從定積分的角度看粗糙集

劉士虎

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650504)

粗糙集(rough sets)理論[1]是波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak于1982年提出的一種數(shù)據(jù)分析理論，它是一種全新的處理模糊和不確定知識(shí)的數(shù)學(xué)工具.其主要思想就是在保持分類能力不變的前提條件下，通過對(duì)知識(shí)的約簡(jiǎn)，導(dǎo)出問題的決策或分類規(guī)則[2].在學(xué)習(xí)粗糙集理論的過程中，判斷一個(gè)集合是精確集還是粗糙集，其關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)所構(gòu)造的上、下近似集的判定：如果上近似集等于下近似集，則此集合為精確集，否則就稱之為粗糙集.

在對(duì)一個(gè)函數(shù)是否可積的研究過程中，法國數(shù)學(xué)家Darboux[3-5]在給出“Darboux大和、Darboux小和”的基礎(chǔ)上，建立了Darboux積分的概念，并實(shí)現(xiàn)了和黎曼積分[6]的完美對(duì)接：達(dá)布積分等價(jià)于黎曼積分，即一個(gè)函數(shù)達(dá)布可積當(dāng)且僅當(dāng)它是黎曼可積.

粗糙集理論中，有上近似集和下近似集這組緊密相關(guān)的概念，而且集合是否是粗糙集完全取決于所構(gòu)建的上、下近似集是否相等.在定積分理論中，黎曼可積的充分必要條件就是在極限思想下，Darboux大和等于Darboux小和.這一點(diǎn)很有意思！基于此，本文從積分的角度，對(duì)照粗糙集的定義和基本性質(zhì)，給出一種全新的描述.

1 預(yù)備知識(shí)

為了在后文敘述方便，下面先給出一些用到的基本概念及其數(shù)學(xué)表達(dá)式(詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[2,6]).

定義1 給定知識(shí)庫K=(U,R)，對(duì)于每個(gè)子集X?U和一個(gè)等價(jià)關(guān)系R∈ind(K)，定義2個(gè)子集：

(1)

分別稱他們?yōu)閄的R下近似集和R上近似集，其中R為U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

定理1 對(duì)于給定的知識(shí)庫K=(U,R)，子集X?U和一個(gè)等價(jià)關(guān)系R∈ind(K)，下面結(jié)論成立：

從近似的定義，可以直接得到R下近似集和R上近似集的下列性質(zhì)：

定理2 對(duì)于給定的知識(shí)庫K=(U,R)，子集X?U和一個(gè)等價(jià)關(guān)系R∈ind(K)，成立：

定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b] 上的上確界和下確界分別為M和m，在子區(qū)間[xi-1,xi]上的上確界和下確界分別為Mi和mi.則稱和式

為相應(yīng)于分法P的Darboux大和，和式

為相應(yīng)于分法P的Darboux小和.

2 從積分的角度看粗糙集

在本部分，對(duì)粗糙集的定義及其性質(zhì)，從積分的角度給出一定的探究.具體的工作包含如下幾個(gè)層面的分析探討.

2.1 等價(jià)關(guān)系R∈ind(K)與Darboux和中的分法P

熟知，一個(gè)集合為空集或者它的元素都是有序?qū)Γ瑒t稱這個(gè)集合是一個(gè)二元關(guān)系[7].若此集合滿足如下3個(gè)性質(zhì)：

自反性 對(duì)于任意的x∈X，恒有(x,x)∈R;

對(duì)稱性 若(x,y)∈R，則(y,x)∈R;

傳遞性 若(x,y)∈R且(y,z)∈R，則(x,z)∈R;

則稱關(guān)系R為等價(jià)關(guān)系.

粗糙集理論中，尋求問題的決策或分類規(guī)則，其前提條件是要保持分類能力不變.簡(jiǎn)言之，此處的分類能力，指的就是給定的某個(gè)等價(jià)關(guān)系R或若干等價(jià)關(guān)系R1∪R2∪R3；保持不變，指的是對(duì)研究對(duì)象X(?U)而言，不管是R還是R1∪R2∪R3，其分類結(jié)果是一樣的.

