初中HPM課例的分布整理與教學(xué)實(shí)施

張才寶 劉洪超

【摘 要】 以蘇科版教材《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》為例，整理分析“數(shù)學(xué)史”的分布情況，取析各類史料的素養(yǎng)成分，提出了基于數(shù)學(xué)思考、問題解決和知識(shí)關(guān)聯(lián)目標(biāo)維度，落地生根數(shù)學(xué)史的具體育人功能.通過抽象、推理和建模等理性行為，發(fā)展學(xué)生的“三個(gè)世界”能力，有助于學(xué)生“學(xué)好數(shù)學(xué)”.

【關(guān)鍵詞】 ?數(shù)學(xué)史;分布分析;教學(xué)實(shí)施;課例研究

《呂氏春秋·慎大覽第三》中《察今》一文說：察今則可以知古.就數(shù)學(xué)而言，反其義亦為真.知古亦可察今，以古察今，以所見知所不見.H.Poincare 更說[1]：要想預(yù)知數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀.事實(shí)上，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy Mathematics）的成立[2]，就標(biāo)志著數(shù)學(xué)史的教學(xué)實(shí)施成為有價(jià)值的實(shí)踐命題.然而，因主客觀教學(xué)條件的限制，常態(tài)數(shù)學(xué)課堂使用數(shù)學(xué)史的不多見.如何將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)史轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，發(fā)揮數(shù)學(xué)史潛在的育人功能，亟待解決，初中數(shù)學(xué)史的教學(xué)實(shí)施意義重大.

1 ?蘇科版“數(shù)學(xué)史”課例的分布與整理

“數(shù)學(xué)史”作為數(shù)學(xué)教育的重要組成部分，是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體，承載著傳承數(shù)學(xué)文化的功能，有助于學(xué)科育人功能的潛在發(fā)揮.為了引領(lǐng)廣大教師更好地傳承數(shù)學(xué)史的教育功能，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)自信產(chǎn)生式系統(tǒng)，筆者對蘇科版教材中的數(shù)學(xué)史料，進(jìn)行了有序有向的整理與分析（具體見表1，本期第17頁）.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011版）》）在第四部分“實(shí)施建議”中，開篇指出，創(chuàng)造性使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材，有效地實(shí)施差異教育，使每個(gè)學(xué)生得到充分發(fā)展.為此，數(shù)學(xué)史的整理與實(shí)施尤為必要.這樣，一方面是通過數(shù)學(xué)史教育，讓學(xué)生獲得可能的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，形成數(shù)學(xué)自覺能力;另一方面是運(yùn)用歷史的思維方式，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題，形成數(shù)學(xué)審美與批評思維等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 ?初中數(shù)學(xué)史課例的頂層設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施

初中段學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要成分是抽象、推理和建模，就這一認(rèn)識(shí)來說，使用數(shù)學(xué)史的目的不止于知識(shí)目標(biāo)，更在于數(shù)學(xué)文化品格的養(yǎng)成，及其背后核心素養(yǎng)的緩存.有如《課標(biāo)（2011版）》強(qiáng)調(diào)的那樣，數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中.教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識(shí)，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，形成數(shù)學(xué)史知識(shí)產(chǎn)生式，有助于“學(xué)好數(shù)學(xué)”.

在初中段，限于學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)事實(shí)以及教學(xué)時(shí)空的規(guī)約條件，筆者認(rèn)為基于數(shù)學(xué)思考、問題解決和數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)目標(biāo)維度，落地?cái)?shù)學(xué)史的常態(tài)教育功能更為可靠，通過抽象、推理和建模等理性思維行為，有助于提高數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)品格.

