基于改進(jìn)的雙邊濾波與非下采樣剪切波變換的圖像去噪*

荊 方，劉增力

（昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南 昆明 650500）

0 引 言

數(shù)字圖像在當(dāng)今社會(huì)中已經(jīng)成為人們獲取信息和利用信息的重要途徑之一。但是，數(shù)字圖像在獲取、傳送、儲(chǔ)存等過程中，或多或少受到不同程度的噪聲干擾。為了獲得盡可能真實(shí)的圖像，滿足現(xiàn)實(shí)生活中人們對(duì)圖像的視覺質(zhì)量和像素質(zhì)量的要求，對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行去噪處理十分必要。圖像去噪也是當(dāng)前數(shù)字圖像處理研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一。

圖像去噪（包括圖像中高斯噪聲的去除以及隨機(jī)脈沖噪聲的去除）的目的在于有效抑制和消除噪聲，同時(shí)保持圖像的邊緣信息、細(xì)節(jié)信息以及良好的視覺效果，是當(dāng)前圖像處理領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)之一。數(shù)字圖像去噪的方法大體上可以分為變換域和空間域兩類。數(shù)字圖像去噪還可以稱作濾波，空間域的濾波方法有均值濾波、中值濾波、低通濾波以及維納濾波等。不過，目前還沒有一種圖像去噪方法適用于全部情形下的任何噪聲。一般情況下，針對(duì)不同情形的含噪圖像往往采用不同的去噪方法[1]。

近幾年研究的去噪方法主要集中在變換域，如今運(yùn)用小波分析對(duì)含噪圖像進(jìn)行去噪處理已經(jīng)成為一個(gè)熱門研究[2]。利用小波變換[3-4]對(duì)含噪圖像進(jìn)行處理，可以有效濾除噪聲、保留圖像的邊緣信息以及細(xì)節(jié)信息，實(shí)現(xiàn)原圖像的恢復(fù)。研究發(fā)現(xiàn)，一種“最優(yōu)”的圖像表示方法應(yīng)該具有多分辨率性、局域性和方向性等特性[5-6]，但是小波變換是各向同性的，只能較好地恢復(fù)含有水平方向、垂直方向和對(duì)角線方向的噪聲圖像，而對(duì)于其他方向的圖像邊緣去噪效果往往不理想。

針對(duì)圖像去噪中出現(xiàn)的各個(gè)問題，近年出現(xiàn)了一種新的多尺度幾何分析[7]工具——剪切波變換（Shearlet Transform）[8]。傳統(tǒng)的變換域圖像去噪方法通常是基于某種多尺度變換，如超小波變換[9]、各類金字塔變換[10]等。Shearlet變換是近幾年提出和逐漸成熟的超小波變換的一種，克服了傳統(tǒng)小波變換缺乏方向表達(dá)能力的缺點(diǎn)，同時(shí)能采用相同的方式處理離散和連續(xù)數(shù)據(jù)。

剪切波變換由于具備良好的各向異性、多分辨率、多尺度、多方向特性以及較好的局部特性等，使其可以很好地檢測(cè)和定位所有的零維奇異性（即點(diǎn)狀奇異性），且可以稀疏地表示一維奇異性（即線狀奇異性），自適應(yīng)地追蹤奇異曲線的方向，獲取圖像的最稀疏表示。

然而，Shearlet離散化過程中也采用了下采樣操作，不具備平移不變性，在用于圖像去噪時(shí)容易產(chǎn)生偽吉布斯效應(yīng)，影響去噪效果。非下采樣剪切波變換在剪切波離散化過程中去除了下采樣過程，具有平移不變性，更適合于圖像去噪過程。

含噪圖像經(jīng)過非下采樣剪切波變換后，雖然噪聲大部分都集中在高頻子帶，但是低頻子帶也含有一定的噪聲。針對(duì)低頻部分的噪聲，提出了一種基于改進(jìn)雙邊濾波與非下采樣剪切波變換的圖像去噪算法。

