數(shù)學教學應凸顯邏輯連貫性
——以“圓錐曲線”教學為例

一、教材設計與教學現(xiàn)狀

蘇教版高中數(shù)學選修2-1教材編寫人員在相關教學參考用書中提醒廣大教師“圓錐曲線”這一章的內容可以采用兩種不同的方法組織教學：方法一是把橢圓、雙曲線和拋物線合起來作為一個整體，先討論它們的定義，再求它們的方程，最后研究它們的幾何性質及應用，這樣做可以使學生對圓錐曲線有一個統(tǒng)一的認識，也可以節(jié)省教學時間，但教學難度較大；方法二是分別研究橢圓、雙曲線和拋物線，對每一種曲線按定義、方程、幾何性質分別討論，這樣做，學生較容易接受，但削弱了幾種圓錐曲線之間的聯(lián)系，使得知識凌亂，重復過多。

教材對本章的總體設計思路是“總—分—總”，即先從整體上認識圓錐曲線的概念，了解橢圓雙曲線和拋物線的內在聯(lián)系，再運用方程思想分別研究橢圓雙曲線拋物線的幾何性質，進而通過統(tǒng)一定義從總體上進一步認識三種圓錐曲線的關系。

根據(jù)筆者的觀察，一線教學中不少教師對本章的教學拘泥于教材的設計，在教學邏輯上不夠連貫。常見的情形如下——

情形1 在探究“截線上任意一點到兩個定點的距離之和等于常數(shù)”這一教學過程中，教師缺少明確的目標引領，似乎是拖著學生學習：添兩個輔助球，在截線上任取點M，過點M作母線，證明點M到兩切點的距離之和是定值（當然，這確實是教學難點）。學生一路迷茫，不知下面將會發(fā)生什么，直至最后才感受到了結論的神奇、數(shù)學的偉大。

情形2 有的教師通過課件的動態(tài)展示，讓學生類比猜想截線上的點有什么特征，直接引出雙曲線定義；有的教師則幫助學生引進“Dandelin雙球”，去證明截線上任一點到兩定點的距離之差的絕對值是常數(shù)，再給出雙曲線定義。對于前者來說，難度極大，偶然性太強；對于后者，當堂再證一次，還是只能拖曳著學生學，既浪費時間，又剝奪了學生創(chuàng)造性思維的空間與機會。

情形3 大多授課教師都遵循教材，直白給出：截線上任一點到平面內一個定點的距離與到一條定直線的距離相等，從而揭示拋物線的定義。

情形4 多數(shù)教師對橢圓定義中“常數(shù)大于F1F2”、雙曲線定義中“常數(shù)小于F1F2”等知識點的講解是事后修繕、補充解釋，缺少學生的主動探究與知識生成。

情形5 也有少數(shù)教師跳過第一節(jié)圓錐曲線不教，直接教第二節(jié)橢圓，等雙曲線拋物線分別教完以后，再點出其實橢圓、雙曲線和拋物線都可以通過用不同方向的平面去截圓錐面而得，因而統(tǒng)稱為“圓錐曲線”。這樣的處理在每種曲線定義的引入上比較突兀，缺乏連貫性，讓學生失去了對它們豐富多彩的內在聯(lián)系的探究之趣。學生失去了自我創(chuàng)造的沖動與幸福感，更缺少了對內隱于教材的核心問題（解析法、定點定值問題、軌跡問題）的認識與升華。

二、凸顯邏輯連貫性的教學實踐

這一章到底該如何起步，筆者經(jīng)過幾輪教學實踐，深感邏輯連貫的重要性不容忽視，應以此為核心思想來組織教學，下面是筆者對本章起始課的教學實錄。

問題1：平面內到一定點的距離等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程，畫出此軌跡。

問題2：請將問題1稍作修改，編制一些類似的新問題。

生1：將平面內改成空間中，即“空間中到一定點的距離等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”。

