KM教學(xué)法在離散數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

田 毅，賈永旺

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

0 引 言

離散數(shù)學(xué)是大學(xué)計(jì)算機(jī)相關(guān)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要課程，主要研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互間的關(guān)系,包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)、組合數(shù)學(xué)、圖論、初等數(shù)論、離散建模學(xué)等內(nèi)容，所涉及的概念、定理、法則和方法在軟件工程、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、數(shù)據(jù)庫(kù)原理、人工智能等諸多課程中都有應(yīng)用，為學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的后續(xù)課程奠定理論基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算機(jī)思維、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力起著重要作用。從某種程度上說(shuō)，學(xué)好離散數(shù)學(xué)就等于開(kāi)啟計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域的大門(mén)。

1 離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)現(xiàn)狀

目前多數(shù)高校采用傳統(tǒng)的多媒體或板書(shū)授課方式講解離散數(shù)學(xué)課程，課堂上教師重點(diǎn)考慮的是自己的“講述”，往往忽略學(xué)生對(duì)知識(shí)的感知、消化和吸收這個(gè)過(guò)程。在這種教學(xué)模式下，許多學(xué)生覺(jué)得離散數(shù)學(xué)就是一門(mén)平常數(shù)學(xué)課，定義多、定理多、概念抽象、理論性強(qiáng)、枯燥乏味，課上聽(tīng)不懂，課下不會(huì)做題，到最后也就不聽(tīng)不做了；有的學(xué)生覺(jué)得課程實(shí)用價(jià)值較小，在日常生活或其他課程的學(xué)習(xí)中很少用到，因而學(xué)習(xí)積極性也不高，久而久之產(chǎn)生厭學(xué)情緒，導(dǎo)致這門(mén)課程的教學(xué)效果往往不理想。

以?xún)?nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院的信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)為例，該課程安排在大學(xué)一年級(jí)第一學(xué)期，共56學(xué)時(shí)，選用的教材是高等教育出版社屈婉玲、耿素云和張立昂出版的《離散數(shù)學(xué)》第1版[1]以及配套參考書(shū)《離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解析》。要在56學(xué)時(shí)內(nèi)講完書(shū)中19章的內(nèi)容是不現(xiàn)實(shí)的，根據(jù)本專(zhuān)業(yè)其他課程開(kāi)設(shè)時(shí)間和內(nèi)容以及專(zhuān)業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)，第11章（格與布爾代數(shù)）、第18章（支配集、覆蓋集、獨(dú)立集、匹配與著色）省略不講，第10章（群與環(huán)）、第19章（初等數(shù)論）在高等代數(shù)課程中會(huì)詳細(xì)介紹，第12章（基本的組合計(jì)數(shù)公式）屬于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的內(nèi)容。根據(jù)以上情況，教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)分配為第1部分?jǐn)?shù)理邏輯，24學(xué)時(shí)；第2部分集合論，20學(xué)時(shí)；第3部分代數(shù)系統(tǒng)，4學(xué)時(shí)；第4部分圖論，8學(xué)時(shí)。

鑒于授課過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的以上問(wèn)題，我們應(yīng)采取有效措施進(jìn)行改進(jìn)，盡量調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，提高教學(xué)效率。KM 教學(xué)法目前已應(yīng)用到C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、高等數(shù)學(xué)等課程[2-4]的教學(xué)中，實(shí)踐表明 KM 法可以顯著地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)效率，這對(duì)于其他課程的教學(xué)改革具有很好的示范作用。

2 KM教學(xué)法的應(yīng)用

KM 教學(xué)法首先是由北京科技大學(xué)的楊炳儒教授提出的，K代表的是Knowledge Logic Structure （知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)），知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)主要用“知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)圖（KLSG）”表示，它給出課程知識(shí)系統(tǒng)的總體架構(gòu)，從宏觀層面展示知識(shí)體系，使學(xué)生從總體上“著眼”教學(xué)內(nèi)容，從而對(duì)知識(shí)脈絡(luò)有比較清晰的認(rèn)識(shí)。M是Mind Mapping（思維導(dǎo)圖），思維導(dǎo)圖的作用是從微觀層面體現(xiàn)課程的知識(shí)。KM教學(xué)法的主要思想是首先建立知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)框架，然后逐步融入思維導(dǎo)圖，最后形成一個(gè)集成綜合的、逐步遞階的知識(shí)邏輯體系。

KM教學(xué)法可歸結(jié)為“抽點(diǎn)—連線—成網(wǎng)—擴(kuò)展—嵌入”5個(gè)過(guò)程。以離散數(shù)學(xué)第1部分?jǐn)?shù)理邏輯（命題邏輯基本概念、命題邏輯等值演算、命題邏輯的推理理論、一階邏輯基本概念、一階邏輯等值演算與推理）為例，闡述KM教學(xué)法在離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的實(shí)施過(guò)程，數(shù)理邏輯內(nèi)容的知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

由圖1可知，數(shù)理邏輯可分為命題邏輯和一階邏輯兩部分內(nèi)容，命題邏輯的內(nèi)容分為基本概念、等值演算和推理理論3方面，而一階邏輯的內(nèi)容也對(duì)應(yīng)地分為基本概念、等值演算和推理理論3方面， KLSG讓數(shù)理邏輯的研究?jī)?nèi)容一目了然。

1）抽點(diǎn)。

抽點(diǎn)就是將教學(xué)內(nèi)容按章節(jié)從特殊到一般的方式進(jìn)行解析，通過(guò)分析，把每部分的定義、定理、法則、理論等抽象出來(lái)，舍去不重要的細(xì)節(jié)部分。離散數(shù)學(xué)中數(shù)理邏輯部分的抽點(diǎn)如下。