1 剪切波變換理論

剪切波變換（Shearlet Transform）是通過對(duì)一個(gè)基函數(shù)進(jìn)行縮放、平移和剪切等仿射變換來構(gòu)造具有不同特性的函數(shù)[8,11]，可以很好地表示二維甚至高維空間上曲線的特性，極大地彌補(bǔ)了小波變換的不足。剪切波變換最重要的特性之一是為卡通類函數(shù)提供了最優(yōu)的稀疏近似。在成像科學(xué)中，卡通類函數(shù)一直被視為各向異性特征的模型。

剪切波變換本質(zhì)上是復(fù)合伸縮小波變換[12]的一種特例，伸縮操作DM定義為：

其中，det表示矩陣的行列式，L表示可積空間，ψ∈L2(Rd)，GLd(R)表示實(shí)數(shù)域R上的d維可逆矩陣群。

平移操作Tt的定義為：

式（1）中，每個(gè)矩陣M可以分解為一個(gè)拋物線尺度矩陣（作為改變分辨率的矩陣）和剪切矩陣（作為改變方向的矩陣）的乘積，其中a＞0，s∈R，此時(shí)合成小波被稱為剪切波。

1.1 連續(xù)剪切波變換

連續(xù)剪切波系統(tǒng)可以表示為：

其中，a為尺度參數(shù)，s為剪切參數(shù)，t為平移參數(shù)。

可以得到傅里葉變換：

每一個(gè)剪切波ψa,s,t在頻域的支撐包含于：

則

2()L∈的連續(xù)剪切波變換可以表示為：

ψ要滿足容許條件才能使連續(xù)剪切波變換等距，且存在逆變換。

如果ψ∈L2(R2)滿足：

則稱ψ為容許shearlet。

有了容許條件，可以推導(dǎo)出重建公式的充分條件，重構(gòu)公式表示如下：

剪切波的頻域劃分情況如圖1所示。從圖1能夠看出，在不同大小的尺度下，剪切波ψa,s,t在頻域內(nèi)的支撐區(qū)間是一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的梯形區(qū)域，方向沿著斜率為l2-j直線，梯形對(duì)的大小約為22j×2j。

由此可知，剪切波ψa,s,t是一個(gè)具備優(yōu)良局部性的函數(shù)集合，且隨著尺度參數(shù)a的慢慢減小，含噪圖像的剪切波變換的漸進(jìn)衰減性不僅可以追蹤圖像中的邊緣位置，而且能夠追蹤到邊緣的方向。

1.2 離散剪切波變換

將連續(xù)剪切波變換中的尺度參數(shù)a、平移參數(shù)t以及剪切參數(shù)s在適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格上進(jìn)行采樣，可以得到一個(gè)對(duì)應(yīng)于Parseval緊框架的離散剪切波變換。由此，對(duì)剪切波系統(tǒng)中的各向異性矩陣Aa基于二進(jìn)制進(jìn)行采樣，對(duì)剪切矩陣Sa基于整數(shù)進(jìn)行采樣，即：

用離散網(wǎng)格Z2上的點(diǎn)k∈Z2來取代連續(xù)平移變量2

t∈?，然后根據(jù)連續(xù)剪切波的定義可以推出離散剪切波系統(tǒng)，即：

1.3 非下采樣剪切波變換

非下采樣剪切波變換[12]包括非下采樣多尺度分解和方向局部化兩部分[9]，其多尺度分解過程采用非下采樣金字塔（Non-subsampled Pyramid，NSP）濾波器組來實(shí)現(xiàn)，保證非下采樣剪切波變換的多尺度特性。首先，含噪圖像經(jīng)過K級(jí)NSP分解，可以得到一個(gè)低頻分量和K個(gè)高頻子帶分量，大小與原圖像相同。然后，對(duì)各尺度子帶圖像使用剪切波濾波器組進(jìn)行方向分解。上述過程中沒有進(jìn)行下采樣操作，具有平移不變性。

2 改進(jìn)的雙邊濾波算法

2.1 雙邊濾波算法

雙邊濾波[13]是由著名學(xué)者Tomasi和Manduchi提出的一種非線性濾波算法，是結(jié)合圖像的空間鄰近度和像素值相似度的一種折中處理，同時(shí)考慮空域信息和灰度相似性，達(dá)到保邊去噪的目的，具有簡(jiǎn)單、非迭代、局部的特點(diǎn)，定義為：

