信號(hào)與系統(tǒng)教學(xué)淺探

祝常健 張紅

摘要：信號(hào)與系統(tǒng)是電子信息類專業(yè)學(xué)生在大學(xué)階段的基礎(chǔ)專業(yè)理論課。這門課主要學(xué)習(xí)如何使用科學(xué)的方法描述生活中的信息以及信號(hào)的分析和處理過程。課程內(nèi)容是學(xué)生從中學(xué)階段的被動(dòng)式學(xué)習(xí)過渡到高等教育階段的主動(dòng)式學(xué)習(xí)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，包含了培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行更高層次的科學(xué)理論學(xué)習(xí)和培養(yǎng)具備科學(xué)理論創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)理論知識(shí)。然而，在這門課的教和學(xué)的過程中一直存在很多的問題，使得很多大學(xué)生沒有及時(shí)掌握這門課的內(nèi)容，為后續(xù)的知識(shí)學(xué)習(xí)造成了困難。為了使學(xué)生能夠快速地接受和掌握該門課程內(nèi)容，文章從信號(hào)與系統(tǒng)課程內(nèi)容特點(diǎn)分析和探討這門課的一些教學(xué)思路。

關(guān)鍵詞：信號(hào)和系統(tǒng);時(shí)域;頻域;傅里葉變換;拉普拉斯變換

中圖分類號(hào)：G642.41? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2019）49-0219-04

一、引言

信號(hào)與系統(tǒng)是一門電子信息類專業(yè)的基礎(chǔ)理論課程。信號(hào)與系統(tǒng)主要是學(xué)習(xí)如何使用科學(xué)的數(shù)學(xué)方法描述生活中的信息。課程內(nèi)容是學(xué)生從中學(xué)階段的被動(dòng)式學(xué)習(xí)過渡到高等教育階段的主動(dòng)式學(xué)習(xí)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，包含了培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行更高層次的科學(xué)理論學(xué)習(xí)和培養(yǎng)具備科學(xué)理論創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)理論知識(shí)。特別是在進(jìn)行科學(xué)研究的時(shí)候，信號(hào)與系統(tǒng)是最基礎(chǔ)的知識(shí)和方法。其中的知識(shí)可以延伸應(yīng)用到其他的學(xué)科領(lǐng)域，比如機(jī)械、控制、化學(xué)、材料學(xué)和生物等。信號(hào)與系統(tǒng)中的許多知識(shí)，比如沖激函數(shù)和頻域分析（傅里葉變換）方法，不僅僅是一個(gè)描述生活信息的數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但是，信號(hào)與系統(tǒng)的數(shù)學(xué)公式大部分看起來太復(fù)雜了，所以很多初學(xué)者乍一看就懵圈并從此對它深惡痛絕。如此重要的課程知識(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)居然成了現(xiàn)在大部分高校學(xué)生學(xué)習(xí)的殺手課程。

