugated sandwich panel

2 波紋夾層板理論計(jì)算方法

2.1 波紋夾層板初始動(dòng)能

在爆炸載荷作用下，波紋夾層板瞬間獲得較大的運(yùn)動(dòng)速度而進(jìn)入塑性階段，因此在進(jìn)行理論計(jì)算時(shí)忽略其彈性效應(yīng)的影響，選用理想剛塑性材料進(jìn)行分析。

沖擊載荷作用在夾層板迎爆面上，當(dāng)沖擊波正入射一個(gè)剛性固定的平面時(shí)，單位面積上的入射沖量(I+)為[11]

(1)

I=2I+

(2)

式中：Ai為系數(shù)[12]，且Ai=200～250；me為TNT當(dāng)量；r為爆距；I為單位面積反射沖量。

根據(jù)第一階段分析，由動(dòng)量定理可得迎爆面面板初始速度為

(3)

忽略四周約束對迎爆面瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，根據(jù)動(dòng)能定理，此時(shí)結(jié)構(gòu)的初始動(dòng)能為

(4)

式中：S為夾層板的面積；ρf為夾層板材料密度；tf為夾層板迎爆面面板厚度。

2.2 波紋夾層板芯層壓縮

根據(jù)第二階段分析，夾芯壓縮完成后整個(gè)夾層板達(dá)到相同速度，依據(jù)動(dòng)量守恒可得此時(shí)整個(gè)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)速度為

(5)

圖2 波紋夾層板幾何參數(shù)Fig.2 Geometric parameters of corrugated sandwich panels

由動(dòng)能定理可得壓縮完成后整個(gè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)能為

(6)

夾芯壓縮過程中，爆炸沖擊波的部分能量被芯層吸收，主要轉(zhuǎn)化為塑性變形能。由夾層板的初始動(dòng)能和壓縮后的動(dòng)能可以求得夾芯壓縮所吸收的能量

Ec=E0-Ea

(7)

對于矩形波紋夾層板，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)位于板的中心時(shí)，夾芯壓縮后夾層板的變形可通過傅里葉級數(shù)表示為

(8)

則夾芯壓縮所吸收的能量與夾芯壓縮變形量之間的關(guān)系可表示為

(9)

聯(lián)立式(7)和式(9)可得夾芯壓縮量為

(10)

2.3 波紋夾層板整體變形

芯層壓縮結(jié)束之后，波紋夾層板進(jìn)入第三階段響應(yīng)過程，在這一過程中夾層板將產(chǎn)生塑性彎曲和拉伸，其動(dòng)能也將主要被塑性應(yīng)變能所耗散。

對于四周剛性固定的矩形波紋夾層板，為分析其整體變形，假設(shè)其在沖擊載荷作用下的塑性變形模式如圖3所示[13]。變形后的夾層板可分為4個(gè)呈中心對稱的剛性區(qū)域，分別為區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ。由于采用固支約束，因此各個(gè)區(qū)域的邊界處均為塑性鉸線，同時(shí)認(rèn)為在沖擊過程中夾層板的變形模態(tài)不發(fā)生變化。

圖3 固支夾層板塑性變形模式Fig.3 Plastic deformation mode of the clamed sandwich panel

各個(gè)剛性區(qū)域變形后的位移場可由幾何關(guān)系表示

剛性區(qū)域Ⅰ為

(11)

剛性區(qū)域Ⅱ?yàn)?/p>

(12)

式中：a，b為分別夾層板的長和寬，且a≥b；w為最大位移； 角度φ由式(13)求得[14]

(13)

參考文獻(xiàn)[15]，單位長度鉸線消耗的塑性能為

D=(M+Nwi)θi

(14)

則夾層板在變形過程中所有塑性鉸耗散的總塑性變形能為

(15)

式中：M為夾層板的彎矩；N為夾層板的膜力；wi為第i個(gè)鉸線處的橫向位移；θi為第i個(gè)鉸線的轉(zhuǎn)角；li為第i個(gè)鉸線的長度；n為鉸線個(gè)數(shù)。

對于矩形波紋夾層板，由于鉸線存在對稱性，則變形過程中其結(jié)構(gòu)在鉸線處耗散的總能量為

(16)

波紋夾層板在鉸線處的轉(zhuǎn)角θAD，θAB，θAE和θEF可由幾何關(guān)系求得，分別為

(17)

