慧思雅行：豐盈學(xué)生的數(shù)學(xué)理解

羅銳

[摘要]“慧雅”數(shù)學(xué)教學(xué)主張引導(dǎo)學(xué)生通過復(fù)習(xí)舊知獲取新知，并通過動手操作，促進(jìn)學(xué)生“做學(xué)合一”;通過融會貫通，引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí);通過移易遷變，拓展學(xué)生的思維。

[關(guān)鍵詞]慧思雅行;立命題;驗(yàn)猜想;明本質(zhì);拓思維

[中圖分類號]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0025-03

“慧雅”數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的智慧、規(guī)范、雅致，這就要求我們在教學(xué)中首先要認(rèn)識數(shù)學(xué)所具有的抽象性、邏輯性和應(yīng)用性三大特點(diǎn)，同時(shí)要清楚地知道數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還需要理性的思考。這就注定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是感知認(rèn)識、豐富理解、提升思維的過程。數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)與表達(dá)、數(shù)學(xué)思考方法與過程、數(shù)學(xué)理解與感悟是根據(jù)學(xué)生外在動作與內(nèi)在心理活動相生相成的，“慧雅”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容可以是直觀的、形象的、可視的，也可以是生動的、能操作的、可體驗(yàn)的。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不能局限于記住一個(gè)數(shù)學(xué)概念、會套用一個(gè)數(shù)學(xué)法則、會解答一類數(shù)學(xué)題目，而應(yīng)讓學(xué)生理解一個(gè)數(shù)學(xué)知識、鍛煉一種數(shù)學(xué)技能、學(xué)會一種數(shù)學(xué)方法、發(fā)展一種數(shù)學(xué)思維，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這是筆者最近實(shí)踐探索“慧雅”數(shù)學(xué)教學(xué)的一些思考，下面就以“數(shù)與圖”的教學(xué)為例，談?wù)勗跀?shù)學(xué)課堂上引導(dǎo)學(xué)生慧思雅行，豐盈數(shù)學(xué)理解的探索過程。

一、溫故知新立命題——慧思源于經(jīng)驗(yàn)，雅行萌發(fā)求新

慧思是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中智慧、靈動的數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思維，它是數(shù)學(xué)教學(xué)的思維價(jià)值追求;雅行是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中規(guī)范、合適的方法與順應(yīng)本真的應(yīng)然，它是數(shù)學(xué)知識自然生長和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)科學(xué)方法的行為標(biāo)準(zhǔn)?！皽毓识?，可以為師矣?！睖毓识率侵覆粩鄿亓?xí)學(xué)過的知識，并且從中獲得新的領(lǐng)悟。數(shù)學(xué)的每一個(gè)知識都是在原有知識的基礎(chǔ)上生長起來的，數(shù)學(xué)教材內(nèi)容也是在一定的邏輯結(jié)構(gòu)內(nèi)分段編排、逐步認(rèn)知的，所以學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也需溫故才能知新。復(fù)習(xí)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，換一個(gè)不同的視角去觀察研究它們的特點(diǎn)，也許就會有不同的發(fā)現(xiàn)。

“數(shù)與圖”這節(jié)課是筆者根據(jù)蘇教版三年級《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》中“數(shù)與圖”的實(shí)驗(yàn)、蘇教版教材五年級中的“因數(shù)與倍數(shù)”以及相關(guān)課外資料自主開發(fā)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，內(nèi)容包括三角形數(shù)和正方形數(shù)。

[片段一l

1.課件出示自然數(shù)列，指出：“我們已經(jīng)知道1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…這些數(shù)是連續(xù)自然數(shù)。”從中抽出偶數(shù)，引導(dǎo)觀察：“自然數(shù)中，像2，4，6，8，10，…這些都是2的倍數(shù)，它們是什么數(shù)？”再抽出奇數(shù)：“自然數(shù)中，像1，3，5，7，9，…這些不是2的倍數(shù)的數(shù)，它們是什么數(shù)？”

