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    高中概率題中數(shù)學思想方法的運用探微

    2019-01-17 01:32:12江蘇省海門中學
    數(shù)學大世界 2018年34期
    關鍵詞:點數(shù)數(shù)形概率

    江蘇省海門中學 鄧 杰

    數(shù)學思想作為對數(shù)學規(guī)律的運用與總結,是解決問題的基本思路之一。常見的數(shù)學思想方法有推斷、分類討論、數(shù)形結合、模型化、公理化和隨機化等,屬于數(shù)學科目的精髓和靈魂。在高中數(shù)學知識學習過程中,概率題是一種較為特殊的題目,題型也顯得與眾不同,教師需指導學生學會運用數(shù)學思想方法來分析和解答概率題,從而提高解題的準確度與速度。

    一、運用列舉事件思想方法,清晰求解題目答案

    高中數(shù)學中的概率題雖然難度一般,但是對學生的邏輯思維能力和分析能力要求較高,在一般題型中經(jīng)常要用到列舉事件的方式來求解,現(xiàn)已得到廣泛的使用,這其實就是對列舉事件數(shù)學思想方法的運用。因此,在解決高中數(shù)學概率題時,教師要提倡學生運用列舉事件的數(shù)學思想方法,使其結合題意,把可能發(fā)生的所有事件都羅列出來并進行逐個分析,隨后挑選出滿足題目要求的事件,這樣他們能夠清晰、準確地挑選出正確答案,降低錯誤現(xiàn)象的出現(xiàn)。

    例如:假如一次同時拋擲三枚硬幣,那么正好有兩枚反面朝下、一枚正面朝上的概率是多少?解析:在拋擲硬幣時,每枚硬幣的結果只有反面與正面兩種情況,三枚硬幣同時拋擲會出現(xiàn)以下8種情況:反反反、反反正、反正反、反正正、正反正、正反反、正正反、正正正。其中滿足題目要求的有反反正、反正反和正反反3種,那么要求解的概率是38。又如:在某次數(shù)學考試中,甲、乙、丙三人及格(互不影響)的概率0.4、0.2、0.5,考試結束后,最容易出現(xiàn)幾個人及格?解答:按以下四種情況計算概率,三人都及格的概率P1;三個人都不及格的概率P2;恰有兩人及格的概率P3;恰有1人及格的概率P4,通過計算,最容易出現(xiàn)的是恰有1人及格的情況。

    如此,運用列舉事件的數(shù)學思想方法,把可能出現(xiàn)的所有情況均羅列出來,幫助學生清晰地認識題目,把復雜的概率問題變得簡單化,通過認真分析和篩選,找出符合題目要求的情況。由淺入深、由此及彼,在教師的引領與啟發(fā)下,讓學生樂在其中、學在其中,漸進式地感悟數(shù)學思想的魅力所在,促進學生在數(shù)學學習上的可持續(xù)發(fā)展。

    二、應用數(shù)形結合思想方法,簡化學生解題過程

    數(shù)形結合是一個慣用的數(shù)學思想方法,貫穿于整個教育階段,包括小學、初中和高中等,適用的題目類型也較為廣泛。在處理高中數(shù)學概率題時,部分題目如果直接采用公式法將會顯得異常復雜、困難,要想順利解決,針對條件組合類的概率題,可以應用數(shù)形結合的思想方法。為此,教師應結合具體題目,指導學生應用數(shù)形結合的思想方法來解答概率題,通過圖像把抽象化的概率題變得直觀化、具體化,優(yōu)化他們的解題思路,簡化解題過程。

    例如:甲、乙兩人計劃上午8點至9點之間在體育場見面,規(guī)定無論誰先到體育場均等待15分鐘,假如對方仍然沒有到達就可以離開,那么甲、乙兩人可以見面的概率是多少?解析:由于甲、乙兩人計劃的時間為8點至9點,共1個小時,該時間段一共是60分鐘,可以建立一個平面直角坐標系,分別用x軸與y軸代表甲、乙兩人達到體育場的時間,并設甲、乙兩人達到體育場的時間分別是x與y,由于先到15分鐘的可以離開,那么兩人可以見面的條件為丨x-y丨≤15,如下圖所示:

    其中正方形表示整個時間,上下兩個三角形表示甲、乙無法見面的時間,剩余的中間部分則表示甲、乙兩人可以見面的時間,計算出該部分所占正方形面積的比例,即求出兩人見面的概率。

    上述案例中的概率題很難采用學習過的理論和公式求解,把題目中的已知條件在圖像中呈現(xiàn)出來,通過數(shù)形結合,學生可以簡潔、直觀地分析,將問題變得直白和簡單,還容易理解。

    三、采用對立求解思想方法,快速解決概率問題

    對立事件指的是:A和B的交集是不可能事件,A和B的并集則是必然事件,那么A事件和B事件就相互對立,是一組對立事件,即A事件和B事件必須且僅有一個發(fā)生,這同樣是一種典型的數(shù)學思想方法。在解答高中數(shù)學概率題時,遇到包含情況較多的求解類事件時,教師可以引導學生采用對立求解的數(shù)學思想方法。由于所有事件的總概率是1,那么用1減去對立事件的發(fā)生概率,就能夠求出題目中所要求的概率,從而快速解決問題。

    例如:將一個骰子先后投擲兩次,那么出現(xiàn)點數(shù)之和小于12的概率是多少?解析:由于題目中是將骰子先后投擲兩次,表明每次投擲的結果不會受到外界因素的影響,而且每次投擲結果是1至6點的概率相同,都是1/6。求的是兩次投擲結果點數(shù)之和小于12的事件,可以把該事件設為A,那么兩次投擲結果點數(shù)之和大于等于12的事件就是A事件的對立事件,用B來表示,且B事件發(fā)生的概率為1減去A事件發(fā)生的概率。因為兩次投擲結果點數(shù)之和小于12出現(xiàn)的情況比較多,點數(shù)之和大于等于12的情況僅有一種,即為6、6。兩次投擲骰子出現(xiàn)點數(shù)一共有6×6=36種情況,則P(B)=,得出P(A)=1-=,也就是說出現(xiàn)點數(shù)之和小于12的概率是。

    針對上述案例,當所求概率對立事件出現(xiàn)情況較少或容易表示時,可以使用對立求解的數(shù)學思想方法,先求出對立事件發(fā)生的概率,再求出正確答案,以此減少錯誤情況的出現(xiàn)。此時,數(shù)學思想方法不僅讓學生輕松解決了相應的問題,更讓學生增長了智慧與技能,促進學生綜合素養(yǎng)的提升。

    高中數(shù)學中涉及的思想方法有很多,適用于概率題的也不少,教師在日常教學中,需刻意滲透各種數(shù)學思想方法,學生在解題中要善于總結和積累,根據(jù)具體題目選用相應的數(shù)學思想方法,不斷提升解題的針對性和效率。

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