源于非經(jīng)典邏輯的代數(shù)結(jié)構(gòu)研究綜述

張小紅

(陜西科技大學(xué) 中加數(shù)據(jù)智能與三支決策研究中心, 陜西 西安 710072)

0 引言

說(shuō)起邏輯代數(shù),自然要從布爾代數(shù)(Boolean algebra)開始.19世紀(jì)早期,英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(George Boole)突發(fā)奇想：人的思想能不能用數(shù)學(xué)表達(dá)?此前,數(shù)學(xué)只用于計(jì)算,沒(méi)有人意識(shí)到,數(shù)學(xué)還能表達(dá)人的邏輯思維.為了描述(經(jīng)典)邏輯命題之間的關(guān)系,George Boole于1847年在其著作《The Mathematical Analysis of Logic》中提出一種代數(shù)系統(tǒng),后來(lái)被稱為布爾代數(shù),從而為數(shù)字電子學(xué)的發(fā)展奠定了重要理論基礎(chǔ),也是現(xiàn)代程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言學(xué)、集合論、統(tǒng)計(jì)學(xué)等的理論基礎(chǔ).最簡(jiǎn)單的布爾代數(shù)是定義在{0,1}上的,其上的二元運(yùn)算∧、∨及一元運(yùn)算可分別理解為“取小”、“取大”及“取反”.一般地,一個(gè)布爾代數(shù)是指代數(shù)系統(tǒng)(X;∧,∨,,0,1),其中X為非空集,(X;∧,∨,0,1)是有界分配格,0、1分別是最小元(底元)、最大元(頂元),是X上的補(bǔ),即滿足:

x∧x=0,x∨x=1, ?x∈X.

(1)

在布爾代數(shù)(X;∧,∨,,0,1)上,可自然定義蘊(yùn)涵運(yùn)算“→”為

x→y=x∨y, ?x,y∈X.

(2)

上述蘊(yùn)涵運(yùn)算具有如下性質(zhì)：

x→(y→x)=1, ?x,y∈X;

(3)

(x→(y→z))→((x→y)→(x→z))=1,
?x,y,z∈X.

(4)

蘊(yùn)涵運(yùn)算與序關(guān)系之間有如下緊密聯(lián)系

x≤y?x→y=1, ?x,y∈X;

(5)

于是,性質(zhì)(4)可又寫成

x→(y→z)≤(x→y)→(x→z),
?x,y,z∈X.

(6)

在經(jīng)典數(shù)理邏輯中,將邏輯命題用符號(hào)表示，命題之間的關(guān)系用公理系統(tǒng)刻畫,從而建立起經(jīng)典命題邏輯的語(yǔ)構(gòu)系統(tǒng)(形式演算系統(tǒng)),它與用“真”、“假”表達(dá)命題真值的語(yǔ)義系統(tǒng)是對(duì)應(yīng)的,這是由可靠性定理與完備性定理確立起來(lái)的(參見文獻(xiàn)[1-3]).

與經(jīng)典邏輯只有“真”、“假”(即0、1)2個(gè)真值不同,多值邏輯、連續(xù)值邏輯、模糊邏輯、格值邏輯等非經(jīng)典邏輯的真值域得到擴(kuò)大,相應(yīng)的形式演算系統(tǒng)也逐漸復(fù)雜起來(lái),與之相配套的代數(shù)系統(tǒng)(本文統(tǒng)稱它們?yōu)榉墙?jīng)典邏輯代數(shù))也比布爾代數(shù)廣泛得多(當(dāng)然,它們通常包含布爾代數(shù)為其特例).本文將對(duì)這些非經(jīng)典邏輯代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行總結(jié),特別是從蘊(yùn)涵運(yùn)算的角度探討它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

1 (可換)剩余格與(偽)t-?；：壿?/h2>

就“模糊邏輯”這一術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō),很難給出一個(gè)確切的定義,有多種狹義和廣義的不同內(nèi)涵,本文主要指以[0,1]為真值域的非經(jīng)典數(shù)理邏輯系統(tǒng).

在數(shù)理模糊邏輯理論中,占主導(dǎo)地位的是基于t-模(三角模)的邏輯系統(tǒng).在這類邏輯演算系統(tǒng)中,使用t-模作為合取聯(lián)結(jié)詞的解釋,并由此解釋其他命題聯(lián)結(jié)詞,比如蘊(yùn)涵、析取聯(lián)結(jié)詞分別解釋為由t-模誘導(dǎo)的剩余型蘊(yùn)涵、對(duì)偶的t-余模,而否定聯(lián)結(jié)詞通常經(jīng)由蘊(yùn)涵解釋為A=A→0.這樣建立的命題演算系統(tǒng)具有許多優(yōu)良的邏輯性質(zhì),反映了人類日常思維與推理中的許多邏輯特征,這類邏輯理論在模糊控制和人工智能研究中已經(jīng)獲得廣泛的應(yīng)用(參見文獻(xiàn)[4-9]).

t-模首先出現(xiàn)在Menger于1942年發(fā)表的論文“Statistical metrics”(《統(tǒng)計(jì)度量》)中.20世紀(jì)60年代,Schweizer和Sklar重新嚴(yán)格定義了t-模和統(tǒng)計(jì)度量空間(現(xiàn)稱為概率度量空間),從而促進(jìn)了這個(gè)領(lǐng)域的飛速發(fā)展.由于t-模較好地反映了“邏輯與”的性質(zhì),因此t-模作為一般的“模糊與”算子一致受到模糊邏輯學(xué)界的青睞.