為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)過程中不再是枯燥難學(xué)的感覺，讓學(xué)生快速地掌握這門課程，國內(nèi)的許多高校教師進(jìn)行了這門課的教學(xué)方法的探索[1]。高燕教師在文獻(xiàn)[2]中，討論以創(chuàng)新人才培養(yǎng)為目的的信號(hào)與系統(tǒng)教學(xué)方法改革和研究。筆者主要是深度結(jié)合MATLAB軟件的應(yīng)用，該軟件具有良好的數(shù)學(xué)矩陣運(yùn)算功能，能夠把信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算用MALTAB代碼簡單明白地展示。同時(shí)還結(jié)合計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)輔助教學(xué)，提高學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)的手段的多樣性。文獻(xiàn)[3]中，以黃山學(xué)院為實(shí)踐教學(xué)，根據(jù)信號(hào)分析與處理課程群建設(shè)要求優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建線上、線下和項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)方式的教學(xué)模式。蔡凡在文獻(xiàn)[4]中，探索了面向應(yīng)用型人才培養(yǎng)的信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)方法。謝自梅研究了基于MATLAB作為教學(xué)平臺(tái)，為學(xué)生提供一個(gè)輕松愉快、高效的學(xué)習(xí)氛圍[5]。類似的角度在文獻(xiàn)[6]中也有研究。方偉偉等人基于“雨課堂”研究信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)方法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)過程中注重預(yù)習(xí)和提高教學(xué)過程中的師生之間交互效率[7]。劉淑玉等人將信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容與網(wǎng)絡(luò)分析、數(shù)字信號(hào)處理、隨機(jī)信號(hào)等課程內(nèi)容結(jié)合起來，合理地安排該門課程的教學(xué)內(nèi)容。筆者還把多媒體教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合，探索一種讓學(xué)生系統(tǒng)地吸收信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)方案[8]。高諾等人從實(shí)驗(yàn)教學(xué)的角度對信號(hào)與系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)的體系和內(nèi)容安排等三個(gè)方面進(jìn)行探索，目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、工程實(shí)踐素養(yǎng)和創(chuàng)新思維等方面的能力[9]。苗丹結(jié)合應(yīng)用型本科院校的特點(diǎn)，從如何培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用實(shí)踐能力角度研究信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)[10]。另外，呂軍等人在文獻(xiàn)[11]中提出直觀化教學(xué)的概念，以提高教學(xué)質(zhì)量和調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

以上的研究成果主要是從教學(xué)內(nèi)容和實(shí)驗(yàn)教學(xué)角度探索如何提高信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)質(zhì)量和效率。這些研究成果都從比較嚴(yán)肅的角度出發(fā)，始終存在讓學(xué)生無法輕松愉快地接受和掌握信號(hào)與系統(tǒng)的知識(shí)，還沒有一個(gè)完整、高效和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)方案。為了從讓學(xué)生更加輕松和充滿樂趣地學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)，本文結(jié)合在電子信息工程專業(yè)學(xué)習(xí)的教學(xué)和學(xué)習(xí)體會(huì)，嘗試從知識(shí)的特點(diǎn)和教學(xué)內(nèi)容的展示方式上探討信號(hào)與系統(tǒng)的知識(shí)講授方法。

二、課程內(nèi)容分析

信號(hào)與系統(tǒng)是學(xué)習(xí)信息的描述和處理的工程數(shù)學(xué)。學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要是如何建立信息的數(shù)學(xué)模型，如何處理、分析和研究信息/信號(hào)。需要具備的學(xué)科知識(shí)是微積分、模擬電路、數(shù)字電路等課程。在這門學(xué)科的發(fā)展過程中，許多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，如讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉、拉普拉斯和香農(nóng)等都做出了重要的貢獻(xiàn)。

（一）信號(hào)的描述方法

信號(hào)與系統(tǒng)主要是學(xué)習(xí)如何使用科學(xué)的數(shù)學(xué)方法描述世界的信息。描述信息的方法主要有圖形曲線和函數(shù)表達(dá)式。曲線主要是指描述信號(hào)變換形狀的劃線，比如正弦和余弦曲線，如圖1所示。函數(shù)表達(dá)式主要是對信息用數(shù)學(xué)的方法描述，s（n），f（t）等，比如圖1中正弦曲線可以表示為y=sin（2πt）。因此，在學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)的過程中，必須掌握圖形曲線和函數(shù)表達(dá)式的相互對應(yīng)轉(zhuǎn)換，給出信號(hào)可以用劃出曲線，同時(shí)能夠?qū)懗鰧?yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

再者，必須掌握信號(hào)的分析，周期信號(hào)和非周期信號(hào)、連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)等分類。在這些常見的函數(shù)的基礎(chǔ)上，特別是必須掌握奇異函數(shù)的表達(dá)式子，即沖擊函數(shù)和階躍函數(shù)。