師：很好，從平面問題拓展到空間問題是我們常用的類比思維方式，平面問題空間化、空間問題平面化也是我們常用的化歸轉化策略。現(xiàn)在我們學習的課程是平面解析幾何，接下來請保持“平面內”這個大前提條件不變，眼光聚焦到其他條件再作變化創(chuàng)造。

生2：將一定點改成一定直線，即“平面內到一定直線的距離等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”。

師：很好，“點”換成“直線”是一種很有價值的變式思維，是一種很好的“升維”方式，提升了思維層次。請再換個角度思考問題，用更數(shù)學化的眼光看待問題，換一種“升維”方式，繼續(xù)變題。

生3：將一定點改成兩定點，即“平面內到兩定點的距離等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”。

師：很好，從一個到兩個是一種非常自然的變化方式，也是一種極為經(jīng)典的“升維”方式，請問此題答案是什么？大家不妨討論交流一下。

生4：是兩個圓的公共點，可能是兩個點，也可能是一個點或不存在公共點。

師：很好，也就是說這樣的點只有有限個或不存在，因而這個變題的研究價值不是特別大。能否在此基礎上略作調整，使其更具研究價值？大家可以再討論一下。

師：我們在“圓的方程”一章中，曾經(jīng)有一個經(jīng)典習題與此密切相關，想起來了嗎？

生5：想起來了！“平面內到兩定點的距離之比等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”。

師：此答案是——

眾學生：圓。

生6：不一定，要分類討論！如果定值為1，那么軌跡是一條直線；如果定值不為1，那么軌跡是一個圓。

練習1：已知線段AB的長為2，求到點A、B的距離之比為λ的點的軌跡方程，并畫出此軌跡。

師：剛才將“一定點”換成“兩定點”，是很有意義的突破，將極大地拓寬研究領域。但剛才后面還要隨之應變?yōu)椤熬嚯x之比為定值”，只能這樣變嗎？請嘗試其他方案。

生7：后面還可變?yōu)椤熬嚯x之和為定值”“距離之差為定值”“距離之積為定值”。

師：太好了！同學們帶出了一串問題，展示出了非常寶貴的數(shù)學思維品質，今天我們先研究“距離之和為定值”的情況。

練習2：已知線段F1F2的長為常數(shù)2c，動點P到定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)2a。求動點P的軌跡方程，并畫出此軌跡。

師：關于軌跡問題，剛才我們已經(jīng)積累了這樣的經(jīng)驗：有些可以“未算先畫”（即不必求出軌跡方程，就可以直接畫軌跡），有些只能“先算再畫”（即先求出軌跡方程，再根據(jù)方程畫出圖形）。此題到底路在何方呢？請同學們合作解決這個問題，第一、二小組的同學嘗試未算先畫的途徑，第三、四、五、六小組的同學嘗試先算再畫的途徑，并各派一個代表上來板演。

教師適時提醒學生用預先備好的釘子和繩子來進行模擬。讓學生為所畫出的圖形命名，最后達成共識稱其為“橢圓”，并引出橢圓的定義。

練習3：請列舉一些我們生活中見到過的橢圓。

練習4：課件演示用平面去截圓錐面，請問所得的截線是否為橢圓？

教學過程中發(fā)現(xiàn)，先算再畫的學生在探求方程時都能主動地先建立好直角坐標系，且基本都是以線段F1F2所在直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建系，教師在肯定學生具有對稱美、和諧美的審美觀的同時，提醒他們思考這是否是唯一的合理方案，從而讓學生主動意識到“以F1F2所在直線為y軸，線段F1F2的中點為原點建系”也是值得一試的合理方案，再請兩個學生代表分別板演這兩種方法，最后引出橢圓的標準方程。