定義1[5]t-模是滿足以下條件的函數(shù)

?:[0,1]×[0,1]→[0,1],

?x,y,z∈[0,1]:

1)x?(y?z)=(x?y)?z；

2)x≤y?x?z≤y?z,x≤y?z?x≤z?y；

3)x?1=1?x=x；

4)x?y=y?x.

定義2[2,7-8]設(shè)?是[0,1]上的t-模,

R:[0,1]×[0,1]→[0,1]

是[0,1]上的二元函數(shù).如果x?y≤z當(dāng)且僅當(dāng)

x≤R(y,z), ?x,y,z∈[0,1],

則稱R是與?相伴隨的蘊(yùn)涵算子,同時(shí)稱(?,R)為伴隨對(duì),此時(shí)常記R(x,y)為x→y.

定理1[2,7-8]設(shè)?是[0,1]上的左連續(xù)t-模,在[0,1]上定義→如下:

x→y=sup{a∈[0,1]|a?x≤y},
?x,y∈[0,1]，

則→是與?相伴隨的蘊(yùn)涵算子.

基于連續(xù)t-模,Hájek[4]建立了模糊邏輯形式系統(tǒng)BL；基于R0t-模,王國(guó)俊[2-3]建立了模糊邏輯形式系統(tǒng)L*；基于左連續(xù)t-模,Esteva等[6]建立了模糊邏輯形式系統(tǒng)MTL.這些模糊邏輯系統(tǒng)的完備性定理均已得到證明,即BL、L*、MTL分別是完全描述連續(xù)t-模、R0t-模、左連續(xù)t-?；：壿嬚Z(yǔ)義的形式化系統(tǒng).在證明這些邏輯系統(tǒng)完備性時(shí),相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu),即BL-代數(shù)、R0-代數(shù)、MTL-代數(shù),起著重要的作用.而這些代數(shù)結(jié)構(gòu),均是特殊的可換剩余格.剩余格(residuated lattice)的概念最早來(lái)自對(duì)環(huán)的理想格的研究,可參見文獻(xiàn)[10-11].

定義3[2,4,10]代數(shù)系統(tǒng)(L;∧,∨,→,?,0,1)稱為是一個(gè)可換剩余格(commutative residuated lattice),如果：

(i) (L;∧,∨,0,1)是有界格,這里0、1是最小元、最大元；

(ii) (L;?,1)是帶單位元1的可換半群；

(iii) 對(duì)任意x,y,z∈L,x?y≤z?x≤y→z.

顯然,如果?是[0,1]上的一個(gè)t-模,→是由?誘導(dǎo)的剩余蘊(yùn)涵,則([0,1];∧,∨,→,?,0,1)是一個(gè)可換剩余格.

命題1[2,4,10]設(shè)(L;?,∧,∨,→,0,1)是可換剩余格,則(?x,y,z∈L)：

1) 1→x=x,x→x=1,x?0=0；

2)x≤y?x→y=1；

3)x?(x→y)≤y；

4)x≤y→(x?y)；

5)x≤y?x?z≤y?z；

6)x→(y→z)=(x?y)→z=y→(x→z)；

7)x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z)；

8) (x∨y)→z=(x→z)∧(y→z)；

9)x→y≤(z→x)→(z→y)；

10)x→y≤(z?x)→(z?y)；

11)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z).

值得注意的是,由t-模誘導(dǎo)的剩余蘊(yùn)涵,一般不再滿足布爾代數(shù)中關(guān)于蘊(yùn)涵的性質(zhì)(2)、(4)及(6)式；同時(shí),若在剩余格中定義“非”運(yùn)算：x=x→0(?x∈L),則它不再滿足布爾代數(shù)中的性質(zhì)(1)式,與之相對(duì)應(yīng),在模糊邏輯中“排中律”不再成立.

定義4[4]設(shè)(L;∧,∨,?,→,0,1)是一個(gè)可換剩余格,稱L是一個(gè)BL-代數(shù),如果滿足(?x,y∈L)：

(i)x∧y=x?(x→y)；

(ii) (x→y)∨(y→x)=1.

定義5[2]設(shè)M是(,∨,→)型代數(shù),如果M上有偏序≤使(M;≤)成為有界分配格,∨是關(guān)于序≤的上確界運(yùn)算,是關(guān)于序≤的逆序?qū)蠈?duì)應(yīng),且(?a,b,c∈M)：

(M2) 1→a=a,a→a=1；

(M3)b→c≤(a→b)→(a→c)；

(M4)a→(b→c)=b→(a→c)；

(M5)a→(b∨c)=(a→b)∨(a→c),a→(b∧c)=(a→b)∧(a→c)；

(M6) (a→b)∨((a→b)→a∨b)=1.

這里1是(M,≤)中的最大元,則稱M為R0-代數(shù).

