“概率與統(tǒng)計(jì)”在高考數(shù)學(xué)的定位與考查探究

張靜

摘要：隨著社會的發(fā)展、“概率與統(tǒng)計(jì)”能力的培養(yǎng)越來越受到教育者的重視。本文研究了2019年高考數(shù)學(xué)對“概率與統(tǒng)計(jì)”的整體考查情況，發(fā)現(xiàn)相比前幾年對“概率與統(tǒng)計(jì)”的考察內(nèi)容差異較大，具體表現(xiàn)為：考查內(nèi)容綜合強(qiáng)度差異大、考查頻次差異大、考查內(nèi)容側(cè)重在綜合計(jì)算方面等。研究啟示教師在日常教學(xué)、評價(jià)中重視“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容的教學(xué)，加強(qiáng)對“統(tǒng)計(jì)”知識的考查，重視現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)。????關(guān)鍵詞：2019年高考 數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì) 情境與問題 統(tǒng)計(jì)與概率命題

2017年版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)作為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，同時(shí)在文理分科的前提下，“概率與統(tǒng)計(jì)”部分內(nèi)容的重量稍有增加。而在近兩年的考查中，得分率情況越來越低。因此，對“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)和評價(jià)的研究需要更多研究者的關(guān)注與參與。本文以2019年高考一卷數(shù)學(xué)的第21題為例，研究高考中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的整體情況、典型試題以及對教學(xué)的啟示。

一、典型試題分析2019年高考理科數(shù)學(xué)全國I卷把概率?統(tǒng)計(jì)問題作為壓軸題，這體現(xiàn)了評價(jià)考試對“概率與統(tǒng)計(jì)”的重視正在加強(qiáng)。題目如下：

為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪實(shí)驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止實(shí)驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪實(shí)驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪實(shí)驗(yàn)中甲藥的得分記為.

（1）求的分布列;

（2）若甲藥、乙藥在實(shí)驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，.假設(shè)，.

（i）證明：為等比數(shù)列;

（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種實(shí)驗(yàn)方案的合理性.

首先這個(gè)實(shí)驗(yàn)的思路跟乒乓球、羽毛球的記分思路相似：以乒乓球?yàn)槔?，如果甲、乙二人一局乒乓球甲至少領(lǐng)先乙2分才能獲勝，也就是說甲11：10、12：11、13：12……領(lǐng)先不行，得11：9、12：10、13：11、14：12……領(lǐng)先才算獲勝。這道題題干相當(dāng)于把甲至少領(lǐng)先乙2分換成了甲至少領(lǐng)先乙4分。將整個(gè)看似比較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們常見的情境模型求解。????第一問信息比較清晰，下面分析第二問：????相比于乒乓球比賽，第二問又做了改動，具體情況如下：1.乒乓球比賽是從0：0開始記分，甲贏一個(gè)球則甲得1分，乙不扣分，乙贏一個(gè)球則乙得1分，甲不扣分;現(xiàn)在變成了從4：4開始記分，甲贏一個(gè)球則甲得1分，乙扣1分，乙贏一個(gè)球則乙得1分，甲扣1分;2.乒乓球比賽是甲至少領(lǐng)先乙2分時(shí)甲獲勝，乙至少領(lǐng)先甲2分時(shí)乙獲勝;現(xiàn)在變成了甲8：0領(lǐng)先乙時(shí)甲獲勝，乙8：0領(lǐng)先甲時(shí)乙獲勝。????當(dāng)然這里還有一個(gè)問題，就是本題涉及的情況存在一個(gè)球打完了，雙方都不得分的情況（甲、乙藥分別治愈了一只小白鼠，或甲、乙藥分別沒有治愈一只小白鼠）;根據(jù)題目的規(guī)定，打一個(gè)球時(shí)，甲贏這個(gè)球的概率為c，乙贏這個(gè)球的概率為a，這個(gè)球雙方都不得分的概率為b;由于這個(gè)球雙方都不得分的情況無論發(fā)生多少次都對比分沒有影響，因此可以視這種情況為無效實(shí)驗(yàn)。那么忽略所有無效實(shí)驗(yàn)，設(shè)在有效實(shí)驗(yàn)中，研究問題。第二問直接給了個(gè)P（i-1）、Pi、P（i+1）的關(guān)系式，第一小問讓我們求P（i+1）-Pi和Pi-P（i-1）的關(guān)系。根據(jù)題目規(guī)定，在甲得分為i-1、i、i+1的情況下，甲獲勝的概率分別為P（i-1）、Pi、P（i+1）;那么，如果甲的得分是i，那么甲獲勝的情況分成兩類：????1.下一個(gè)球之后甲的得分變成i+1，其概率為ρ，此后甲獲勝的概率為P（i+1）;????2.下一個(gè)球之后甲的得分變成i-1，其概率為（1-ρ），此后甲獲勝的概率為P（i-1）。????那么：????Pi=ρP（i+1）+（1-ρ）P（i-1）????Pi=cP（i+1）/（a+c）+aP（i-1）/（a+c）???（a+c）Pi=cP（i+1）+aP（i-1）???（1-b）Pi=cP（i+1）+aP（i-1）???Pi=aP（i-1）+bPi+cP（i+1）???即第二問給出的式子。???進(jìn)一步看：???Pi=ρP（i+1）+（1-ρ）P（i-1）???Pi-ρPi=ρP（i+1）-ρPi+（1-ρ）P（i-1）???（1-ρ）Pi-（1-ρ）P（i-1）=ρP（i+1）-ρPi???（1-ρ）[Pi-P（i-1）]=ρ[P（i+1）-Pi]???[P（i+1）-Pi]/[Pi-P（i-1）]=（1-ρ）/ρ???P（i+1）-Pi為等比數(shù)列，公比是（1-ρ）/ρ，就這道題而言公比是4，第二問第一小問得證。再看第二問的第二小問，這道題告訴我們，甲藥管用的概率是0.5，乙藥管用的概率是0.8，那么乙藥比甲藥管用;而雙方從4：4的比分開始比賽是公平的，而在公平的比賽中，不如乙有效的甲獲勝的概率只有1/257，因此這種賽制合理。即便規(guī)則偏向于甲，比如甲帶著5：3的比分開始比賽，甲獲勝的概率（即P5）也只有341/21845（即4的5次冪-1為分子，4的8次冪-1為分母），約0.0156;即使甲帶著7：1的比分開始比賽，甲獲勝的概率（即P7）也只有5461/21845（即4的5次冪-1為分子，4的8次冪-1為分母），約0.2500，規(guī)則優(yōu)勢也很難救甲。換一個(gè)角度想，如果上述告訴我們甲、乙藥效相同，則a=c，1-ρ=ρ=0.5，（1-ρ）/ρ=1，則[P（i+1）-Pi]/[Pi-P（i-1）]=1，P（i+1）-Pi=Pi-P（i-1），Pi為等差數(shù)列，則P1=0.125，P3=0.375，P4=0.5，P5=0.625，P7=0.875，那么規(guī)則偏向于誰誰獲勝的概率就大，偏向程度越高概率離50%越遠(yuǎn)，規(guī)則不偏不倚則雙方獲勝的概率相當(dāng)，這就是這種規(guī)則的合理性。

