借助直觀模型，促進(jìn)算理與算法的有效融合

楊琳 杜英兵

摘 要：借助直觀模型，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，用直觀模型感悟算理，促進(jìn)算理與算法的有效融合。

關(guān)鍵詞：直觀模型;建立數(shù)感和符號(hào)意識(shí);算理與算法

一、研究背景

本文以兩位教師執(zhí)教兩節(jié)公開課為例，研究借助直觀模型，促進(jìn)算理與算法的有效融合，提升學(xué)生直觀抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要讓孩子獲得四基（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)），增強(qiáng)四能（發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力），理解核心概念。怎樣計(jì)算是教學(xué)的重要內(nèi)容，但僅此絕不充分，還要讓孩子明白為什么這么計(jì)算，也就是必須明白算理。實(shí)現(xiàn)算理與算法的融會(huì)貫通。直觀模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料，如小棒、計(jì)數(shù)器、長(zhǎng)方形或圓形圖、直線等。而只有用好直觀模型才能更好地促進(jìn)算法與算理有效融合?！八憷怼笔菍W(xué)生走向“算法”的橋梁，是學(xué)生學(xué)習(xí)“算法”的知識(shí)基礎(chǔ)，而“算法”是學(xué)生學(xué)習(xí)的中心任務(wù)。處理好算理和算法的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生循“理”入“法”，以“理”馭“法”，要借助模型，建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)算理與算法的融會(huì)貫通。將“借助直觀模型，促進(jìn)算理與算法的有效融合”作為研究主題，以此為抓手，對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中存在的問題進(jìn)行反思、總結(jié)，在研究中促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展和學(xué)生運(yùn)算能力的提高。

二、研究?jī)?nèi)容

1.用好直觀模型，促進(jìn)對(duì)算理的“真”理解。

2.借助直觀模型，建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)算理與算法的有效融合。

3.深入理解算理和算法的內(nèi)涵。

4.進(jìn)一步明晰算理與算法的關(guān)系，探討在教學(xué)中如何借助直觀模型，促進(jìn)算理與算法的有效融合。

5.探討教學(xué)中如何借助直觀模型，促使算理直觀和算法抽象有效融合的具體措施。

三、研究目標(biāo)

1.引領(lǐng)教師圍繞專題學(xué)習(xí)、思考、實(shí)踐，在科學(xué)理論的指導(dǎo)下，尋求計(jì)算教學(xué)中借助直觀模型，促進(jìn)算理與算法的有效融合，促進(jìn)教師專業(yè)成長(zhǎng)。

2.引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的算理和有效的算法，提高計(jì)算的效率，提升學(xué)業(yè)成績(jī)，激發(fā)學(xué)習(xí)計(jì)算課的熱情，體驗(yàn)學(xué)習(xí)計(jì)算課的快樂。

3.打造研究型的教師隊(duì)伍，將教學(xué)推向科研的軌道，促進(jìn)學(xué)校教學(xué)科研可持續(xù)發(fā)展。

四、研究過程

1.深入鉆研教材，全面整理小學(xué)階段計(jì)算課教學(xué)內(nèi)容及目標(biāo)

理論學(xué)習(xí)后，我校數(shù)學(xué)教師明確《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)“算理和算法”相關(guān)的教學(xué)指導(dǎo)意見，深入鉆研教材，對(duì)小學(xué)階段整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行全面的整理，并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行分析。從中我們發(fā)現(xiàn)對(duì)計(jì)算課中的“算理”和“算法”教學(xué)目標(biāo)的表述所使用的行為動(dòng)詞有所不同，“算理”使用“理解”“經(jīng)歷……過程”“探索”等描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞，“算法”使用了“會(huì)”“能”“掌握”等描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞。

2.圍繞專題研究?jī)?nèi)容，采用“三備課兩執(zhí)教”的教研模式扎實(shí)開展研究

專題研究的有效開展離不開課堂教學(xué)，立足于課堂，邊研究邊實(shí)踐，才能將所學(xué)的學(xué)科理論知識(shí)內(nèi)化為我們的教學(xué)行為。為此，我們把專題的研究和日常教學(xué)活動(dòng)緊密地結(jié)合起來(lái)。低段備課組根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定了相應(yīng)的專題研究?jī)?nèi)容和計(jì)劃。采用“三備課兩執(zhí)教”的教研模式開展課例研究，并將研究的全過程記錄下來(lái)，確保專題研究扎實(shí)有效?！叭齻湔n兩執(zhí)教”教研模式，即執(zhí)教教師第一次備課后，將教學(xué)設(shè)計(jì)發(fā)送到低段備課組群，全體數(shù)學(xué)教師在集體備課時(shí)評(píng)論、研討，執(zhí)教教師參考建議，修改教學(xué)設(shè)計(jì)，進(jìn)行二次備課。接著開始第一次正式執(zhí)教，組織教師聽、評(píng)課，請(qǐng)骨干教師指導(dǎo)教學(xué)，查找存在的問題。根據(jù)指導(dǎo)建議，進(jìn)行第三次備課，最后第二次執(zhí)教，上好專題研究展示課，將研究的成果與全體教師分享。