定義6[6]設(shè)(L;∧,∨,?,→,0,1)是一個(gè)可換剩余格,稱L是MTL-代數(shù),如果滿足如下的預(yù)線性等式

(x→y)∨(y→x)=1, ?x,y∈L.

定義7[6]設(shè)(L;∧,∨,?,→,0,1)是一個(gè)MTL-代數(shù).L稱為是IMTL-代數(shù),如果滿足條件

(x→0)→0=x, ?x∈L.

MTL-代數(shù)L稱為是WNM-代數(shù),如果滿足條件

(x?y→0)∨(x∧y→x?y)=1, ?x,y∈L.

MTL-代數(shù)L稱為是NM-代數(shù),如果它既是IMTL-代數(shù)、又是WNM-代數(shù).

定理2[12-13]設(shè)(L;∧,∨,?,→,0,1)是一個(gè)可換剩余格,在L上定義為

x=x→0, ?x∈L，

則(L;,∨,→)構(gòu)成R0-代數(shù)的充要條件是L滿足

x=x,(x→y)∨((x→y)→x∨y)=1,

?x,y∈L，

即(L;,∨,→)構(gòu)成R0-代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)L是NM-代數(shù).

在t-模的定義中,要求其滿足交換律,從而在t-?；：壿嬒到y(tǒng)中“模糊與”算子具有可換性.受非可換邏輯研究的影響(參見文獻(xiàn)[14-16]),一些學(xué)者開始研究偽t-模(非可換t-模)及基于此的非可換模糊邏輯(參見文獻(xiàn)[17-21]),相應(yīng)的非可換模糊邏輯代數(shù)也相繼提出.

定義8[17]偽t-模(pseudo-t-norm)是滿足以下條件的函數(shù)

?:[0,1]×[0,1]→[0,1],

?x,y,z∈[0,1]:

1)x?(y?z)=(x?y)?z；

2)x≤y?x?z≤y?z,x≤y?z?x≤z?y；

3)x?1=1?x=x.

1) (L;∧,∨,0,1)是有界格,其序關(guān)系為≤,0、1分別為最小元和最大元；

2) (L; ?,1)是幺半群,1為單位元；

3) 對(duì)任意x,y,z∈L,

φ1(x,y)=
sup{z|z?x≤y}；φ2(x,y)=sup{z|x?z≤y}.

4)x?0=0?x=0；

12)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z),(y∨z)?x=(y?x)∨(z?x)；

則稱L是一個(gè)偽MTL-代數(shù)(psMTL-代數(shù),又稱為弱偽BL-代數(shù)).一個(gè)MTL-代數(shù)L如果還滿足條件

則稱L是一個(gè)偽BL-代數(shù)(psBL-代數(shù)).

由于前述命題演算系統(tǒng)L*具有良好的應(yīng)用背景和整齊的結(jié)構(gòu)特性,對(duì)其進(jìn)行非可換拓廣是一項(xiàng)很有意義的工作.文獻(xiàn)[22]成功地將R0t-模推廣到非可換情形,得到第一個(gè)具有偽對(duì)合性質(zhì)的偽t-模簇,即偽R0t-模.在此基礎(chǔ)上,建立了基于這種偽t-模的非可換邏輯系統(tǒng)PL*,通過(guò)引入PL*-代數(shù)(它是弱R0-代數(shù)、IMTL-代數(shù)的非可換推廣)的概念,建立了PL*-代數(shù)的正規(guī)素濾子定理,由此證明了PL*系統(tǒng)的完備性定理.

定理3[8,22]設(shè)f1和f2是[0,1]上嚴(yán)格遞增連續(xù)函數(shù),且f1(1)=f2(1)=1,f1(0)=f2(0)=0.規(guī)定

則T(x,y)是一個(gè)偽t-模,這里x∧y=min(x,y).

稱定理3所給出的偽t-模為偽R0t-模.容易證明,偽R0t-模關(guān)于2個(gè)變量都是左連續(xù)的.如果偽R0t-模中的函數(shù)f1和f2均取為恒等函數(shù),即

?x∈[0,1],f1(x)=f2(x)=x,

則此時(shí)偽R0t-模退化為R0t-模.

定理4[8,22]設(shè)T是偽R0t-模,則與T相伴的1-剩余蘊(yùn)涵和2-剩余蘊(yùn)涵分別為：

(A1) (L;∧,∨,0,1)是有界格,這里0、1分別是最小元、最大元；

(A2) (L;?,1)是獨(dú)異點(diǎn),即?滿足結(jié)合律且對(duì)任意x∈L有x?1=1?x=x；

(A5)x=x=x；

這里x=x→0,x=x0.

顯然,PL*-代數(shù)是一種特殊剩余格.關(guān)于其他非可換模糊邏輯代數(shù),可參閱文獻(xiàn)[23-24].

2 非結(jié)合剩余格、一致模及更一般的模糊邏輯系統(tǒng)

在模糊推理與不確定性決策中,非可換、非結(jié)合算子具有一定實(shí)際應(yīng)用價(jià)值(參見文獻(xiàn)[25-28]),因此探討更一般的“模糊與”(或聚合算子)、相應(yīng)的蘊(yùn)涵算子,以及更具一般性的模糊邏輯形式系統(tǒng),就成為近年來(lái)模糊學(xué)界的研究熱點(diǎn)之一(參見文獻(xiàn)[29-38]).