2.1 抽象行為，將數(shù)學(xué)史的“學(xué)術(shù)性”轉(zhuǎn)化為“教育性”，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考的發(fā)生

在數(shù)學(xué)史應(yīng)用范疇，抽象特指舍去數(shù)學(xué)史料的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)史研究對象的辯證思維過程.具體包括，史料的數(shù)量關(guān)系抽象、史料的圖形關(guān)系抽象以及史料的結(jié)構(gòu)關(guān)系抽象，并形成數(shù)學(xué)史的符號意識(shí)和表征系統(tǒng)，進(jìn)而建立一種內(nèi)在的數(shù)學(xué)自覺.當(dāng)然，抽象作為數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)實(shí)施的通用技術(shù)，一方面承擔(dān)數(shù)學(xué)史教學(xué)的工具作用，另一方面對數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的達(dá)成起著不可替代的作用.換句話說，就是從數(shù)學(xué)史的角度研究概念，有助于概念產(chǎn)生式形成，或者把概念放在數(shù)學(xué)史范疇學(xué)習(xí)，有助于數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的上位實(shí)現(xiàn).毋容置疑，任何一種概念教學(xué)法，都能部分地、不同層次地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考目標(biāo)，但是不用歷史的觀點(diǎn)去抽象概念，概念的理解是零散的、片面的、甚至是非本質(zhì)的.因此抽象是將數(shù)學(xué)史的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的根本途徑.

具體到課堂層面來說，數(shù)學(xué)史的抽象行為表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是情境性抽象;二是問題抽象（可歸結(jié)到問題解決范疇，雞兔同籠問題）;三是相似性抽象（可歸結(jié)到規(guī)律層面，達(dá)芬奇密碼）.就大尺度教學(xué)來說，所有的章頭課或概念起始課都屬于情境性抽象，只不過有的情境不帶有明顯的歷史色彩;有的情境“身著歷史的正裝”迎面走來，帶有強(qiáng)烈的歷史氣息，需要抽象方能剔除概念的非本質(zhì)屬性，把握概念的本質(zhì)特征.一般情況下，數(shù)學(xué)基本事實(shí)，就不帶有鮮明的歷史特征，而是一種科學(xué)的約定俗成;數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、規(guī)律以及公式常常打上歷史的烙印，數(shù)系的不斷擴(kuò)充就是數(shù)學(xué)史得以發(fā)展的一個(gè)例子.

不妨以“金字塔”這一情境史料的學(xué)術(shù)性，轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的應(yīng)用過程為例，說明數(shù)學(xué)史支配著數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的層次，促進(jìn)數(shù)學(xué)自信精神形成的作用.在七年級《數(shù)學(xué)》上冊課本中的第22頁，呈現(xiàn)的“金字塔”，目的是讓學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上，建立三角形的基本形象，即“△”.當(dāng)然，小學(xué)高年級學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了“現(xiàn)象屬性”的三角形，但是還沒有上升到概念的高度.為此四棱錐形狀的“金字塔”，可以讓學(xué)生直觀地抽象出三角形，并給出描述性定義以及符號化，有如△ABC.在使用過程中要注意以下三個(gè)方面，方能形成知識(shí)產(chǎn)生式.一是讓學(xué)生指出實(shí)物名稱，以及歷史意義，可由學(xué)生介紹金字塔相關(guān)的歷史知識(shí)，引發(fā)圖形的歷史屬性;二是指出該實(shí)物中涵蓋三角形的個(gè)數(shù)、三角形面積之間的關(guān)系以及三角形的“形象視差”;三是讓學(xué)生在抽象的基礎(chǔ)上，畫出“抽象”得到的三角形，并名稱化.這樣對三角形歷史性概念的認(rèn)識(shí)方式，就是將數(shù)學(xué)史的“學(xué)術(shù)性”轉(zhuǎn)化為“教育性”的常見方法.

