基于ICoSaMP重建的TDCS寬帶壓縮感知算法*

劉 洋，任清華，2，蘇玉澤，王桂勝，徐兵政

（1.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077；2.中國電子科技集團(tuán)航天信息應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050081）

0 引言

變換域通信系統(tǒng)（Transform Domain Communication System，TDCS）是認(rèn)知無線電的候選技術(shù)之一，因其在低信噪比環(huán)境下具有良好的通信抗干擾性能以及靈活的頻譜接入方式等優(yōu)勢受到廣泛關(guān)注，具有良好的發(fā)展前景[1]。

由于TDCS具有很強(qiáng)的抗干擾性能，因此，非常適合于軍事通信抗干擾領(lǐng)域，在電子對抗過程中敵對雙方采取的干擾方式通常是有精確式干擾，包括單音干擾、多音干擾、窄帶干擾和寬帶干擾等方式，再加之TDCS的通信環(huán)境是一個(gè)低信噪比的寬帶環(huán)境，其無線頻譜具有明顯的稀疏特性，因此，將壓縮感知理論引入到TDCS寬帶頻譜感知的領(lǐng)域中。

目前國內(nèi)在TDCS寬帶壓縮頻譜感知領(lǐng)域研究較少，高成林[3]等人提出了一種基于時(shí)頻二維壓縮的MIMO-TDCS壓縮感知信息反饋方法。李楠[4]等人針對TDCS寬帶壓縮感知使用隨機(jī)性觀測矩陣存在的局限，提出一種確定性嵌入式混沌序列-循環(huán)Toeplitz結(jié)構(gòu)壓縮感知觀測矩陣構(gòu)造方法。

壓縮感知技術(shù)的關(guān)鍵問題就是如何快速精確地重建原始信號，之前的學(xué)者研究TDCS寬帶壓縮頻譜感知所使用的重建算法都是基于已知稀疏度條件下的傳統(tǒng)算法，如匹配追蹤（MP：Matching Pursuit）算法、正交匹配追蹤算法（OMP：Orthogonal Matching Pursuit）和壓縮感知匹配追蹤算法（CoSaMP：Compressive Sampling Matching Pursuit） 等 。 其 中CoSaMP算法是在OMP算法基礎(chǔ)上的改進(jìn)，添加了“回頭檢驗(yàn)”的思想，即將每次迭代選入支撐集的原子重新檢驗(yàn)，符合條件則留在支撐集，反之刪除不符合條件的原子。

針對上述問題，本文提出了一種盲稀疏度的ICoSaMP（Improved Compressive Sampling Matching Pursuit）算法。該算法利用頻帶占用率對信號的稀疏度進(jìn)行估計(jì)，利用相鄰兩次迭代的殘差之差小于某個(gè)閾值作為迭代終止條件，同時(shí)設(shè)置了殘差比系數(shù)，降低系統(tǒng)噪聲的影響。仿真結(jié)果表明，在相同信噪比和稀疏度條件下ICoSaMP算法相比于CoSaMP算法在重構(gòu)概率方面有顯著提高，在盲稀疏度條件下ICoSaMP算法的重建均方誤差低于CoSaMP算法。

1 TDCS寬帶頻譜感知的模型描述

設(shè)TDCS的工作帶寬為B，授權(quán)用戶隨機(jī)占用一部分頻段，其余頻段處于空閑狀態(tài)，因此，寬帶信號在頻域具有一定的稀疏性。如圖1所示。