前面提到,將t-模的交換性去掉,引入了偽t-模.類似地,將t-模的結(jié)合性去掉,就是非結(jié)合t-模[29],也稱為可換半t-模[27-28].與非結(jié)合模糊邏輯形式系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)是非結(jié)合剩余格,也稱為可換剩余格序廣群.我們?cè)谖墨I(xiàn)[34-35]中使用“非結(jié)合剩余格”這一名稱,較國(guó)外學(xué)者早[29].

定義12[29,34]一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)(L;∧,∨,?,→,0,1)稱為是一個(gè)非結(jié)合剩余格,如果L滿足條件：

1) (L;∧,∨,0,1)是一個(gè)有界格；

2) (L;?,1)是一個(gè)具有單位元1的可換廣群；

3) 對(duì)任意x,y,z∈L,x?y≤z?x≤y→z.

命題3[29,34-35]設(shè)(L;∧,∨,?,→,0,1)是一個(gè)非結(jié)合剩余格,則對(duì)任意x,y,z∈L有：

1)x≤y?x→y=1;

2)x≤y?x?z≤y?z;

3)x≤y?y→z≤x→z;

4)x≤y?z→x≤z→y;

5)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z);

6)x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z);

7) (y∨z)→x=(y→x)∧(z→x);

8) (x→y)?x≤x,y;

9) (x→y)→y≥x,y.

下面的例子表明,在非結(jié)合剩余格中,如下的蘊(yùn)涵性質(zhì)不再成立.注意,由命題1及命題2知,在非可換剩余格中(7)式成立,在可換剩余格中(8)式成立：

y→z≤(x→y)→(x→z), ?x,y∈L.

(7)

x→(y→z)=y→(x→z), ?x,y∈L.

(8)

例1設(shè)L=[0,1],其上的二元運(yùn)算?定義為

x?y=0.5xy+0.5max{0,x+y1},x,y∈L，

則?是L上的非結(jié)合t-模.蘊(yùn)涵運(yùn)算定義為

x→y=max{z∈[0,1]|z?x≤y},x,y∈L.

于是(L;max,min,?,→,0,1)是一個(gè)非結(jié)合剩余格.取x=0.6,y=0.3,z=0.1,計(jì)算得到：

從而

另外，若取,x=0.7,y=0.4,z=0.1,則有

從命題2和命題3可以看出,非可換、非結(jié)合模糊邏輯系統(tǒng)都是對(duì)t-?；：壿嬒到y(tǒng)的拓廣,但與其相對(duì)應(yīng)的非可換剩余格、非結(jié)合剩余格中,序關(guān)系≤與蘊(yùn)涵運(yùn)算均滿足基本t-?；：壿嫶鷶?shù)的如下性質(zhì)

x≤y?x→y=1, ?x,y∈L.

(9)

然而,在研究基于一致模(uninorm)的模糊邏輯系統(tǒng)時(shí),相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)不再滿足這條性質(zhì)了.2007年,Gabbay等在文獻(xiàn)[39]中建立了第一個(gè)基于一致模的模糊邏輯系統(tǒng)BUL(與連續(xù)一致模相對(duì)應(yīng)).之后,關(guān)于一致模及其剩余蘊(yùn)涵、基于各種一致模或非可換一致模(偽一致模)的模糊邏輯系統(tǒng)相繼得到深入研究(參見文獻(xiàn)[40-49]).在一致模中,乘法單位元e可以不是最大元1,故由一致模誘導(dǎo)的剩余蘊(yùn)涵通常不滿足條件(9)式.

定義13[39-40]一個(gè)一致模*是滿足以下條件的一個(gè)映射

*:[0,1]2→[0,1], ?x,y∈[0,1]:

1)x*y=y*x；

2)x*(y*z)=(x*y)*；

3)x≤y?x*z≤y*z；

4) 存在e*∈[0,1]使得e*x=x.

如果0*1=0,則稱*為合取一致模；如果0*1=1,則稱*為析取一致模.

一致模*稱為是剩余的,如果存在函數(shù)→*:[0,1]2→[0,1]滿足

z≤x→*y?x*z≤y, ?x,y,z∈[0,1].

可以證明,一個(gè)一致模*是剩余的,當(dāng)且僅當(dāng)它是合取左連續(xù)一致模,且x→*y=sup{z:x*z≤y}.

定義14[39]一個(gè)尖點(diǎn)有界可換剩余格(pointed bounded commutative residuated lattice)是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)(L;∧,∨,?,→,e,f,⊥,┬),其中∧,∨,?,→是L上的二元運(yùn)算,e,f,⊥,┬為常元,且滿足：

(i) (L,∧,∨,⊥,┬)為有界格,⊥,┬分別為L(zhǎng)的底元和頂元；

(ii) (L,?,e)是可換獨(dú)異點(diǎn)；

(iii)z≤x→y?x?z≤y,?x,y,z∈L.

滿足以下條件的尖點(diǎn)有界可換剩余格稱為UL-代數(shù)

e≤((x→y)∧e)∨((y→x)∧e), ?x,y∈L.

設(shè)*是一個(gè)剩余一致模,→*是它的剩余,f∈[0,1],則([0,1],min,max,*,→*,e*,f,0,1)是一個(gè)UL-代數(shù).