練習5：將x2+y2=4圓上各點的橫坐標不變，縱坐標都變?yōu)樵瓉淼囊话胨玫男聢D形是怎樣的，請先畫出來，再說出其名稱及理由，最后再寫出其方程。

三、關于數(shù)學教學邏輯連貫性的反思

首先，要有明朗的主線。面對變化多端、奧妙無窮的數(shù)學問題，很多學生只能仰慕其高深，感嘆其莫測，敬而生畏。而我們教師則往往怨學生缺少復習整理、歸類練習。除此之外，我們能否堅持在知識的初次生成時就以清晰的脈絡、明朗的主線呈現(xiàn)出來呢？在不影響培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力的同時，教師能否創(chuàng)造性地讓學生感到知識不是那么錯綜復雜呢？

本課例是以求動點的軌跡方程為主線，且這些動點滿足的條件是學生自發(fā)提出的，是在某一個母問題的基礎上演變生成的一系列子問題，由這樣一條簡潔明朗的主線串起來的問題對學生而言是親切自然的，是有探究欲望的，層次分明的問題本身及其解決方案會留在他們記憶深處。

其次，要有厚實的基礎。例如在本課例中，需要教師在教學蘇教版高中數(shù)學教材必修2“直線與圓”一章時就開始謀劃，通過探究直線方程，用聯(lián)想類比的手段探究圓的方程，讓學生深刻體會建立坐標系的必要性、科學性，并及時歸納提煉出求一般曲線方程的一般步驟，這是本節(jié)課的主線。如果離開了以上種種根基的支撐，邏輯思維的起點在哪？創(chuàng)造性地變式思維靈感哪里來？又何談連貫？所以若沒有大局意識、沒有大視野下的謀劃、鋪路搭橋去談某節(jié)課的邏輯連貫性必將捉襟見肘。

最后，要在知識鏈條中生長出新問題。例如在本章中，上完“橢圓”后教師可將學生7的問題“平面內到兩定點的距離之差等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”作為新一輪的邏輯思維起點，先簡單回顧“橢圓”的學習流程，從而自覺地進行類似探究，依次畫出雙曲線、得出雙曲線的定義、求出雙曲線的方程、研究雙曲線的性質。

上完“雙曲線”后，教師可將學生5的變題“平面內到兩定點的距離之比等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”作為邏輯思維起點，先回想其答案是什么？怎么推導的？然后讓學生繼續(xù)變題，創(chuàng)造性地提出新問題。當遇到障礙時再略作引領，由學生提出并一起思考“平面內到一個定點與到一條定直線的距離之比等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”。可以先研究定值為1的情形，從而引出對“拋物線”的學習。

上完“拋物線”一節(jié)后，教師可以引導學生再回顧第一課時中的練習4，通過閱讀教材，部分學生應該能解釋清楚該截線上任一點都滿足橢圓定義。然后變換截割方向，讓學生先猜想所得截線分別是什么圖形，然后依據(jù)相關定義說明理由，從而引出圓錐曲線的概念。

在教學教材“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”時，教師可以提出以下問題來進行連貫性教學：

①橢圓、雙曲線、拋物線有哪些共同屬性？（從運動生成的方式來看，都可以用平面截圓錐面而得）

②三者的方程呢？（橢圓與雙曲線相似，拋物線與它們差異很大）

③三者的定義呢？（橢圓、雙曲線都是到兩定點的距離問題，很相似，拋物線是到一個定點與到一條定直線的距離問題，與它們差異很大）

④那拋物線是否也可以看作平面內到兩個定點的距離關系問題呢？（和、差、商都研究過了，那會否是積呢？）

⑤反過來，橢圓、雙曲線是否像拋物線那樣，是平面內到一個定點的距離與到一條定直線的距離關系問題呢？（經(jīng)過一番探究，排除了和、差、積的可能，問題逐漸聚焦到：平面內到一個定點與到一條定直線的距離之比等于定值λ的點的軌跡是什么？λ=1時，已研究得知軌跡是拋物線，λ≠1時，軌跡又是什么？）

總之，邏輯連貫性要求我們不拘一格處理教材，要在原有知識鏈中自然生長出新問題，讓學生自發(fā)生成聯(lián)系密切的問題串，其中部分問題需趁熱打鐵解決掉，有些則需要給學生留出足夠的時空，在合適的時機再回首解決。