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Darboux和中提及的分法P，指的是對(duì)于定義在區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù)f(x)，任意給定若干個(gè)點(diǎn)xi∈[a,b]，把該區(qū)間分割成若干個(gè)子區(qū)間[xi-1,xi]. 不同的分法，所得到的子區(qū)間不盡相同.

等價(jià)關(guān)系R所處理的對(duì)象是待研究的問題X，處理結(jié)果是X的一系列子集，構(gòu)成了一個(gè)劃分.類似的，Darboux和中某個(gè)分法P對(duì)問題的處理結(jié)果，是待研究問題(即區(qū)間[a,b])的一系列子區(qū)間.顯然，這是兩者之間的一個(gè)共同之處.除此之外，對(duì)于等價(jià)關(guān)系R下得到的一系列子集，可以反饋于X，從中導(dǎo)出問題的決策或分類規(guī)則.對(duì)于分法P得到的一系列子區(qū)間[xi-1,xi]，可以進(jìn)一步被用來計(jì)算所謂的Darboux大和與Darboux小和.

由上不難發(fā)現(xiàn)，Darboux和與等價(jià)關(guān)系R對(duì)于問題的分析，起到了異曲同工的作用.這一點(diǎn)，也是本文中要闡述的從積分角度看粗糙集的第一個(gè)亮點(diǎn).

2.2 上下近似集合與Darboux和

對(duì)于事先給定的等價(jià)關(guān)系R，其對(duì)X?U做的劃分如圖1(a)所示.對(duì)于區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù)f(x)，其在某個(gè)給定分法P下的示意圖可以用圖1(b)表示.

圖1 關(guān)系R對(duì)X?U的劃分示意圖及分法P對(duì)區(qū)間[a, b]的劃分示意圖

根據(jù)(1)的表達(dá)形式，圖1(a)中給定的等價(jià)關(guān)系R對(duì)X?U產(chǎn)生的上下近似集可以表示為圖2所示.同理，由定義2可知，有界函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的Darboux大和與Darboux小和可以表示為圖3所示.從圖2、圖3不難發(fā)現(xiàn)以下特點(diǎn)：

圖2 關(guān)系R對(duì)U的劃分關(guān)于集合X產(chǎn)生的上近似集集和下近似集

圖3 有界函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上的Darboux大和與Darboux小和

2.3 X為R精確集與有界函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上可積

由定理1可知，集合X是精確的當(dāng)且僅當(dāng)其在給定的某個(gè)等價(jià)關(guān)系R誘導(dǎo)下產(chǎn)生的上近似集和下近似集完全相等，即圖4(a)中的陰影部分不存在.對(duì)于Darboux和而言，有界函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，當(dāng)且僅當(dāng)在極限意義下圖4(b)中陰影部分面積為0，即有界函數(shù)f(x)是Riemann可積的.

圖4 集合X上下近似集的誤差與Darboux和的差值對(duì)比

綜上所述，在Darboux和取極限的基礎(chǔ)上，從積分的角度而言，集合X關(guān)于等價(jià)關(guān)系R是精確集等同于有界函數(shù)f(x)是Riemann可積的.換言之，集合X關(guān)于等價(jià)關(guān)系R是粗糙集等同于有界函數(shù)f(x)是Riemann不可積的.

2.4 粗糙集性質(zhì)的積分解釋

在本部分，就定理2中的性質(zhì)1*)～5*)，從積分的角度，對(duì)其展開一定的分析探究.對(duì)于性質(zhì)6*)，本論文不對(duì)其做積分意義下的解釋，性質(zhì)7*)是顯然的.

1)性質(zhì)1*)的積分解釋

對(duì)于給定的某個(gè)等價(jià)關(guān)系R，由其誘導(dǎo)產(chǎn)生的下近似集永遠(yuǎn)是原有集合X的子集，而由其誘導(dǎo)產(chǎn)生的上近似集永遠(yuǎn)以集合X作為其子集.這一點(diǎn)，和定理3中所描述的情況是一致的：對(duì)于任意給定的分法P，由其構(gòu)成的Darboux小和永遠(yuǎn)小于函數(shù)f(x)的實(shí)際積分值，而數(shù)Darboux小和永遠(yuǎn)大于函數(shù)f(x)的實(shí)際積分值.