2.仔細(xì)觀察，你認(rèn)為下面這組數(shù)有什么特點(diǎn)？請找出空缺的兩個(gè)數(shù)。你覺得它們可以叫作什么數(shù)？

1

4 9 16 25 （ ）49 64 81（ ）

案例中，先用自然數(shù)列、偶數(shù)列和奇數(shù)列喚醒學(xué)生內(nèi)在知識，讓這些已有的知識成為學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，然后通過回顧自然數(shù)的排列規(guī)律與特點(diǎn)，喚醒學(xué)生從不同的視角觀察數(shù)的特征的意識，讓學(xué)生感悟從不同的視角觀察同樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象會有不一樣的發(fā)現(xiàn)，將學(xué)生的思維引入新知識研究的最近發(fā)展區(qū)。在尋找1，4，9，16，…這一串?dāng)?shù)空缺的兩個(gè)數(shù)的過程中，學(xué)生換一種視角觀察分析一類數(shù)的特征，無痕地進(jìn)入了畢達(dá)哥拉斯關(guān)于三角形和正方形點(diǎn)子圖的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，順利進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。

二、做學(xué)合一驗(yàn)猜想——慧思立于實(shí)做，雅行促進(jìn)創(chuàng)新

做學(xué)合一，是我國著名教育家陶行知的教學(xué)理論，它把“教”“學(xué)”“做”看成一體，“做”是核心，主張?jiān)谧錾辖?、做上學(xué)。數(shù)學(xué)不僅僅需要純粹的思考，還需要通過動手操作來驗(yàn)證猜想是否正確。在不了解圖形特性的情況下，通過動手操作研究它的本質(zhì)，即“學(xué)中做”;在做實(shí)驗(yàn)的過程中直觀地感受圖形的特點(diǎn)，從而研究它的特性，即“做中學(xué)”。將“做”與“學(xué)”有效結(jié)合，可激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

[片段二l

師：這里有一些點(diǎn)，我們一起來還原畢達(dá)哥拉斯當(dāng)年的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。從第一個(gè)點(diǎn)開始觀察思考：第一個(gè)圖擺一個(gè)點(diǎn)，第二個(gè)圖至少需要幾個(gè)點(diǎn)才可以擺成三角形？第三個(gè)圖要怎么擺？第四個(gè)圖呢？這四個(gè)圖的點(diǎn)子數(shù)依次是1、3、6、10，畢達(dá)哥拉斯把它們叫作三角形數(shù)。

（課件出示每個(gè)點(diǎn)子圖的排列過程，學(xué)生同時(shí)用棋子在課桌上依次擺出來）

師：請大家仔細(xì)觀察自己擺出的點(diǎn)子圖，說說每個(gè)圖所代表的三角形數(shù)。你能看出它們的奧妙嗎？請你猜猜第5個(gè)三角形數(shù)可能是多少？第6個(gè)三角形數(shù)可能是多少？

（教師把學(xué)生猜想的數(shù)寫在括號里，并打上大大的問號）

1.獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，同桌研討

（1）用棋子再擺一個(gè)三角形。（2）把擺出的圖形畫到實(shí)驗(yàn)記錄單里，寫出三角形數(shù)。（3）根據(jù)擺的過程，觀察這些三角形數(shù)，找出計(jì)算每個(gè)三角形數(shù)的算式。（4）同桌兩人共同對比實(shí)驗(yàn)中記錄的幾組數(shù)據(jù)與算式，說說你們有什么發(fā)現(xiàn)？

第n個(gè)三角形數(shù)就是（ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）。

發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)三角形數(shù)是從1開始連續(xù)n個(gè)（ ）數(shù)的和。

2.交流展示，歸納規(guī)律

小組代表展示，學(xué)生每說出一個(gè)三角形數(shù)，教師就板書并追問為什么這樣列算式。“用你們發(fā)現(xiàn)的方法驗(yàn)證一下，15是第5個(gè)三角形數(shù)嗎？列式計(jì)算第6個(gè)三角形數(shù)。”教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：第2個(gè)三角形數(shù)的圖形有2層，最多一層的點(diǎn)數(shù)是2，第3個(gè)三角形數(shù)的圖形有3層，最多一層的點(diǎn)數(shù)是3。學(xué)生逐漸探索出三角形數(shù)的規(guī)律——第幾個(gè)三角形數(shù)就是從1加到幾，即三角形數(shù)就是連續(xù)自然數(shù)的和。