（二）系統(tǒng)的概述

在對世界的信息進(jìn)行描述而得到信號(hào)后，需要對信號(hào)進(jìn)行處理。那么，信號(hào)處理的過程就是系統(tǒng)。信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置通常稱為系統(tǒng)。一般而言，系統(tǒng)（system）是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。如手機(jī)、電視機(jī)、通信網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖像、文字等都可以看成信號(hào)。信號(hào)的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。系統(tǒng)的基本作用是對輸入信號(hào)進(jìn)行加工和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號(hào)，如圖2所示。在學(xué)習(xí)的過程中需要掌握系統(tǒng)的輸入和輸出之間的關(guān)系。

（三）信號(hào)的變換域

信號(hào)與系統(tǒng)中最重要的一個(gè)內(nèi)容就是信號(hào)的變換域。在我們?nèi)粘Ｉ钪?，我們看到的世界都是以時(shí)間作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，事情的變化、樹木的生長、人的位置的變化都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來觀察動(dòng)態(tài)世界的方法稱其為時(shí)域分析。在隨著時(shí)間不停變換的過程中，我們很難分析信號(hào)的特性。因此，科學(xué)家們找到了一種變換域，即頻域。我們發(fā)現(xiàn)在頻域中，世界是永恒不變而且具備一定的特點(diǎn)，這樣便于分析和處理信號(hào)。在我們的日常生活中，普遍認(rèn)為世間萬物都在隨著時(shí)間不停地改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)變換域這部分內(nèi)容的時(shí)候，根本無法接受，更別說理解了。而這一部分內(nèi)容是信號(hào)處理以及后續(xù)課程數(shù)字信號(hào)處理的核心內(nèi)容。如果這部分內(nèi)容沒有學(xué)習(xí)好，根本無法掌握信號(hào)與系統(tǒng)的內(nèi)容。

對于頻域，先說一個(gè)最直接的用途，就是廣播收音機(jī)的頻段，在收音機(jī)接收信號(hào)的時(shí)候，不同的電臺(tái)使用的是不同的頻道。這里的頻道就是不同頻段的信道，這里的信道用來傳輸不同的信息。那么信號(hào)的頻域有優(yōu)點(diǎn)呢？我們可以從一個(gè)例子開始比如先在紙上畫一個(gè)sin（x），我們可以很容易畫出近似的正弦信號(hào)圖，如圖1所示。接著，如果要求在紙上用筆畫一個(gè)

f（x）=sin（3x）+sin（5x）的圖形，我們發(fā)現(xiàn)根無法完成，因?yàn)榍€什么時(shí)候上升和下降，我們根本無法畫出來。而用MATLAB畫出來的f（x）=sin（3x）+sin（5x）的曲線如圖3所示。如果再進(jìn)一步要求，假設(shè)我們不知道這個(gè)曲線的方程式，現(xiàn)在需要把sin（5x）從圖3里拿出去，看看剩下的是什么？我們發(fā)現(xiàn)，在時(shí)域中這基本是不可能做到。

但是在頻域呢？把信號(hào)f（x）=sin（3x）+sin（5x）做傅里葉變換后得到的頻譜圖就是幾條豎線而已如圖4所示，很容易就可以把不同的信號(hào)的譜線找出來，以及可以濾去剩下我們想要的信號(hào)。所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域很容易，這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松做到。

三、知識(shí)點(diǎn)的展示方式分析

通過教學(xué)活動(dòng)我們發(fā)現(xiàn)，知識(shí)的傳授很講究知識(shí)點(diǎn)的展示方式。有時(shí)候復(fù)雜枯燥的數(shù)學(xué)公式，可以使用生活中一個(gè)簡單的例子說明白，或者是使用一個(gè)形象的圖來展示，提高教學(xué)的質(zhì)量。