其實(shí)，1*)中三者之間的包含關(guān)系，和事先給定的等價(jià)關(guān)系R無關(guān).換言之，對(duì)于任意的等價(jià)關(guān)系R而言，下近似集永遠(yuǎn)最“小”，上近似集永遠(yuǎn)最“大”.由本文第2.1部分的分析討論可知，此性質(zhì)可以看做是定理3的另外一種表達(dá)形式.

2)性質(zhì)2*)的積分解釋

此條性質(zhì)，可以看成是性質(zhì)(1*)的特殊情形，即取集合X為空集和全集U.此時(shí)，表達(dá)式?Φ?中的第一個(gè)符號(hào)“?”取成“=”是顯而易見的，因?yàn)榭占淖蛹荒苁潜旧?對(duì)于表達(dá)式中的第二個(gè)符號(hào)“?”，由上近似的表達(dá)形式通過反證法可以任意得到其為“=”成立.從積分的角度來看，若取有界函數(shù)f(x)為零函數(shù)，即f(x)≡0，此時(shí)對(duì)于任意的分法P，恒有成立.對(duì)于2*)中表達(dá)式的積分描述，只需取有界函數(shù)f(x)為非零常值函數(shù)即可，即f(x)=C，其中C≠0.

3)性質(zhì) 3*)的積分解釋

圖5 有界函數(shù)f(x)、g(x)示意圖

性質(zhì)描述的是上近似關(guān)于“∪”運(yùn)算、下近似關(guān)于“∩”運(yùn)算保分配.下面我們從積分的角度對(duì)其給出描述.

給定有界函數(shù)f(x)、g(x)，且不妨假定在區(qū)間[a,b]上存在一點(diǎn)c∈[a,b]使得：當(dāng)x∈[a,c]時(shí)f(x)≥g(x)，反之f(x)≤g(x)，具體見下圖5所示.

4)性質(zhì)4*)的積分解釋

該性質(zhì)指的是對(duì)于任意的等價(jià)關(guān)系R，由其誘導(dǎo)產(chǎn)生的上近似集和下近似集保單調(diào)性.在積分意義下，此性質(zhì)可以表述為.

圖6 f(x)、g(x)及其Darboux和(5)性質(zhì)(5*)的積分解釋

對(duì)于該性質(zhì)的積分意義，結(jié)合上述對(duì)性質(zhì)3*)和4*)的分析，顯然易得，在此不再贅述.

2.5 不同等價(jià)關(guān)系下粗糙集的積分解釋

由定理4可知，若對(duì)原有的分法P加入新的分點(diǎn)，則Darboux大和不增，小和不減.對(duì)于集合X是精確的還是粗糙的，完全取決于對(duì)其產(chǎn)生劃分的等價(jià)關(guān)系R.換言之，在某個(gè)等價(jià)關(guān)系R1下，其是精確的，而在另外一個(gè)等價(jià)關(guān)系R2下，其完全有可能是粗糙的.下面，我們嘗試對(duì)于R1?R2的情形，從積分的角度對(duì)其上下近似給出類似于定理4的解釋.

給定等價(jià)關(guān)系R1和R2且滿足條件R1=R2∪{r}，其中r為一等價(jià)關(guān)系.熟知，對(duì)于給定的集合X而言，其依賴的關(guān)系越“大”，則產(chǎn)生的劃分越“小”，即：對(duì)于任意的x∈U，恒有[x]R1?[x]R2成立，見圖7所示.

圖7 等價(jià)關(guān)系R1和R2誘導(dǎo)下集合X的劃分

圖8 等價(jià)關(guān)系R1和R2誘導(dǎo)下集合X的產(chǎn)生的下近似

關(guān)于上近似的情況，可類似得到！簡(jiǎn)言之，對(duì)于一個(gè)給定的集合X，在原有的等價(jià)關(guān)系中添加一個(gè)或若干個(gè)關(guān)系構(gòu)成新的等價(jià)關(guān)系，則有以下結(jié)論：上近似集不變大，下近似集不變小.