圖1 寬帶頻譜感知模型

在TDCS前端構(gòu)建寬帶壓縮感知框架如圖2所示。

圖2 TDCS寬帶壓縮感知框架

AIC為模擬信息轉(zhuǎn)換器，其以壓縮感知理論為基礎(chǔ)，可以直接對模擬信號邊采樣邊壓縮，從而得到離散的觀測向量y為：

其中，F(xiàn)為N×N離散傅立葉變換矩陣，s為x的頻譜，有K個(gè)非零值，并且K＜M，被稱作信號s的稀疏度。將式（2）代入式（1）中得

其中，Θ為M×N維觀測矩陣，其需要滿足約束等距特性（RIP）、零空間特性以及非相關(guān)性（Incoherence）等條件。

對于式（4）的求解，通常通過求解一個(gè)基于e0范數(shù)最小化的問題來重建頻譜s，然后利用式（2）反解出信號x。

這種求解方式得到的解是最優(yōu)的，但求解式（5）仍然是個(gè)NP難題。為此壓縮感知理論采用的主要方法是將e0范數(shù)最小化問題轉(zhuǎn)化為e1范數(shù)最小化問題，并且利用線性規(guī)劃的思想來求解信號的重建[5]。文獻(xiàn)[6]表明e1最小范數(shù)與e0最小范數(shù)在一定條件下具有等價(jià)性。因此，式（5）可以寫為

目前解決這類凸優(yōu)化問題主要使用貪婪算法，作為解決上述重建問題的快速有效算法，目前其主要包括匹配跟蹤算法（MP）、分段匹配跟蹤算法（StOMP）、正交匹配跟蹤算法（OMP）和壓縮感知匹配追蹤算法（CoSaMP）等。

2 CoSaMP算法

與其他貪婪算法相比，CoSaMP算法的優(yōu)點(diǎn)是在每次迭代的過程中能識別多個(gè)原子，從而能夠快速收斂，同時(shí)添加了“回頭檢驗(yàn)”的思想，使得重構(gòu)精度提高，避免了閾值選擇的難題。其算法偽碼如下。

輸入：觀測矩陣Θ，測量值y，稀疏度K。

1）m=m+1。

6）終止判決，若 m＜K，則返回 1），否則執(zhí)行 7）。

3 殘差比閾值迭代終止條件設(shè)置

文獻(xiàn)[7]針對傳統(tǒng)迭代終止條件的不足，設(shè)計(jì)了一種新的殘差比閾值迭代終止條件，解決了傳統(tǒng)迭代終止條件在低信噪比下的不足。

首先，測量值y可以分解為

本文借鑒以上思想，對CoSaMP算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種盲稀疏度的ICoSaMP算法。

4 盲稀疏度的ICoSaMP算法

4.1 算法分析

根據(jù)第2節(jié)針對CoSaMP算法的分析可知，其最大的缺陷就是需要知道信號稀疏度這樣的先驗(yàn)信息，并且將其作為迭代次數(shù)，這使其在實(shí)際應(yīng)用中的潛力大打折扣。第3節(jié)針對傳統(tǒng)迭代終止條件的不足，設(shè)計(jì)了一種殘差比閾值迭代終止條件，一定程度上克服了重建信號的過程在較低信噪比下的影響。

由以上分析，可將殘差比閾值迭代終止條件應(yīng)用到CoSaMP算法作為迭代終止條件而不依賴信號稀疏度K，即每迭代一次可以算出該次的殘差比fm，再將其與設(shè)定的閾值θ進(jìn)行比較，若fm＜θ，則迭代停止，輸出，否則繼續(xù)迭代，直到fm＜θ為止。對于CoSaMP算法在迭代過程中出現(xiàn)的稀疏度K，可以由該頻段的占用情況進(jìn)行估計(jì)。

在TDCS實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中，信號的稀疏度很難獲得，但是某個(gè)頻段的占用率范圍這個(gè)指標(biāo)很容易求得，通常通過頻譜檢測儀器在一定區(qū)域內(nèi)對某個(gè)頻段進(jìn)行檢測獲得，也可以對相關(guān)頻譜管理部門進(jìn)行問詢來獲得長期的調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，得到頻帶占用率范圍之后就可以對信號的稀疏度進(jìn)行一個(gè)粗略估計(jì)，例如美國相關(guān)研究部門對30 MHz～3 GHz這個(gè)頻段內(nèi)的頻譜占用情況進(jìn)行調(diào)查，其結(jié)果是5.2%～13.1%，因此，該頻段的稀疏度范圍為N×5.2%～N×13.1%，其中N為Nyquist采樣頻點(diǎn)數(shù)，稀疏度估計(jì)值K′在該范圍取便可。