(18)

(19)

θEF=2θAD

(20)

將式(17)～式(20)代入式(16)，可得夾層板變形過程中在鉸線處的總耗散能為

(21)

板的屈服函數(shù)可由膜力(N)和彎矩(M)來表示，對于夾層板而言，其屈服面的形式與面板和夾芯的相對強(qiáng)度和夾層板的厚度有關(guān)，因此與普通平板有所不同，可表示為

(22)

式中：M0為極限彎矩；N0為極限膜力。

由于波紋夾層板為各向異性結(jié)構(gòu)，其不同方向的極限彎矩和極限膜力并不相同。

如圖4所示，以上述兩種波紋夾層板為研究對象，其x軸方向的極限彎矩

M0x=σftf[(hc-wc)+tf]

(23)

y軸方向的極限彎矩

(24)

圖4 波紋夾層板Fig.4 Corrugated sandwich panel

x軸方向的極限膜力

N0x=2σftf

(25)

y軸方向的極限膜力

(26)

對于夾層結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題，一般很難得到其最終變形的解析解，為了盡可能準(zhǔn)確求得其變形量，采用屈服函數(shù)的外接方形和內(nèi)接方形作為其屈服面進(jìn)行求解，如圖5所示。

夾層板外接屈服面

|N|=N0, |M|=M0

(27)

夾層板內(nèi)接屈服面

|N|=0.5N0, |M|=0.5M0

(28)

采用外接屈服面，計(jì)算所得最終變形量比實(shí)際變形量偏?。欢捎脙?nèi)接屈服面，求得的最終變形量比實(shí)際變形量偏大。因此，在求得結(jié)果之后，為盡可能使得結(jié)果準(zhǔn)確可靠，取其平均值作為夾層板最終變形量的計(jì)算值。

圖5 夾層板結(jié)構(gòu)屈服曲線Fig.5 The field curve of the sandwich panel structure

當(dāng)屈服曲面為外接方形時(shí)，總耗散能為

(29)

當(dāng)屈服曲面為內(nèi)接方形時(shí)，總耗散能為

(30)

在波紋夾層板的整體變形過程中，其初始動(dòng)能最終由其塑性變形能所耗散，因此

Ep=Ea

(31)

將式(31)分別代入式(29)和式(30)，得

(32)

(33)

把式(23)～式(26)中的M0x，N0x，M0y，N0y分別代入式(32)和式(33) ，解上述兩個(gè)方程，舍去不符合實(shí)際的負(fù)值解，可分別得

(34)

(35)

(36)

(37)

取其平均值，即可得到波紋夾層板在爆炸沖擊載荷作用下的最終塑性變形量。

3 理論仿真結(jié)果對比分析

為了考察以上計(jì)算公式的可靠性，分別利用公式計(jì)算V型和U型兩種波紋夾層板在爆炸載荷作用下的位移響應(yīng)。同時(shí)，利用大型有限元軟件ABAQUS進(jìn)行相關(guān)數(shù)值仿真分析，并將兩者計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析，驗(yàn)證本文所建立的理論分析方法。

為了便于分析和比較，夾層板的位移用無量綱參數(shù)表示

(38)

式中：D為夾層板的最大位移量。

爆炸載荷沖量用無量綱參數(shù)表示

(39)

式中：M為單位面積夾層板的質(zhì)量，M=2ρftc+hcρc。

3.1 波紋夾層板結(jié)構(gòu)模型

選取V型和U型兩種波紋夾層板作為研究對象，對其塑性動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析。對于圖2所示的V型和U型波紋夾層板，確定其幾何尺寸參數(shù)，如表1所示。

表1 波紋夾層板幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of the corrugated sandwich panel mm

根據(jù)幾何尺寸建立兩種波紋夾層板的有限元模型。其中，空氣模型采用中間為柱體兩端為半球體的形狀，為減小空氣邊界的影響，確保計(jì)算精度，流場半徑取為結(jié)構(gòu)半徑的6倍[16]，并在流場邊界設(shè)置無反射邊界條件，有限元模型如圖6所示(1/2流場模型)。數(shù)值分析采用聲固耦合算法，流場選用4節(jié)點(diǎn)線性聲學(xué)四面體單元(AC3D4)，空氣密度為1.25 kg/m3，體積模量為1.42×105Pa，結(jié)構(gòu)流場之間設(shè)置耦合邊界。夾層板材料類型選用理想彈塑性材料，屈服強(qiáng)度σf=235 MPa，彈性模量E=210 GPa，密度ρf=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3。兩種夾層板的有限元模型如圖7所示，夾層板選用殼單元模擬，單元類型為4節(jié)點(diǎn)減縮積分四邊形單元(S4R)，邊界條件為約束夾層板四周6個(gè)自由度。