三、融會貫通明本質(zhì)——慧思利于理解，雅行走進(jìn)深度

融會貫通，出自宋·朱熹《朱子全書·學(xué)三》：“舉一而三反，聞一而知十，乃學(xué)者用功之深，窮理之熟，然后能融會貫通，以至於此。”融會貫通，指將各方面的知識或道理融合貫穿起來，從而得到系統(tǒng)透徹的理解。數(shù)學(xué)題海是無窮大的，所以我們必須學(xué)會舉一反三，通過理解一個(gè)典型的題型而掌握相似的題型，達(dá)到透徹的理解，而不是浮于表面的一知半解。

三角形數(shù)是本節(jié)課研究的最基本的圖形數(shù)，由最初的用數(shù)字或算式表示第幾個(gè)三角形數(shù)，最后歸納總結(jié)用字母代替數(shù)字，從根本上就掌握了三角形數(shù)的特征，達(dá)到了對三角形數(shù)的最本質(zhì)的理解。

[片段三]

師：大家的猜想是正確的，說明實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律也是正確的。請你再用一句話說說這個(gè)規(guī)律。

師：根據(jù)你們的發(fā)現(xiàn)，說一說下面這三幅圖分別表示第幾個(gè)三角形數(shù)，并說出算式。師：三角形數(shù)在生活中也有廣泛的應(yīng)用，比如在工地用于計(jì)算一堆木料（如右圖）的根數(shù)。該怎樣列式？就是求第幾個(gè)三角形數(shù)？

師：要求這堆木料有多少根，還需要知道哪個(gè)條件？如果最后一層是20根，怎么列式？如果最后一層是100根，又怎么列式？這是高斯故事中的一道名題。高斯的巧算我們可以理解為把這個(gè)圖看作上底是1，下底是100，高是100的梯形，用梯形面積公式來計(jì)算。如果底層是n根，怎么列式？用這個(gè)簡便方法計(jì)算第6個(gè)三角形數(shù)。

為了讓學(xué)生融會貫通，教師安排了解釋應(yīng)用性思維活動：①讓學(xué)生看點(diǎn)子圖說說對應(yīng)的是第幾個(gè)三角形數(shù)以及相應(yīng)的算式，并在材料提供時(shí)有意變換圖形的放置，體現(xiàn)變式，把數(shù)量最多的一層點(diǎn)子用不同顏色標(biāo)注，讓學(xué)生抓住知識的關(guān)鍵點(diǎn);②算木材的根數(shù)，三個(gè)層次的引導(dǎo)讓學(xué)生在三角形數(shù)、連續(xù)自然數(shù)的和、連續(xù)自然數(shù)和的計(jì)算方法、三角形、梯形等知識之間有效地架起一座立體的高架橋，把抽象的數(shù)列求和的理解直觀化，讓有難度的知識在遷移中實(shí)現(xiàn)順應(yīng)與建構(gòu)。

四、移易遷變拓思維——慧思見于思維，雅行發(fā)展新知

移易遷變，出自明·張居正《答中溪李尊師論禪》：“意生分段之身，剎那移易遷變，人烏得而知之。”移易遷變的意思就是遷移變化。新知的獲得是在舊知的基礎(chǔ)上，由舊知不斷遷移變化而來的。因此，讓學(xué)生學(xué)會遷移舊知，發(fā)展新知才是根本。

在“數(shù)與圖”中，難道只有三角形數(shù)嗎？答案是否定的。那么還有哪些數(shù)呢？它又具有什么樣的特點(diǎn)呢？這才是我們這節(jié)課的根本所在——讓學(xué)生在情境中自己提出問題、思考問題并解決問題。

[片段四]