4.2 算法流程

ICoSaMP算法的偽碼如下：

輸入觀測矩陣Θ，觀測值y，稀疏度估計(jì)值K′

2）m=m+1。

7）迭代判決，如果 fm＜θ，則執(zhí)行 8），否則返回2），閾值的取值范圍通常為0.1～0.5。

算法結(jié)束。

在改進(jìn)后的ICoSaMP算法中，不需要知道信號稀疏度K這個(gè)先驗(yàn)信息，只需知道所研究頻段的占用率即可，而這個(gè)參數(shù)在實(shí)際應(yīng)用過程中很容易獲得。該算法另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是融合了殘差比閾值迭代終止條件進(jìn)而產(chǎn)生步驟7）迭代判決過程，代替了信號稀疏度這個(gè)迭代終止條件。解決了CoSaMP算法在TDCS盲稀疏度條件下無法精確重建信號的難題。

5 仿真分析

5.1 重建概率分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)后的ICoSaMP算法的重建效果，尤其是在TDCS這種較低信噪比的環(huán)境下ICoSaMP算法與其他算法在重建概率上的差異，利用MATLAB仿真平臺進(jìn)行驗(yàn)證，測量矩陣選用高斯隨機(jī)測量矩陣，Nyquist采樣頻點(diǎn)數(shù)N=256，觀測值數(shù)量M=128，頻帶占用率 η=10%，判決閾值 θ=0.2。

5.1.1 無噪條件下重建概率仿真分析

圖3所表示的是在無噪條件下，OMP、ROMP、StOMP、CoSaMP和 ICoSaMP算法的重建效果對比圖。

圖3 無噪條件下不同算法的重建概率對比

由圖3可知，ICoSaMP算法的重建概率曲線明顯優(yōu)于先前的CoSaMP算法，當(dāng)信號稀疏度低于13時(shí)，各算法都能以接近百分之百的概率重建原始信號；信號稀疏度在15～40之間時(shí)，OMP和ROMP的重建概率開始明顯下降，而CoSaMP和ICoSaMP算法依然能以接近百分之百的概率重建原始信號；而當(dāng)稀疏度大于45時(shí)，CoSaMP和ICoSaMP算法的重建概率開始驟降，甚至低于先前的幾個(gè)算法。這可能是由于CoSaMP和ICoSaMP算法在較高稀疏度下每次迭代需要選入更多原子作為支撐集進(jìn)而產(chǎn)生過匹配的情況所致，因此，在較低稀疏度下，ICoSaMP算法重建效果優(yōu)勢明顯。

5.1.2 有噪條件下重建概率仿真分析

TDCS傳輸系統(tǒng)的工作環(huán)境往往是低信噪比環(huán)境，因此，在較低信噪比環(huán)境下進(jìn)行各重建算法的重建概率對比實(shí)驗(yàn)更具有實(shí)際意義。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同算法在SNR=-1時(shí)的重建概率對比

圖5 不同算法在SNR=0時(shí)的重建概率對比

圖6 不同算法在SNR=1時(shí)的重建概率對比

圖4～圖6是幾種算法在較低信噪比下重建概率與稀疏度的關(guān)系示意圖，由圖可知，各算法的重建概率在較低信噪比的環(huán)境下均受不同程度的影響，信噪比越低，重構(gòu)概率越低。同時(shí)可以看出，ICoSaMP算法的重建概率曲線明顯優(yōu)于其他幾種算法，通過計(jì)算可知，ICoSaMP算法在相同信噪比環(huán)境下的重建概率比CoSaMP算法高10%左右，這是由于ICoSaMP算法利用相鄰兩次迭代的殘差之差以及殘差比系數(shù)來削弱隨機(jī)噪聲的影響，進(jìn)而提高自身的抗噪聲性能。因此，ICoSaMP算法在較低信噪比環(huán)境下的優(yōu)勢更為明顯。