五、如何借助直觀模型，促進(jìn)算理與算法有效融合的策略

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”?？v觀兩節(jié)課，教師都舍得花時(shí)間，慢下來(lái)，借助直觀模型，讓學(xué)生去說(shuō)理，去感悟算理，去理解每一步運(yùn)算的道理，然后掌握具體的計(jì)算方法，形成計(jì)算技能。只有學(xué)生明確了算理和具體的方法，在生活中才能靈活、簡(jiǎn)便地進(jìn)行交流。“如何借助直觀模型，促進(jìn)算理與算法有效融合”便成為有效實(shí)施計(jì)算教學(xué)的根本點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)。

1.借助直觀操作，利于學(xué)生“知其然”

A老師執(zhí)教的“100以內(nèi)數(shù)的不退位減”，先出示情景圖（人教版二年級(jí)上冊(cè)17頁(yè)的情景圖）引導(dǎo)學(xué)生觀察思考并提出問題列出算式36-23=。怎樣計(jì)算36-23呢？①擺一擺：請(qǐng)用小棒擺一擺，并思考如何計(jì)算36-23。師問3捆小棒3表示什么？6根小棒6表示什么？②畫一畫：請(qǐng)?jiān)趯?dǎo)學(xué)單上畫一畫，用圓片圖來(lái)表示36-23的計(jì)算過程。老師把小棒換成圓片在黑板上直觀演示，老師又問：“十位上的3表示什么？個(gè)位上的6表示什么？”緊接著老師演示課件讓學(xué)生觀察，口述過程，強(qiáng)調(diào)從個(gè)位的6個(gè)中去掉3個(gè)，從十位的3個(gè)中去掉2個(gè);③寫一寫：結(jié)合學(xué)過的加法的豎式寫法，嘗試寫出36-23的豎式計(jì)算。如何列豎式筆算？小組討論，

匯報(bào)，老師根據(jù)學(xué)生的口述列出算式;④列豎式計(jì)算時(shí)應(yīng)注意什么？⑤歸納算法，先從哪位算起？再算哪位？借助學(xué)生已有的口算方法進(jìn)行豎式計(jì)算，借助直觀模型操作幫助學(xué)生明白一般先做什么，再做什么，最后做什么？逐步經(jīng)歷從動(dòng)作思維到形象思維，再到抽象思維的過程，讓學(xué)生真正從操作中有所收獲，學(xué)生將操作中獲得的感性認(rèn)識(shí)抽象“豎式”這一數(shù)學(xué)符號(hào)。學(xué)生在動(dòng)思相融的操作過程中，理解“形”和“數(shù)”之間的聯(lián)系。

2.在直觀的動(dòng)手操作中經(jīng)歷算理的探索過程，使學(xué)生真正“知其然”

B老師執(zhí)教“退位減”課中，解決51-36看似簡(jiǎn)單的計(jì)算，但要真正使學(xué)生理解，也不簡(jiǎn)單。在學(xué)生利用已學(xué)的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)解決這個(gè)問題的基礎(chǔ)上，把課的重心放在兩位數(shù)減兩位數(shù)的退位減的算理上，形成算法。51-36=。你會(huì)算嗎？引導(dǎo)學(xué)生擺小棒，在學(xué)生擺小棒的過程中老師提問：①為什么要拆開5捆中的一捆嗎？不拆可以嗎？②現(xiàn)在應(yīng)該怎么減？減完后還剩下幾捆幾根？從而引出列豎式計(jì)算想一想先算什么？夠減嗎？怎么辦？水到渠呢，個(gè)位不夠減從十位退1。演示算理的同時(shí)書寫豎式，就將抽象的豎式與形象的直觀模型建立，豎式中的每一部分對(duì)應(yīng)模型中的相應(yīng)部分。在這種“轉(zhuǎn)化”過程中學(xué)生理解了為什么這樣轉(zhuǎn)化，也就是理解了算理。

3.溝通知識(shí)間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“知其所以然”