2.2 推理行為，將數(shù)學(xué)史的“靜態(tài)性”轉(zhuǎn)化為“動(dòng)態(tài)性”，促進(jìn)問題解決的定向

在數(shù)學(xué)史教育范疇，推理是從一些數(shù)學(xué)史實(shí)或一類數(shù)學(xué)史命題出發(fā)，依據(jù)邏輯法則推出一個(gè)新命題的過程.主要涵蓋運(yùn)算推理、統(tǒng)計(jì)推理、合情推理和演繹推理、以及逆向思維推理和反例推理等，其中在數(shù)學(xué)史教學(xué)觀念下，運(yùn)算推理和合情推理的數(shù)學(xué)史學(xué)素養(yǎng)豐富.埃及數(shù)學(xué)中有一個(gè)精神數(shù)學(xué)層面的例子具有一定的啟發(fā)性，即萊茵德紙草書中第79題：7座房，49只貓，343只老鼠，2401棵麥穗，16807赫卡特（注：古代埃及的容量單位）.不證自明，這個(gè)數(shù)學(xué)史命題不是實(shí)際應(yīng)用中的問題，而是一類數(shù)字層面的、有規(guī)律的、純粹的數(shù)學(xué)題目.有人認(rèn)證，“這是帶有游戲性質(zhì)的幾何級數(shù)求和問題”[3].用中國人的數(shù)學(xué)史觀念看，就是一種運(yùn)算推理，或許古埃及人并沒有意識(shí)到獲取7n的思維過程就是數(shù)學(xué)推理，但至少說明一點(diǎn)，那就是推理行為能將數(shù)學(xué)史的“靜態(tài)性”轉(zhuǎn)化為“動(dòng)態(tài)性”，能將“休眠的知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“鮮活的知識(shí)”.因此，數(shù)學(xué)史滲透在知識(shí)學(xué)習(xí)背后，隱藏在問題解決中，需要化靜為動(dòng)、歸納提煉，尤其是反例推理、逆向推理、圖形推理都是動(dòng)態(tài)性數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的常見方式.

在《課標(biāo)（2011版）》看來，推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，涵蓋合情與演繹兩種形式，前者用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論;后者用于證明結(jié)論.在數(shù)學(xué)史認(rèn)知范疇，合情推理是從已有的數(shù)學(xué)史實(shí)出發(fā)，憑借史實(shí)經(jīng)驗(yàn)和史實(shí)直覺，通過歸納和類比以及轉(zhuǎn)化等推斷出某類數(shù)學(xué)史的本質(zhì)結(jié)果.為此，在應(yīng)用數(shù)學(xué)史的過程中需要做好三個(gè)層面的推理工作：一是用好運(yùn)算推理，讓學(xué)生形成科學(xué)的算理能力;二是用好“反例”教學(xué)，讓學(xué)生養(yǎng)成提出問題習(xí)慣;三是用好合情推理，讓學(xué)生獲得一些解決問題的基本方法，形成數(shù)學(xué)史思維方式，這才是數(shù)學(xué)理性發(fā)展的正確道路，有助于提高數(shù)學(xué)史的育人價(jià)值.

不妨以“1955年希臘郵票”的主圖作為“發(fā)現(xiàn)勾股定理”的一個(gè)思想承擔(dān)載體，說明合情推理、運(yùn)算推理是數(shù)學(xué)史得以開發(fā)、應(yīng)用的不可替代性，既顯化一種基本套路，又定向了問題解決目標(biāo).具體應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)史的思維程序如下：首先是呈現(xiàn)這枚郵票的主圖，讓學(xué)生在觀察思考的基礎(chǔ)上，交流各自的猜想與相關(guān)發(fā)現(xiàn)，并寫出可能的結(jié)論;其次是讓學(xué)生在方格紙中任意畫一個(gè)直角三角形，并以該直角三角形的三邊為邊，向外作正方形，利用“割補(bǔ)法”，在計(jì)算正方形面積的基礎(chǔ)上，獲取直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系（在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）;最后是讓學(xué)生在足夠大的方格紙上，任意畫一個(gè)銳角三角形和鈍角三角形，并分別以它們的三邊為邊，分別向外作正方形，猜想并證實(shí)各自三邊之間的數(shù)量關(guān)系（在銳角三角形中，較短兩邊的平方和大于最長邊的平方;在鈍角三角形中，較短兩邊的平方和小于最長邊的平方）.如果說，這里的“面積法”就是一種運(yùn)算推理，那么研究“銳角三角形和鈍角三角形三邊之間的關(guān)系”就是一種大尺度的反例推理，則“割補(bǔ)法”本身就是一種合情推理行為，終于勾股定理的猜想與發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).因此，數(shù)學(xué)史的價(jià)值不止于通過推理獲取知識(shí)，更在于邏輯推理背后的數(shù)學(xué)史思維的建立.