容易驗(yàn)證,在UL-代數(shù)中成立,

x≤y?e≤x→y,?x,y∈L,

(10)

e→x=x,?x∈L.

(11)

前面分別介紹了t-模基模糊邏輯系統(tǒng)的2種推廣：一是放棄交換性,得到非可換模糊邏輯系統(tǒng)；一是放棄結(jié)合性,得到非結(jié)合模糊邏輯系統(tǒng).自然會(huì)想到,同時(shí)放棄交換性和結(jié)合性,可以得到更一般的模糊系統(tǒng).確實(shí)如此,文獻(xiàn)[50-51]就建立了這樣的一般模糊邏輯系統(tǒng),是基于mianorm建立起來(lái)的,這里的mianorm是更一般的三角模,與Liu在文獻(xiàn)[52]中引入的半一致模(semi-uninorm)涵義相同(早于文獻(xiàn)[50]),是文獻(xiàn)[53]中提到的t-半模(t-seminorm)概念的推廣.

定義15[50,52]一個(gè)半一致模(semi-uninorm)或mianorm是指滿足以下條件的函數(shù)

*:[0,1]2→[0,1], ?x,y,z∈[0,1],

1) 存在e∈[0,1],e*x=x*e=x,

2)x≤y?x*z≤y*z且z*x≤z*y.

當(dāng)e=1時(shí),半一致模稱為半三角模；當(dāng)e=0時(shí),半一致模稱為半三角余模.

對(duì)文獻(xiàn)[52]中的定理4.1稍加改造,可以得到如下結(jié)論：

定理5設(shè)函數(shù)→:[0,1]2→[0,1]滿足以下條件:

1) ?x,y,z∈[0,1],y≤z?x→y≤x→z；

2) ?x,y,z∈[0,1],y≤z?z→x≤z→y；

3) 存在e∈(0,1],使得前述條件(10)及(11)式成立,

則如下定義的運(yùn)算*1及*2是具有單位e的半一致模：

?x,y∈[0,1],x*1y=inf{t∈[0,1]:x≤y→t};

?x,y∈[0,1],x*2y=inf{t∈[0,1]:y≤x→t}.

基于半一致模(semi-uninorm)或mianorm,文獻(xiàn)[50]建立了一般模糊邏輯形式系統(tǒng)MIAL,與之配套的代數(shù)結(jié)構(gòu)是MIAL-代數(shù).

(i) (L,∧,∨,⊥,┬)為有界格,⊥,┬分別為L(zhǎng)的底元和頂元；

(ii) (L,*,t)是有單位t的廣群；

一個(gè)MIAL-代數(shù)是指滿足以下條件的尖點(diǎn)有界rlu-廣群(?x,y,z,w∈L):

t≤((x→y)∧t)∨((z*w)→
(z*(w*((y→x)∧t)))),

t≤((x→y)∧t)∨((z*w)→
((z*((y→x)∧t))*w)),

t≤((x→y)∧t)∨(z→
(w→((w*z)*((y→x)∧t)))),

作為更一般與剩余有關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu),稱為剩余廣群(residuated groupoid),最早可以追溯到1954年Dubreil與Croisot的工作,這在文獻(xiàn)[54]中有記載和說(shuō)明.國(guó)內(nèi)相關(guān)研究論文,可參見文獻(xiàn)[55-56](注意相關(guān)概念的細(xì)微差別).按文獻(xiàn)[57]的說(shuō)法,剩余有序廣群(residuated ordered groupoid)的概念最早出現(xiàn)在Birkhoff的著作中[58],它是對(duì)一般剩余格概念的推廣.剩余有序廣群也被寫為residuated partially-ordered groupoid或residuated pogroupoid(參見文獻(xiàn)[59-60]).

如果剩余有序廣群L有單位元e,即(?x∈L)e*x=x*e=x,則稱L是有單位的(unital)；如果剩余有序廣群L有最大元1且它同時(shí)是單位元,則稱L是整的(integral).

2)x≤y?x?z≤y?z;x≤y?z?x≤z?y;

3) 設(shè)xi∈L(i∈I),a∈L.如果∨i∈Ixi存在,則a*(∨i∈Ixi)=∨i∈I(a*xi);

4) 設(shè)xi∈L(i∈I),a∈L.如果∨i∈Ixi存在,則(∨i∈Ixi)*a=∨i∈I(xi*a).

1) ?x,y,z∈L,y→z≤(x→y)→(x→z).

2) ?x,y,z∈L,x*(y*z)≤(x*y)*z.

類似地,下列條件在L中也等價(jià)：

4) ?x,y,z∈L,(x*y)*z≤x*(y*z).

3 從蘊(yùn)涵片段看各種模糊邏輯代數(shù)

3.1BCK-代數(shù)與偽BCK-代數(shù)在研究非經(jīng)典數(shù)理邏輯的語(yǔ)構(gòu)理論時(shí)(特別是討論邏輯系統(tǒng)完備性時(shí)),通常要考查與之相關(guān)的代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征,比如Lukasiewicz連續(xù)值邏輯與MV-代數(shù)、形式系統(tǒng)L*與R0-代數(shù)、基本邏輯系統(tǒng)BL與BL-代數(shù)、非可換基本邏輯psBL與偽BL-代數(shù)等,這與經(jīng)典邏輯與布爾代數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系類似.因此,研究各種源于邏輯的代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系就是一個(gè)自然而重要的課題,這將從一個(gè)特殊的視角探尋各種邏輯系統(tǒng)深層次的聯(lián)系.