3.2 有限元模型網(wǎng)格敏感性分析

在進(jìn)行有限元數(shù)值仿真分析時(shí)，有限元模型網(wǎng)格尺寸會(huì)對結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生一定的影響，首先研究有限元模型的網(wǎng)格敏感性，充分探究結(jié)構(gòu)單元尺寸的影響規(guī)律，以便更好的驗(yàn)證理論分析方法。沖量大小選取I=0.185。根據(jù)夾層板結(jié)構(gòu)尺寸，有限元網(wǎng)格大小選取10 mm，20 mm，30 mm，40 mm和50 mm，共5種單元尺寸，分別由S-1，S-2，S-3，S-4和S-5表示。在有限元數(shù)值分析中選取波紋夾層板背爆面中心點(diǎn)為典型測點(diǎn)，研究夾層板的最大位移量。

圖6 結(jié)構(gòu)-流場有限元模型(1/2)Fig.6 Finite element model of structure-flow field(1/2)

圖7 波紋夾層板有限元模型Fig.7 Finite element models of corrugated sandwich panels

計(jì)算分析結(jié)果匯總于表2，對于V型夾層板，最小位移與最大位移相差3.98%；對于U型夾層板，兩者相差1.70%；V型夾層板的網(wǎng)格敏感性大于U型夾層板。位移曲線圖如圖8所示，可以看出，隨著單元尺寸的增大，有限元計(jì)算結(jié)果有逐漸減小的趨勢，但整體來說差別不大。單元?jiǎng)澐州^大時(shí)，夾層板的夾芯壓縮等微小變形不能很好地體現(xiàn)，局部變形被忽略導(dǎo)致夾層板的整體抗彎強(qiáng)度增大，從而使得計(jì)算結(jié)果偏大。為了減少單元?jiǎng)澐謱τ?jì)算結(jié)果的影響，對不同單元尺寸的計(jì)算結(jié)果取平均值，可以看出，平均位移值與單元尺寸為20 mm和30 mm時(shí)的位移值較為接近，因此綜合考慮夾層板的結(jié)構(gòu)尺寸、單元尺寸及計(jì)算機(jī)時(shí)的影響，后續(xù)分析時(shí)單元網(wǎng)格特征長度選取25 mm。

表2 網(wǎng)格敏感性分析Tab.2 Sensitivity analysis of elements

圖8 單元尺寸-位移曲線Fig.8 Element size-displacement curve

3.3 結(jié)構(gòu)塑性變形對比分析

理論解求解過程應(yīng)用計(jì)算程序MATLAB編程計(jì)算，通過初試參數(shù)輸入直接輸出計(jì)算結(jié)果。把理論計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果進(jìn)行整理，匯總成如圖9所示的位移-載荷曲線圖，從圖中可以看出，在不同沖量作用下，兩種波紋夾層板的位移趨勢基本相同，其位移值均隨著沖量的增加而近似呈線性增長。對比外接屈服面理論值和內(nèi)接屈服面理論值，采用外接方形屈服函數(shù)求解得到的最大塑性變形比仿真值偏小，而采用內(nèi)接屈服函數(shù)得到的最大塑性變形比仿真值偏大。將兩者平均值后，得到的理論值與仿真值較為接近。

當(dāng)沖量相同時(shí)，V型波紋夾層板的位移均小于U型夾層板。這主要是由于V型夾層板單位長度的夾芯數(shù)量多于U型夾層板，雖然U型夾層板的夾芯結(jié)構(gòu)中存在與上下面板連接的水平部分，增加了其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，但單位面積內(nèi)V型夾層板的截面慣性矩仍大于U型，故V型夾層板的抗沖擊能力相對較好，塑性變形量平均比U型低10.4%。但是，V型夾層板單位面積的質(zhì)量比U型高14.7%。本文并未將兩種夾層板的質(zhì)量統(tǒng)一化，因?yàn)閵A層板的結(jié)構(gòu)形式多種多樣，在同一質(zhì)量下會(huì)得到很多種不同的結(jié)構(gòu)形式，而不同的結(jié)構(gòu)形式又具有不同的抗沖擊性能。由此可見，夾層板復(fù)雜的結(jié)構(gòu)形式使得其具有多變的結(jié)構(gòu)質(zhì)量和力學(xué)性能，因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)當(dāng)根據(jù)需求合理選擇波紋夾層板類型。

