Stratonovich型隨機微分方程的三階隱式型隨機Runge-Kutta算法

袁 玲，汪 慧，梁 靜

（安徽新華學院通識教育部，安徽 合肥 230088）

0 引言

本文研究Stratonovich型標量自治的隨機微分方程[1]如下：

其中，W(t)={Wt,t0≤t≤T}為標準維納過程，f與g是[t0，T]×R上均滿足Lipschitz條件與線性增長條件的可測函數(shù)。本文運用彩色樹理論[2]，構造求解該方程的三階隱式型Runge-Kutta算法——IMRK算法。

1 三階隱式型隨機Runge-Kutta算法IMRK算法的構造

為了構造3階隱式型隨機Runge-Kutta算法，先選定一個三階隱式型的確定性Runge-Kutta方法如下將其作為3階隱式型Runge-Kutta算法的確定性部分，則可以設在隱式型Runge-Kutta算法的Butcher表[3]中有：

則使上述算法具有1.0階全局收斂性的充要條件[4]是：

不超過1階的樹只有樹1、樹2和樹6；1.5階的樹為樹4、樹5、樹20和樹22，它們的Stratonovich型局部誤差系數(shù)[3]如下：

由此推出的等價方程為：

樹4、樹5、樹20和樹22對應的階條件為：

再以得到最小主誤差常數(shù)[4]的原則推出相應的等價方程為：

運用已知條件aT和A，并且取，解得滿足上述方程組（*）和（**）的一組解為

即得到了具有最小主誤差常數(shù)的強1階收斂的3級隱式型隨機Runge-Kutta算法，并將其稱為IMRK算法。

IMRK算法具體如下：

2 IMRK算法的均方穩(wěn)定性

結論：IMRK2算法的均方穩(wěn)定函數(shù)[5]為R(p,q)，其中

證明：將IMRK2算法（3）應用于求解與Ito型線性檢驗隨機微分方程：dy=aydt+bydw(t)

即

則均方穩(wěn)定函數(shù)為：

圖1 Runge-Kutta——IMRK算法與5種算法的均方穩(wěn)定域比較

將隱式型隨機Runge-Kutta算法——IMRK算法與 Euler算法[1]，Heun算法[2]，Milstein 算法[4]，PL算法[6]，M2算法[4]的均方穩(wěn)定域比較如圖1。由圖像可知，IMRK算法具有更廣的穩(wěn)定區(qū)間，即本文構造在穩(wěn)定性方面具有其自身的優(yōu)勢。

3 IMRK算法精度數(shù)值實驗

選取方程：

取a=-26，b=1，用平均誤差[7]M來表示算法的精度，，其中，和分別表示第次模擬時在點處的數(shù)值解和準確解，是模擬次數(shù)取為，比較結果如表1所示。

表1 不同步長時誤差精度比較

從表1中可以看出，本文的IMRK算法與現(xiàn)有算法相比，具有更高的精度。