計(jì)算方法是一個(gè)逐漸領(lǐng)悟的過程，在算理直觀與算法抽象之間架設(shè)一座橋梁，讓學(xué)生充分體驗(yàn)逐步完成動(dòng)作思維到形象思維，再到抽象思維的過程。B老師讓學(xué)生對(duì)比36-23與51-36，這兩道題在計(jì)算上有什么相同點(diǎn)，有什么不同點(diǎn)？如何進(jìn)行兩位數(shù)減兩位數(shù)的豎式計(jì)算？計(jì)算時(shí)要注意什么？學(xué)生在親身經(jīng)歷“結(jié)果”形成的過程中發(fā)展思維。教學(xué)中沒有刻意追求得出所謂形式上的計(jì)算法則，但學(xué)生所說(shuō)的不就是算理算法的核心嗎？“理”通了，“法”就順了。借助直觀，為學(xué)生理解算理提供支撐的直觀材料，建立感悟算理橋梁，從而達(dá)到算理與算法的有效融合。

4.讓錯(cuò)誤成為資源，通理曉法，夯實(shí)計(jì)算基礎(chǔ)

孩子在計(jì)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，往往被我們認(rèn)為是習(xí)慣不好，粗心大意，極易被忽視。殊不知這種“忽視”會(huì)讓“馬虎”的幌子掩蓋了問題的真相，是孩子算理不通，還是算法不明，只有辨別清楚“真?zhèn)巍敝螅拍軒椭⒆油ɡ頃苑?，?duì)癥下藥。在計(jì)算教學(xué)中，我最深刻的感受是：計(jì)算教學(xué)要理法融合，用好直觀模型，理清“算理”，才能探得“通理曉法”這朵花。

六、研究成效

1.學(xué)生的變化

（1）學(xué)生的學(xué)習(xí)方式變了

從前學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是灌輸式、注入式，所以他們?cè)趯W(xué)習(xí)算法時(shí)被動(dòng)接受算法。而現(xiàn)在，借助直觀模型，學(xué)生可以在活動(dòng)中自主探究算理，真正做到將算理與算法有效融合。

（2）學(xué)生的計(jì)算能力在逐步提高

從學(xué)生的作業(yè)和試卷中我們可以清晰地看到學(xué)生的錯(cuò)題在逐漸減少，在期末測(cè)評(píng)及平時(shí)的計(jì)算能力競(jìng)賽中，我們都會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)結(jié)果表示學(xué)生的正確率上去了，計(jì)算能力提高了！

2.教師的變化

（1）教師教學(xué)方式變了

傳統(tǒng)的教學(xué)方式是教師一張嘴、一支粉筆，從頭講到尾。而現(xiàn)在教師在課堂上運(yùn)用“討論”“探究”“情境”“發(fā)現(xiàn)”等方法，真正使學(xué)生成為課堂主人，而教師則是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。

（2）促進(jìn)教師整體素質(zhì)的提升

在多次的專題研討及課堂教學(xué)展示活動(dòng)中，教師都能圍繞“借助直觀模型，促進(jìn)算理與算法的有效融合”進(jìn)行深入探討，在研究中不斷反思、總結(jié)，提升了自身業(yè)務(wù)素質(zhì)及教科研水平。

七、研究中的困惑及今后研究方向

在專題研究的過程中，我校數(shù)學(xué)教師教學(xué)理念發(fā)生了很大的轉(zhuǎn)變，在教學(xué)中不斷改善教學(xué)方法，在計(jì)算教學(xué)中算理和算法得到了有效融合，學(xué)生的計(jì)算能力明顯提升。同時(shí)在研究過程中也遇到了一些困惑，如，教學(xué)中個(gè)別教師專注于理解算理，用了大量時(shí)間讓學(xué)生去探索算理，算法練習(xí)的時(shí)間相對(duì)減少，總感覺40分鐘不夠用等。在計(jì)算教學(xué)中，如何把握算理和算法教學(xué)時(shí)間的合理分配;如何處理算法多樣化和算法優(yōu)化之間的關(guān)系;如何將計(jì)算與應(yīng)用問題進(jìn)行融合;如何處理估算和精算之間的關(guān)系等成為擺在當(dāng)前計(jì)算教學(xué)中亟須解決的問題，希望得到各位專家及同行的指導(dǎo)。

針對(duì)以上困惑及問題，在今后的工作中我們將繼續(xù)扎實(shí)開展借助直觀模型，促進(jìn)算理與算法有效融合策略的研究工作，將專題做得更細(xì)致，進(jìn)而確保專題研究的高水平、高質(zhì)量！

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基金項(xiàng)目：本文系寧夏第五屆基礎(chǔ)教育教學(xué)課題“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：JXKT-ZS-05-078）的研究成果。

編輯 王亞青