圖9 波紋夾層板沖量-位移曲線Fig.9 Impulse-displacement curves of corrugated sandwich panels

兩種波紋夾層板理論與仿真計(jì)算的得到的最大塑性誤差在10%以內(nèi)，其計(jì)算精度可滿足相關(guān)工程設(shè)計(jì)分析的要求。

3.4 結(jié)構(gòu)變形模式對比分析

為了研究波紋夾層板的整體變形情況，選取相同沖量下(I=0.185)長、寬兩個(gè)方向中部典型剖面處夾層板的結(jié)構(gòu)位移進(jìn)行分析。夾層板沿長邊、短邊方向中心線的位移分布分別如圖10、圖11所示。可以看出，波紋夾層板的中部變形量與理論值較為接近，但在靠近中部區(qū)域的兩側(cè)，夾層板變形量大于理論值。利用內(nèi)接屈服面求得的位移值與波紋夾層板兩側(cè)變形值相對來說較為接近，但最大值偏大。利用外接屈服面求得的位移值在整個(gè)結(jié)構(gòu)中均小于仿真值。由于簡化解析采用剛塑性材料模型，位移曲線具有明顯的折點(diǎn)，因此與實(shí)際變形模式相比這種偏差不可避免，但本文簡化解析方法也能在一定程度上反映結(jié)構(gòu)的變形情況，具有一定的參考價(jià)值。

總體來說，在波紋夾層板的整體變形方面，理論值所得趨勢與仿真值基本一致，沿長邊方向均存在一定程度的平臺(tái)區(qū)，而沿短邊方向則并不明顯，兩者峰值吻合較好，但在邊緣區(qū)域仿真值大于理論值。利用內(nèi)接屈服面求解，能更好的反映其部分區(qū)域的變形情況，但峰值偏大；而利用外接屈服面求解則始終小于仿真值，且兩者偏差較大。

圖10 長邊方向中心線位移Fig.10 Displacement of the center line in the long side direction

圖11 短邊方向中心線位移Fig.11 Displacement of the center line in the short side direction

4 結(jié) 論

以典型波紋夾層板為研究對象，基于動(dòng)能定理、能量守恒和塑性力學(xué)相關(guān)理論，建立了波紋夾層板在爆炸沖擊載荷作用下塑性變形計(jì)算方法，并開展相關(guān)仿真分析予以驗(yàn)證。主要結(jié)論如下：

(1) 將波紋夾層板在爆炸沖擊載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)簡化成3個(gè)階段，逐一研究每一個(gè)階段的響應(yīng)特點(diǎn)，采用剛塑性材料模型對其響應(yīng)過程簡化分析，得到了沖擊載荷作用下波紋夾層板結(jié)構(gòu)塑性變形的理論預(yù)報(bào)公式。

(2) 對夾層板結(jié)構(gòu)有限元模型開展了網(wǎng)格敏感性分析，分析發(fā)現(xiàn)隨著網(wǎng)格尺寸的增大，有限元計(jì)算結(jié)果有減小的趨勢，但總體來說網(wǎng)格尺寸對計(jì)算結(jié)果影響較小。

(3) 采用理論及仿真方法計(jì)算了沖擊載荷下兩種典型波紋夾層板的最大塑性變形，兩者計(jì)算結(jié)果具有較好的一致性，驗(yàn)證了該理論分析方法的可行性。

(4) 不同形式波紋夾層板的力學(xué)性能和結(jié)構(gòu)質(zhì)量有所差異，在實(shí)際設(shè)計(jì)應(yīng)用過程中應(yīng)具體分析，根據(jù)不同需求選擇合理的結(jié)構(gòu)形式和結(jié)構(gòu)尺寸，以便最大限度的發(fā)揮波紋夾層板的良好力學(xué)性能。