5.2 重建效果仿真分析

以上實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了ICoSaMP算法在TDCS低信噪比環(huán)境下的重構(gòu)性能明顯優(yōu)于先前的CoSaMP算法，下面驗(yàn)證ICoSaMP算法在盲稀疏度下的重建效果，稀疏度K=25，頻譜占用率η=10%，其余條件不變，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7、圖8所示。

圖7 原始信號

圖8 兩種算法的恢復(fù)信號對比

根據(jù)圖7和圖8可以直觀地看到ICoSaMP算法和CoSaMP算法重建原始信號的效果基本一致，但是ICoSaMP算法是在未知稀疏度K的條件下對原始信號進(jìn)行恢復(fù)。因此，ICoSaMP算法在盲稀度條件下優(yōu)勢已有體現(xiàn)。

5.3 均方誤差（MSE）分析

為了檢驗(yàn)ICoSaMP算法在TDCS低信噪比下的信號恢復(fù)精度，本文對OMP算法、CoSaMP算法和ICoSaMP算法進(jìn)行均方誤差（Mean Square Error，MSE）仿真分析，信號稀疏度K=25，頻譜占用率η=10%，測量矩陣選高斯隨機(jī)測量矩陣，Nyquist采樣頻點(diǎn)數(shù)N=256，觀測值數(shù)量M=128，判決閾值θ=0.2。仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同算法的信號恢復(fù)MSE對比

圖9給出了OMP算法、CoSaMP算法和ICoSaMP算法恢復(fù)原始信號的MSE值隨信噪比變化的曲線。由于TDCS在較低信噪比下仍然具有良好的性能，因此，本文所選取的仿真環(huán)境是較低信噪比。由圖9可知，不同算法恢復(fù)原始信號的MSE值都隨著信噪比的增加而減小，且ICoSaMP算法的MSE始終略優(yōu)于CoSaMP算法，這是由于ICoSaMP算法將相鄰兩次迭代的殘差比閾值作為迭代終止條件，同時(shí)增加了殘差比系數(shù)，這些改進(jìn)措施使ICoSaMP算法具有一定的抗噪聲性能，因此，在TDCS較低信噪比環(huán)境下恢復(fù)信號的精度高于CoSaMP算法，但另一方面，由于處于高噪聲的仿真環(huán)境中，且噪聲對重建算法的恢復(fù)精度有很大影響，因此，在高噪聲環(huán)境下ICoSaMP算法與CoSaMP算法的恢復(fù)難度都很大，所以ICoSaMP算法的重建精度相比于CoSaMP算法是在可見范圍內(nèi)的提升。同樣，圖9中CoSaMP算法的MSE始終略優(yōu)于OMP算法，這是由于CoSaMP算法是在OMP算法基礎(chǔ)上通過添加“回頭檢驗(yàn)”的思想而進(jìn)行改進(jìn)的算法，因此，在相同條件下CoSaMP算法恢復(fù)信號的精度也就略高于OMP算法。

6 結(jié)論

在TDCS低信噪比環(huán)境下，信號在頻域具有明顯的稀疏特性，因此，利用壓縮感知技術(shù)對TDCS前端的頻譜環(huán)境進(jìn)行感知。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，信號的稀疏度很難獲得，而傳統(tǒng)的CoSaMP算法在使用時(shí)必須要知道信號稀疏度這樣一個(gè)先驗(yàn)信息。為此，本文利用頻譜占用情況對信號的稀疏度進(jìn)行估計(jì)，利用殘差比閾值迭代終止條件對CoSaMP算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種盲稀疏度的ICoSaMP算法。通過仿真實(shí)驗(yàn)，ICoSaMP算法相比于CoSaMP算法的重建精度更高，抗噪聲性能越強(qiáng)，對于TDCS低信噪比下的寬帶頻譜感知具有重要意義。