早在20世紀(jì)60年代中期,從正蘊(yùn)涵演算系統(tǒng)(the systems of positive implicational calculus)、弱正蘊(yùn)涵演算及BCK系統(tǒng)出發(fā),日本學(xué)者Iséki[61]引入BCK-代數(shù)的概念.此后,國(guó)際學(xué)術(shù)界對(duì)其進(jìn)行了深入細(xì)致的研究,涉及序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、理想(ideal,與濾子概念相對(duì)應(yīng))、與邏輯的關(guān)系等方面[62-72].1984年,日本學(xué)者Komori提出BCC(BIK+)-代數(shù)的概念,它是BCK-代數(shù)的推廣.有趣的是,雖然上述研究方向直觀上看似乎與模糊邏輯沒(méi)有關(guān)系,然而后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)：它們之間具有密切聯(lián)系！羅馬尼亞學(xué)者Iorgulescu首先建立了BCK-代數(shù)與模糊邏輯代數(shù)系統(tǒng)BL-代數(shù)的聯(lián)系；之后,Iorgulescu及其同行將BCK-代數(shù)作了非可換推廣,引入偽BCK-代數(shù)(pseudo-BCK algebra,簡(jiǎn)稱psBCK-代數(shù)),并建立了它們與非可換模糊邏輯代數(shù)系統(tǒng)psBL-代數(shù)的聯(lián)系.這些成果表明,各種非經(jīng)典邏輯在相對(duì)應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)方面有著內(nèi)在的聯(lián)系,這是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這些非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)之間關(guān)系的新的獨(dú)特視角.

定義18[61]一個(gè)BCK-代數(shù)是指代數(shù)結(jié)構(gòu)(A;≤,→,1),這里≤是A上的二元關(guān)系,→是A上的二元運(yùn)算,1是A中的一個(gè)常元,且滿足以下條件(?x,y,z∈A):

(BCK-1)x→y≤(y→z)→(x→z);

(BCK-2)x≤(x→y)→y;

(BCK-3)x≤x;

(BCK-4)x≤y,y≤x?x=y;

(BCK-5)x≤1;

(BCK-6)x≤y?x→y=1.

BCK-代數(shù)稱為有界的,如果存在元素0使得對(duì)任意x有0→x=1,即0≤x.

代數(shù)結(jié)構(gòu)(A;≤,→,1)若滿足前述除(BCK-5)以外的所有其他條件,則稱(A;→,1)為BCI-代數(shù).可以驗(yàn)證,BCI-代數(shù)中1是極大元,即

?x∈A， 1≤x?x=1.

注1原始文獻(xiàn)中BCK(BCI)-代數(shù)的定義是上述定義的對(duì)偶形式.

定義19[63]一個(gè)BCC-代數(shù)(或稱BIK+-代數(shù))是指代數(shù)結(jié)構(gòu)(A;≤,→,1),這里≤是L上的二元關(guān)系,→是A上的二元運(yùn)算,1是A中的一個(gè)常元,且滿足以下條件(?x,y,z∈A):

(BCC-1)y→z≤(x→y)→(x→z);

(BCC-2) 1→x=x;

(BCC-3)x≤x;

(BCC-4)x≤y,y≤x?x=y;

(BCC-5)x≤1;

(BCC-6)x≤y?x→y=1.

注21) 原始文獻(xiàn)中BCC-代數(shù)的定義是上述定義的對(duì)偶形式.

2) BCK-代數(shù)一定是BCC-代數(shù),反之不真.

BZ-代數(shù)[73-74]是較BCC-代數(shù)更廣泛的代數(shù)系統(tǒng),它也被國(guó)外學(xué)者稱為弱BCC-代數(shù)(weak BCC-algebra[75]).

定義20[73]一個(gè)BZ-代數(shù)(或稱弱BCC-代數(shù))是指代數(shù)結(jié)構(gòu)(A;→,1),這里≤是L上的二元關(guān)系,→是A上的二元運(yùn)算,1是A中的一個(gè)常元,且滿足以下條件(?x,y,z∈A):

(I) (y→z)→((x→y)→(x→z))=1,

(II)x→x=1,

(III) 1→x=x,

(IV)x→y=y→x=1?x=y.

在BZ-代數(shù)(A;→,1)中定義二元關(guān)系≤如下：(?x,y∈A)x≤y?x→y=1,則≤是A上的偏序.可以證明,1是BZ-代數(shù)(A;→,1)中的極大元,即(?x∈A)1≤x?x=1.

命題5[76]一個(gè)BZ-代數(shù)(A;→,1)是BCI-代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它滿足下列條件之一：

(V) (x→y)→((y→z)→(x→z))=1,?x,y,z∈A;

(VI)x→(y→z)=y→(x→z),?x,y,z∈A;

(VII)x→(y→z)=1?y→(x→z)=1,?x,y,z∈A.