2.3 建模行為，將數(shù)學(xué)史的“冰冷性”轉(zhuǎn)化為“火熱性”，促進(jìn)知識(shí)關(guān)聯(lián)的定位

在數(shù)學(xué)史教學(xué)范疇，建模本身就是一種數(shù)學(xué)文化，一種對知識(shí)的關(guān)聯(lián)與思考，帶有方法體系的歷史特征，是數(shù)學(xué)史得以利用的重要途徑，能促進(jìn)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)的內(nèi)部規(guī)定性和外部聯(lián)系.這里主要涉及數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系的歷史性關(guān)聯(lián)（表1中的數(shù)學(xué)史“方程的解法”“韋達(dá)定理”等）和數(shù)學(xué)與外部世界的關(guān)聯(lián)（表1中的數(shù)學(xué)史“我能撬動(dòng)地球”“沙漏計(jì)時(shí)器”等）.正如《課標(biāo)（2011版）》指出的那樣，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程.就這一理解來說，課本中的數(shù)學(xué)史課例其本身就是很好的建模材料，這種建模涵蓋兩個(gè)思想側(cè)面，一方面是數(shù)學(xué)史的應(yīng)用建模，像“折竹問題”“引葭赴岸問題”就是一類帶有普遍性的例子;另一方面是創(chuàng)新使用數(shù)學(xué)史建模，像“分式游戲”“九宮圖與楊輝三角”就是“算術(shù)思維”過渡到“代數(shù)思維”建模創(chuàng)新的例子.也就是說，在認(rèn)知、應(yīng)用、創(chuàng)新的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)史料建模素養(yǎng)和創(chuàng)新品格，有助于數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)目標(biāo)的定位，有助于數(shù)學(xué)史教學(xué)“器識(shí)”（知識(shí)）的落地.正如希爾伯特在《數(shù)學(xué)問題》中強(qiáng)調(diào)的那樣，數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的整體，它的主要生命力在于各部分之間的聯(lián)系，在于讓學(xué)生在聯(lián)系中，將“冰冷美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱思考”.

就數(shù)學(xué)史的建模形態(tài)來說，一方面是有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的歷史現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的歷史問題，像“圖形的密鋪”就是一個(gè)可靠的例子;另一方面，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的數(shù)學(xué)史問題，這些問題抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的建模方法予以解決，像“出身不正的概率”就是一個(gè)典型的例子.這和著名的史學(xué)家波耶的觀念一脈相承，那就是如今很多數(shù)學(xué)課題，最初都是人們集中思考數(shù)、量、形等概念所帶來的產(chǎn)物.為此文[4]從數(shù)學(xué)史料建模的角度指出，從事例的角度看數(shù)學(xué)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“等于”，并且和學(xué)生一起，找出“等于”的本質(zhì)，那就是事物之間滿足反身性、對稱性、傳遞性的一種關(guān)系.在推廣的基礎(chǔ)上，就形成了“等價(jià)類”的概念.為此，數(shù)學(xué)史教育觀念下，建模關(guān)聯(lián)應(yīng)該表現(xiàn)在三個(gè)維度：一是將冰冷的數(shù)學(xué)史料轉(zhuǎn)化為思考形態(tài)的方程思想;二是將冰冷的圖形史料轉(zhuǎn)化為思考形態(tài)的函數(shù)思想;三是將數(shù)學(xué)史圖片語言轉(zhuǎn)化為符號思想.