本題的標(biāo)準(zhǔn)答案如下：

解：（1）一輪實(shí)驗(yàn)中甲藥的得分有三種情況：、、.

得分時(shí)是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則;

得分時(shí)是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則;

得分時(shí)是都治愈或都未治愈，則.

則的分布列為：

（2）（i）因?yàn)?img alt="" height="19" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml7508＼wps37.png" width="51"/>，，

則，，.

可得，則，

則，則，

所以為等比數(shù)列.

（ii）的首項(xiàng)為，那么可得：

………………

，

以上7個(gè)式子相加，得到，

則，則，

再把后面三個(gè)式子相加，得，

則.

表示“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計(jì)得分為4”，因?yàn)?img alt="" height="19" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml7508＼wps58.png" width="51"/>，，，則實(shí)驗(yàn)結(jié)果中“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計(jì)得分為4”這種情況的概率是非常小的，而的確非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案是合理的.

二、對概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)、評價(jià)的啟示

1.重視"概率與統(tǒng)計(jì)"內(nèi)容的教學(xué)。當(dāng)今社會發(fā)展迅速，我們已經(jīng)處于大數(shù)據(jù)時(shí)代，人們已經(jīng)認(rèn)識到，獲取有價(jià)值的信息并進(jìn)行定量分析的意識和能力、基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識、依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)和規(guī)律等本領(lǐng)在這一背景下十分重要，并亟須加強(qiáng)。

?2.加強(qiáng)對“統(tǒng)計(jì)”知識的考查。分析近幾年的高考試題，不管是一卷二卷還是三卷，對統(tǒng)計(jì)類相關(guān)內(nèi)容的考察都占了一定的比重，甚至在模擬題中同樣重要。教師在平時(shí)講的時(shí)候，不要忽視對該部分內(nèi)容的重視，注重各知識點(diǎn)的融合，將統(tǒng)計(jì)類知識掌握清楚。

3.重視現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)。由經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）牽頭實(shí)施的“國際學(xué)生評估項(xiàng)目”（PISA）是這樣界定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的：“在各種各樣情境中能夠自覺產(chǎn)生和使用數(shù)學(xué)的意識，使用數(shù)學(xué)概念、程序、事實(shí)和工具來描述、解釋說理甚至預(yù)測，看到數(shù)學(xué)在社會中所起的作用，能夠積極參與社會事務(wù)、運(yùn)用數(shù)學(xué)理智地進(jìn)行判斷和決策的能力”?？梢?，PISA認(rèn)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)一定要在情境中體現(xiàn)出來。

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升離不開情境，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的展示往往也在情境中體現(xiàn)。從上邊表格中可以看出，在教學(xué)中，不能脫離問題的情境，要重視情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生在情境中理解所學(xué)的概率與統(tǒng)計(jì)知識，并能靈活運(yùn)用。同時(shí)，要注意情境的設(shè)計(jì)與問題緊密聯(lián)系，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為我們常見的情景問題來理解分析。

參考文獻(xiàn)：

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