（一）結(jié)合生活例子解釋概念

信號(hào)與系統(tǒng)的理論知識(shí)其實(shí)也是源于生活。在進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的時(shí)候，不能夠脫離生活中的應(yīng)用純粹講授數(shù)學(xué)公式，那樣會(huì)大大降低教學(xué)質(zhì)量。因此在教學(xué)活動(dòng)中，在一些知識(shí)點(diǎn)的講授過程中，可以適當(dāng)舉一些生活中的例子。例如，我們講授信號(hào)、系統(tǒng)的定義的時(shí)候，可以舉手機(jī)信號(hào)發(fā)射和接收的例子。如圖5所示，手機(jī)會(huì)采集生活中的信息，包括文字、圖片、語音、視頻等，然后經(jīng)過手機(jī)的處理就發(fā)射出去，在另外的接收端手機(jī)就會(huì)接收下來處理，再顯示。手機(jī)拍攝的人、大樓、樹、汽車等世界中的各種事物和事情就是信號(hào)，兩部手機(jī)一發(fā)送一接收就是一個(gè)完整的系統(tǒng)。通過舉這樣的生活中的手機(jī)例子，就可以把信號(hào)與系統(tǒng)的定義講述清楚。

（二）結(jié)合圖形的知識(shí)內(nèi)容展示

對于一門工程數(shù)學(xué)，無論是在講授信號(hào)的內(nèi)容還是系統(tǒng)的內(nèi)容的過程，我們發(fā)現(xiàn)都是一些繁雜的數(shù)學(xué)公式。那么我們應(yīng)該想辦法，盡可能地把這些數(shù)學(xué)公式的知識(shí)點(diǎn)用一些簡單易懂的圖形來描述。比如在講授傅里葉變換的定義的時(shí)候，公式的表達(dá)就是

以上就是完整的傅里葉變換公式，如果直接講述這兩個(gè)公式的字面意思，很多學(xué)生根本無法理解傅里葉變換的物理意義，也不知道什么是傅里葉變換。先舉個(gè)例子：在我們的理解中，一段音樂是什么呢？

我們對音樂最普遍的理解是，音樂是一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我們相信，對于樂器手們來說，音樂更直觀的理解是一個(gè)個(gè)的音符圖。具體為在時(shí)域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下地?cái)[動(dòng)，就如同波浪的走勢;而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符，也就是一個(gè)基本的余弦信號(hào)。傅里葉變換理論告訴我們，任何周期函數(shù)都可以看作不同振幅、不同相位正弦波的疊加。這樣對于任意的音樂信號(hào)，我們可以理解為利用對不同琴鍵不同力度、不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。

類似地，任何信號(hào)都是由一組基本的正弦波組成，隨著正弦波數(shù)量逐漸地增長，它們最終會(huì)疊加成一個(gè)信號(hào)。隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分，使其變?yōu)樗骄€。我們能想到的任何波形都是可以用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，后面的學(xué)習(xí)就開始變得有趣起來了。比如信號(hào)的頻譜都是通過多個(gè)正弦信號(hào)的疊加，從頻率軸觀察得到，如下頁圖7所示。

在圖中，最前面顯示的頻譜線就是所有正弦波疊加而成的總和。它是由多個(gè)正弦信號(hào)在后面依不同顏色排列而成的，正弦波就是組合為這個(gè)信號(hào)的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個(gè)波的振幅都不同，從而構(gòu)造成任意的信號(hào)?；谝陨系恼故荆覀兛梢园l(fā)現(xiàn)頻譜其實(shí)就是信號(hào)疊加圖，從另外一個(gè)角度看得到的圖形，從頻域方向看到的就是頻譜。這樣比純粹用數(shù)學(xué)公式解釋的傅里葉變換要直觀得多。

四、總結(jié)

本文以結(jié)合圖形方法和生活例子的內(nèi)容展示方式初步探討信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)方法。目的是避免枯燥的數(shù)學(xué)公式給初學(xué)者造成的學(xué)習(xí)的困難，以更加快樂和高質(zhì)量地掌握信號(hào)與系統(tǒng)的知識(shí)，從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)及其相關(guān)科目的興趣，克服畏懼心理，做到真正掌握信號(hào)與系統(tǒng)相關(guān)知識(shí)，為進(jìn)一步深造打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

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