其中，p為像素位置，||p-q||為兩個(gè)像素點(diǎn)間的歐幾里得距離，Ip-Iq為兩像素的灰度差，S(·)是表示幾何鄰近關(guān)系的空間濾波函數(shù)，G(·)是表示灰度相似關(guān)系的灰度濾波函數(shù)，Kp是其歸一化系數(shù)。根據(jù)物理原理可知，S(·)需滿足距離中心像素越近其值越大，距離中心像素越遠(yuǎn)其值越?。籊(·)需滿足窗口內(nèi)像素與中心像素差值越小值越大，差值越大值越小。通常，選取高斯函數(shù)作為空間濾波函數(shù)和灰度濾波函數(shù)。

2.2 改進(jìn)的雙邊濾波算法

雙邊濾波的連續(xù)函數(shù)定義為：

令 G(s)=cos(γs)，圖像灰度級(jí)的范圍為 [0，T]，滿足| f (x)-f (y)|≤T，即-T≤s≤T。

由此可知，隨著N的增大，余弦函數(shù)越來越接近高斯函數(shù)，如圖2所示。

圖2 隨著N增大，余弦函數(shù)的曲線變化

圖2 為隨著N的增加提升余弦函數(shù)G(s)=[cos(γs)]N的曲線趨勢(shì)。從外曲線到內(nèi)曲線依次是N從1到5的變化，橫坐標(biāo)為灰度圖像的動(dòng)態(tài)范圍。由此可以看出，隨著N的增加，提升余弦函數(shù)收斂于高斯函數(shù)（逐漸歸一化），且滿足作為雙邊濾波核函數(shù)的兩個(gè)必要條件[16]——非負(fù)性和單調(diào)性（衰減）。使用提升余弦函數(shù)作為灰度濾波函數(shù)進(jìn)行雙邊濾波處理，可以獲得比較理想的結(jié)果。

2.3 算法流程

（1）對(duì)于含噪圖像，選擇一個(gè)合適的基函數(shù)以及需要分解的層數(shù)，對(duì)含噪圖像進(jìn)行非下采樣剪切波變換分解，得到K個(gè)高頻分量和1個(gè)低頻分量。

（2）針對(duì)每層分解后所得到的剪切波高頻系數(shù)，選擇一個(gè)合適的閾值函數(shù)對(duì)其進(jìn)行處理，得到每一層處理過后的系數(shù)。

（3）采用改進(jìn)的雙邊濾波處理分解后的低頻子帶。

（4）對(duì)每層處理后的高頻系數(shù)和相應(yīng)層的低頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)處理，得到去噪后相對(duì)干凈的圖像信號(hào)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

對(duì)大小512×512為自然圖像barbara進(jìn)行仿真測(cè)試，加入均值為0、σ=30的高斯白噪聲。用剪切波和小波分別對(duì)其進(jìn)行5級(jí)分解，兩種變換都采用相同的濾波參數(shù)和閾值函數(shù)，將改進(jìn)的雙邊濾波與小波變換閾值去噪算法、改進(jìn)的雙邊濾波與非下采樣剪切波變換閾值去噪算法、雙邊濾波與小波變換閾值去噪算法、雙邊濾波與非下采樣剪切波變換閾值去噪算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3、表1所示。

圖3 不同算法去噪結(jié)果

表1 不同算法去噪結(jié)果對(duì)比

如表1所示，將四種算法的去噪結(jié)果進(jìn)行比較，從峰值信噪比（PSNR）和均方誤差（MSE）兩個(gè)方面來客觀評(píng)價(jià)去噪效果。可見，改進(jìn)的雙邊濾波與非下采樣剪切波變換去噪算法的PSNR和MSE明顯高于其他三種算法。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一個(gè)改進(jìn)的雙邊濾波與非下采樣剪切波變換的圖像去噪算法，利用非下采樣剪切波變換的多尺度特性和方向特性，對(duì)含噪圖像進(jìn)行分解，結(jié)合硬閾值去噪算法對(duì)分解后的高頻子帶進(jìn)行處理，然后利用改進(jìn)的雙邊濾波算法處理低頻子帶。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法具有明顯的優(yōu)越性，能夠較好地保護(hù)圖像的紋理信息和細(xì)節(jié)信息。