一個(gè)BCC-代數(shù)(A;→,1)是BCK-代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它滿足(VI)或

(IX)y→((y→x)→x)=1,?x,y∈A.

定義21[73]一個(gè)BZ-代數(shù)(A;→,1)稱為是群逆的(anti-grouped),如果它滿足以下條件

(AG) (x→1)→1=x,?x∈A.

命題6[73]一個(gè)BZ-代數(shù)(A;→,1)是群逆的,當(dāng)且僅當(dāng)它滿足：

(AG1) (x→y)→(x→z)=y→z,?x,y,z∈A.

定理7[73]設(shè)(A;→,1)是一個(gè)群逆BZ-代數(shù).定義加法運(yùn)算+及逆元如下：?x,y∈A,

則(A;+,1)是群(未必可換).類似地,定義加法運(yùn)算及逆元如下(?x,y∈A)：

x

則(A;,1)是群(未必可換).

3)x→x=1;

4)x→y=y→x=1?x=y;

5)x→y1?xy1.

1) 1≤x?x=1;

3)x≤y,y≤z?x≤z;

8) 1→xx,1xx;

(a) (X;→,1)是一個(gè)BZ-代數(shù)；

至此,前述的BCK/BCI-代數(shù)、BCC/BZ-代數(shù)、偽BCK/BCI-代數(shù)之間的關(guān)系,可用圖1直觀描述.

圖 1 BCK-、BCI-、BCC-、BZ-代數(shù)與偽BCK/BCI-代數(shù)之間的關(guān)系

不過(guò),前面的例1表明,與非結(jié)合t-模相對(duì)應(yīng)的“剩余”不滿足BCK/BCC-代數(shù)的基本條件.自然產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題：什么樣的一般蘊(yùn)涵代數(shù)可以作為各種非經(jīng)典邏輯代數(shù)的公共代數(shù)基礎(chǔ)？

3.2量子B-代數(shù)、基本蘊(yùn)涵代數(shù)與EO-代數(shù)1984年Mulvey提出quantale概念,用以研究非可換空間和量子力學(xué).基于quantales導(dǎo)出的蘊(yùn)涵算子,Rump等在文獻(xiàn)[77]中引入量子B-代數(shù)(quantum B-algebra)的概念,它包含許多蘊(yùn)涵代數(shù)(比如BCK-代數(shù)、MV-代數(shù)、BL-代數(shù)及其非可換推廣)作為特例.關(guān)于量子B-代數(shù)的一些最新研究,可參見文獻(xiàn)[78-82].

定義23一個(gè)quantale是一個(gè)具有結(jié)合二元運(yùn)算*的完備格Q,滿足如下分配性：

1)x*(∨i∈Iyi)=∨i∈I(x*yi),?x,yi∈Q,i∈I(I為任意指標(biāo)集)；

2) (∨i∈Iyi)*x=∨i∈I(yi*x),?x,yi∈Q,i∈I(I為任意指標(biāo)集).

1)y→z≤(x→y)→(x→z);

3)y≤z?x→y≤x→z;

2)y≤z?x→y≤x→z;

3)y≤z?z→x≤y→x;

定理9[77-78]每一個(gè)偽BCI-代數(shù)是一個(gè)單位量子B-代數(shù)；一個(gè)量子B-代數(shù)是偽BCI-代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它的單位元是極大元；一個(gè)量子B-代數(shù)是偽BCK-代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它有最大元且該最大元是單位元.

從定義24的1)及2)可以看到,盡管量子B-代數(shù)具有一般性,但仍然不能將例1中的蘊(yùn)涵算子包括進(jìn)去.因此,有必要對(duì)BCK/BCC-代數(shù)、量子B-代數(shù)等做進(jìn)一步拓展,以便能概括更一般的蘊(yùn)涵算子.

實(shí)際上,在模糊邏輯及其應(yīng)用研究中,蘊(yùn)涵算子一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)之一,大量研究文獻(xiàn)涉及這一主題(參見文獻(xiàn)[83-88]).目前,關(guān)于單位區(qū)間上的蘊(yùn)涵算子,常用以下定義.

定義25[83-84]函數(shù)I:[0,1]2→[0,1]稱為是一個(gè)蘊(yùn)涵(implication),如果它關(guān)于第一個(gè)變?cè)辉?、關(guān)于第二個(gè)變?cè)粶p,且

I(0,0)=I(0,1)=I(1,1)=1,I(1,0)=0.

經(jīng)過(guò)對(duì)各種源于非經(jīng)典邏輯的代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行比較分析,我們與Borzooei及Jun在文獻(xiàn)[89]中共同提出一個(gè)新的概念：基本蘊(yùn)涵代數(shù)(Basic Implication Algebra,簡(jiǎn)寫為BI-代數(shù)),這類代數(shù)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的概括性,可以包括例1中的蘊(yùn)涵算子、且能建立起通常的濾子理論和商代數(shù)結(jié)構(gòu).

定義26[89]一個(gè)基本蘊(yùn)涵代數(shù)(簡(jiǎn)稱BI-代數(shù))是一個(gè)具有二元運(yùn)算→的偏序集(X,≤),?x,y,z∈X,滿足以下條件：

1)x≤y?z→x≤z→y;

2)x≤y?y→z≤x→z.