第1章：命題的定義、命題的符號(hào)化、否定聯(lián)結(jié)詞、析取聯(lián)結(jié)詞、合取聯(lián)結(jié)詞、蘊(yùn)含聯(lián)結(jié)詞、等價(jià)聯(lián)結(jié)詞、命題公式、真值表法、重言式、矛盾式、可滿(mǎn)式。

第2章：等值式的定義、等值式模式、等值演算、合取范式、析取范式、極大項(xiàng)、極小項(xiàng)、主合取范式、主析取范式。

第3章：推理的定義、證明推理正確的定理、自然推理系統(tǒng)P、推理的3種證明方法（一般證明方法、附加前提證明法和歸謬法）。

第4章：命題的一階邏輯符號(hào)化、個(gè)體詞、謂詞、量詞。

第5章：一階邏輯等值式的定義、一階邏輯中的基本等值式、前束范式、一階邏輯推理的形式結(jié)構(gòu)、推理定律、一階邏輯推理系統(tǒng) 。

2）連線。

連線即分析第1步抽點(diǎn)得到的定義、定理、法則和理論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將其有機(jī)地串聯(lián)形成“知識(shí)鏈”，原則是從“局部到整體”，從某個(gè)概念或例子開(kāi)始，按照認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，由表及里，由外向內(nèi)，把抽點(diǎn)及抽點(diǎn)相關(guān)的內(nèi)容有機(jī)聯(lián)接起來(lái)，從而形成一個(gè)整體的、具有邏輯關(guān)系的知識(shí)鏈。

以命題邏輯的基本概念為例，其知識(shí)鏈為：首先通過(guò)實(shí)例引入“命題的定義”；其次談命題的分類(lèi)，命題可分為簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題，簡(jiǎn)單命題可以由小寫(xiě)英文字母表示，而復(fù)合命題符號(hào)化的時(shí)候，可分解為簡(jiǎn)單命題和聯(lián)結(jié)詞兩部分，聯(lián)結(jié)詞的符號(hào)化又可以引入5種聯(lián)結(jié)詞的定義及符號(hào)化，這樣，任意一個(gè)命題都可以符號(hào)化為命題公式；最后，由賦值的定義引入命題公式真值表的概念，由真值表最后一列的情況引出重言式、矛盾式、可滿(mǎn)式的概念。這樣就把第1步抽點(diǎn)得到的各“點(diǎn)”有機(jī)串接在一起，從而形成一個(gè)知識(shí)鏈即思維導(dǎo)圖，如圖2所示。

3）成網(wǎng)。

成網(wǎng)即分析并且將第2步連線中的各知識(shí)點(diǎn)橫向、縱向地聯(lián)系起來(lái)，從而形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)，數(shù)理邏輯部分1、2、3章形成的知識(shí)網(wǎng)如圖3所示。

4）擴(kuò)展。

擴(kuò)展即以第2步、第3步得到的知識(shí)鏈和知識(shí)網(wǎng)為基礎(chǔ)，本著由淺入深、由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般的知識(shí)的學(xué)習(xí)規(guī)律，教師沿著脈絡(luò)詳細(xì)地講授各部分的難點(diǎn)和重點(diǎn)，并且依據(jù)實(shí)際需要補(bǔ)充一些相關(guān)內(nèi)容，如在第1章，教師講完5種聯(lián)結(jié)詞的定義及符號(hào)化后，還可以擴(kuò)展到“或非聯(lián)結(jié)詞”和“與非聯(lián)結(jié)詞”的內(nèi)容；講完第2章命題的等值演算后，還可以再講“可滿(mǎn)足行問(wèn)題與消解法”。擴(kuò)展步驟一方面可以開(kāi)闊學(xué)生的眼界，另一方面可以讓教學(xué)保持上升態(tài)勢(shì)。

5）嵌入。

圖3 數(shù)理邏輯部分1、2、3章形成的知識(shí)網(wǎng)

無(wú)論是知識(shí)鏈還是知識(shí)網(wǎng)，都是思維導(dǎo)圖。在講授數(shù)理邏輯內(nèi)容時(shí)，教師可以適時(shí)地將這些思維導(dǎo)圖導(dǎo)入圖1的知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)圖中，以便學(xué)生形成知識(shí)學(xué)習(xí)的“薄—厚—薄”3個(gè)過(guò)程。知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)圖僅是內(nèi)容架構(gòu)，是簡(jiǎn)單的；把思維導(dǎo)圖逐步導(dǎo)入KLSG圖中后，內(nèi)容就變厚了；經(jīng)過(guò)比較、總結(jié)和歸納，知識(shí)會(huì)再次變薄，再和最初的KLSG進(jìn)行比對(duì)、融合。經(jīng)過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體、局部及脈絡(luò)都會(huì)有較深刻的認(rèn)識(shí)。

3 結(jié) 語(yǔ)

以?xún)?nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院的信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)為例，信計(jì)17—1、2班采用KM教學(xué)法講授離散數(shù)學(xué)這門(mén)課程，學(xué)生普遍反映對(duì)課程知識(shí)的輪廓、脈絡(luò)掌握得比較清晰，在期末考試前，依照各章節(jié)的“知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)圖”和“思維導(dǎo)圖”很輕松地進(jìn)行復(fù)習(xí)，考試取得了良好成績(jī)，及格率在90%以上；而信計(jì)17—3、4班采用普通教學(xué)法講授這門(mén)課程，教學(xué)效果明顯不如信計(jì)17—1、2班，由此也可以看出KM教學(xué)法可有效地提高教學(xué)效率。