不妨以著名的“雞兔同籠”問題為數(shù)學(xué)史建模的一個(gè)清樣，說明建模過程是如何用好史料，如何定位關(guān)聯(lián)和揭示模型特征的.具體建模行為及其史料的思考形態(tài)轉(zhuǎn)化過程如下：首先是讓學(xué)生在觀察圖片的基礎(chǔ)上，將“數(shù)學(xué)史文本”轉(zhuǎn)譯為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)文本”;其次，讓學(xué)生將“算術(shù)思維”轉(zhuǎn)化為代數(shù)思維;再次讓學(xué)生建立等號，也就建立等量關(guān)系，并尋求方法的多樣性，可以用“一元一次方程”解決，也可以用“二元一次方程組”來解決，體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)聯(lián)的本質(zhì);最后是讓學(xué)生尋找確立教材中的類同問題（“驢騾馱貨”問題等），并用方程模型解決，終于方程思想的發(fā)展和關(guān)聯(lián)目標(biāo)的“合法”定性.就大尺度數(shù)學(xué)史教學(xué)來說，觀察圖片抽象特征的過程，就是就緒圖片語言轉(zhuǎn)化為符號語言的思考形態(tài);在轉(zhuǎn)譯分析的基礎(chǔ)上，“提煉文本數(shù)量關(guān)系+確立等號”的過程就是一種函數(shù)行為;建立方程、求解、驗(yàn)證與解釋就是火熱思考的數(shù)學(xué)史教育，有助于學(xué)生自覺數(shù)學(xué)行為的養(yǎng)成和建模能力的發(fā)展.

3 ?后續(xù)思考

抽象、推理和模型是數(shù)學(xué)的三種基本思想，貫穿在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教育的字里行間.就數(shù)學(xué)史教育的表現(xiàn)形態(tài)來看，抽象就是用數(shù)學(xué)史的眼光來觀察世界，推理就是用數(shù)學(xué)史的思維來思考世界，模型就是用數(shù)學(xué)史的語言來描述世界.這就在一定層面強(qiáng)調(diào)了“文化的繼承與創(chuàng)新統(tǒng)一”[5]的數(shù)學(xué)教育屬性.也就是說，數(shù)學(xué)史教學(xué)實(shí)施，既是一種數(shù)學(xué)育人形態(tài)的轉(zhuǎn)變，也是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的通用技術(shù)，具體認(rèn)識(shí)思考如下.

關(guān)于用數(shù)學(xué)史的眼光觀察世界.就是通過數(shù)學(xué)抽象，把外部世界的豐富史料與數(shù)學(xué)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系抽象到數(shù)學(xué)史教育形態(tài)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)史的研究對象.有如從古埃及的“金字塔”抽象出“三角形”這一研究對象，進(jìn)而成為“認(rèn)識(shí)三角形”的思維起點(diǎn)，有助于數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)的發(fā)展和緩存，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).

關(guān)于用數(shù)學(xué)史的思維思考世界.也就是通過邏輯推理，得到數(shù)學(xué)史實(shí)層面的基本命題和計(jì)算方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)歷史內(nèi)部關(guān)系的轉(zhuǎn)化和聯(lián)結(jié).有如“反例”的使用就能否定一個(gè)命題的正確性，這就是一種大尺度運(yùn)算推理.再如著名的“合情割補(bǔ)法”，讓那枚“1955年希臘郵票”具有紀(jì)念意義，甚至價(jià)值連城，這就是最好的史學(xué)教育形態(tài)，反哺了問題解決能力.

關(guān)于用數(shù)學(xué)史的語言表征世界.就是通過數(shù)學(xué)史模型，創(chuàng)造出具有表象力的數(shù)學(xué)史語言特征，表征數(shù)學(xué)與外部世界的歷史性思維橋梁.有如“雞兔同籠”問題的使用與關(guān)聯(lián)，能讓學(xué)生感知方程思想“并不難”，這就是用好數(shù)學(xué)史的經(jīng)典例證，形成了數(shù)學(xué)認(rèn)知產(chǎn)生式.

參考文獻(xiàn)

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