一個(gè)基本蘊(yùn)涵代數(shù)X稱為正規(guī)的(normal),如果X滿足:

3) ?x,y∈X,x→x=y→y;

4) ?x,y∈X,x≤y?x→y=e,這里e=x→x=y→y.

命題10[89]設(shè)(X;≤,→)是一個(gè)基本蘊(yùn)涵代數(shù)(BI-代數(shù)),則(?x,y,u,v∈X):

1)x≤y?y→x≤x→x≤x→y;

2)x≤y?y→x≤y→y≤x→y;

3)x≤y且u≤v?y→u≤x→v;

4)x≤y且u≤v?v→x≤u→y.

有趣的是,一些學(xué)者在文獻(xiàn)[90-91]中引入擴(kuò)展序代數(shù)(Extended-Order Algebra,簡(jiǎn)寫為EO-代數(shù))的概念,它正好是一種特殊的基本蘊(yùn)涵代數(shù)(BI-代數(shù)).

定義27[90-91]一個(gè)弱擴(kuò)展序代數(shù)(weak extended-order algebra,簡(jiǎn)寫為w-eo algebra)是一個(gè)三元組(X,→,┬),其中X是非空集,→是X上的二元運(yùn)算,┬是X上的常元,?a,b,c∈X,且滿足以下條件：

(O1)a→┬=┬;

(O2)a→a=┬;

(O3) 如果a→b=┬且b→a=┬,則a=b;

(O4) 如果a→b=┬且b→c=┬,則a→c=┬.

在弱擴(kuò)展序代數(shù)(X,→,┬)上定義如下關(guān)系≤:(?a,b∈X)a≤b?a→b=┬,則(X,≤)是偏序集,┬為頂元.

定義28[90-91]一個(gè)三元組(X,→,┬)稱為是右弱擴(kuò)展序代數(shù)(right w-eo algebra),如果它滿足前述公理(O1)、(O2)、(O3)和以下的公理(O5)：

(O5) 如果a→b=┬,則(c→a)→(c→b)=┬.

一個(gè)三元組(X,→,┬)稱為是左弱擴(kuò)展序代數(shù)(left w-eo algebra),如果它滿足前述公理(O1),(O2),(O3)和以下的(O5’)：

(O5’) 如果a→b=┬,則(b→c)→(a→c)=┬.

一個(gè)三元組(X,→,┬)稱為是擴(kuò)展序代數(shù)(extended-order algebra,簡(jiǎn)寫為EO-algebra),如果它既是右弱擴(kuò)展序代數(shù)、又是左弱擴(kuò)展序代數(shù).

容易驗(yàn)證,右弱擴(kuò)展序代數(shù)、左弱擴(kuò)展序代數(shù)均滿足公理(O4).

命題12設(shè)(X,→,┬)是一個(gè)擴(kuò)展序代數(shù)(EO-代數(shù)),則(X;≤,→,┬)是一個(gè)以┬為最大元的正規(guī)基本蘊(yùn)涵代數(shù).

4 結(jié)論及進(jìn)一步研究的課題

從以上對(duì)非經(jīng)典邏輯代數(shù)的系統(tǒng)比較分析可以看出,BCK-代數(shù)是各種t-?；：壿嫾跋嚓P(guān)非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)(蘊(yùn)涵片段)的代數(shù)抽象,BCC-代數(shù)是各種偽t-模基模糊邏輯及相關(guān)非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)(蘊(yùn)涵片段)的代數(shù)抽象,而基本蘊(yùn)涵代數(shù)(BI-代數(shù))是各種廣義t-模(包括非結(jié)合t-模、半一致模等)基模糊邏輯及相關(guān)非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)(蘊(yùn)涵片段)的代數(shù)抽象.同時(shí),我們?cè)谖墨I(xiàn)[89]的研究結(jié)果表明,各種非經(jīng)典邏輯代數(shù)的濾子及商代數(shù)理論,可以在基本蘊(yùn)涵代數(shù)(BI-代數(shù))的一般框架下統(tǒng)一處理.

作為進(jìn)一步研究的課題,以下問(wèn)題具有重要意義：

1) 與非結(jié)合t-模、半一致模相關(guān)的剩余格序廣群的濾子理論及特殊子類(比如非結(jié)合BL-代數(shù)、非結(jié)合Hoop代數(shù)、非結(jié)合非交換BL/Hoop-代數(shù)等)的特性等；

2) 蘊(yùn)涵運(yùn)算與傳統(tǒng)代數(shù)運(yùn)算之間的深層次聯(lián)系,比如文獻(xiàn)[71,76,92-93]中涉及的群(或半群)與相關(guān)蘊(yùn)涵代數(shù)之間的關(guān)系研究,需要進(jìn)一步拓展到更廣泛的情況(比如廣群與基本蘊(yùn)涵代數(shù))；

3) 非可換且非結(jié)合的模糊邏輯形式系統(tǒng)的進(jìn)一步研究,以及相對(duì)應(yīng)的一般(指非可換或非結(jié)合)區(qū)間值模糊邏輯、直覺(jué)模糊邏輯、二型模糊邏輯、基于粗糙集的邏輯等均具有重要研究?jī)r(jià)值.