2.自主實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)：顯然，是存在正方形數(shù)的。那么，正方形數(shù)又有什么特點(diǎn)呢？請大家前后四人一組，用擺棋子的方法自主實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)提示：

（1）1人用棋子從小到大依次擺出不同的正方形。

（2）其他3人觀察并記錄，每人都填寫一份實(shí)驗(yàn)記錄單，要列出算式。

（3）根據(jù)擺的過程，觀察你們發(fā)現(xiàn)的正方形數(shù)和每道算式，想一想，第n個(gè)正方形數(shù)可以怎樣列式計(jì)算？

（4）對比實(shí)驗(yàn)記錄的幾組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

根據(jù)表中的算式，我們發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)正方形數(shù)的算式是（

}。

3.交流研討。先讓學(xué)生在小組內(nèi)交流，形成小組研究成果，再請小組派代表上臺展示交流，教師在黑板上復(fù)原他們擺的圖形，讓其他學(xué)生評價(jià)復(fù)原的正確性，然后師生共同研討正方形數(shù)的特點(diǎn)。

（1）從1開始的正方形數(shù)是平方數(shù)。

探索發(fā)現(xiàn)：1=1²4=2²

9=3²

16=4²

25=5²

這樣教學(xué)的目的是讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：2x2中的2就是第二個(gè)正方形邊上的點(diǎn)子數(shù)，正方形的邊上有幾個(gè)點(diǎn)，對應(yīng)的就是第幾個(gè)正方形數(shù)，等于邊上點(diǎn)子數(shù)的平方。

（2）從1開始的正方形數(shù)是奇數(shù)的和。

探索發(fā)現(xiàn)：1+3=2x2=4

1+3+5 =3x3=9

1+3+5+7=4x4=16 1+3+5+7+9=5x5=25

課件依次呈現(xiàn)拐彎數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生寫出連續(xù)奇數(shù)相加的形式，要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：最后一個(gè)奇數(shù)加1的和除以2得幾就是求第幾個(gè)正方形數(shù)，也等于這個(gè)數(shù)的平方。根據(jù)這個(gè)規(guī)律快速計(jì)算：1+3+5+7+9+…+33=（）×（）。

（3）平方數(shù)是兩個(gè)相鄰三角形數(shù)的和。

課件呈現(xiàn)把正方形點(diǎn)子圖分解成兩個(gè)不同三角形數(shù)的點(diǎn)子圖，可以發(fā)現(xiàn)：2x2=1+2+1. 3x3=1+2+3+2+1. 4x4=1+2+3+4+3+2+1.5x5=1+2+3+4+5+4+3+2+1.

這樣教學(xué)的目的是讓學(xué)生體會兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)相加就是一個(gè)正方形數(shù)。這樣的算式有什么特點(diǎn)？怎樣快速算出它們的結(jié)果？讓學(xué)生在觀察正方形數(shù)與三角形數(shù)的關(guān)系時(shí)結(jié)合算式體會對稱數(shù)相加的特點(diǎn)，能快速計(jì)算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

“數(shù)與圖”這節(jié)課在于讓學(xué)生獲得對三角形數(shù)與正方形數(shù)的本質(zhì)認(rèn)識，懂得如何計(jì)算它們。為了幫助學(xué)生獲得這樣的數(shù)學(xué)認(rèn)知，本節(jié)課充分利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這一學(xué)習(xí)手段，讓學(xué)生借助教師提供的實(shí)驗(yàn)器材和實(shí)驗(yàn)記錄單，把數(shù)學(xué)活動聚焦在擺出三角形和正方形點(diǎn)子圖、觀察這些點(diǎn)子數(shù)量與排列的規(guī)律、用點(diǎn)子畫出所擺的物體、體驗(yàn)擺圖形的過程、寫出算式，經(jīng)歷從實(shí)物到圖、到數(shù)、到式，再到規(guī)律的數(shù)學(xué)化過程，感知逐步豐富，認(rèn)識逐步清晰，思維逐步深入，理解逐步透徹。

（責(zé)編 吳美玲）