探究一元二次方程根的分布

李英前

【摘要】一元二次方程根的分布作為高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)之一，在基礎(chǔ)代數(shù)理論被引入高中數(shù)學(xué)時(shí)便被提及，具有重要的意義.本文以高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論韋達(dá)定理為基礎(chǔ)，利用這一經(jīng)典的理論框架，探究一元二次方程根的分布問題，嘗試總結(jié)相關(guān)規(guī)律，并集中分析相關(guān)細(xì)節(jié).

【關(guān)鍵詞】一元二次方程;實(shí)數(shù)根分布;韋達(dá)定理

一、引言及問題重述

一元二次方程根的分布問題是一類初等代數(shù)的經(jīng)典問題，這一問題的解決核心在于如何對方程中的含參變量進(jìn)行限定和討論，從而確定這一根在實(shí)軸上的位置.

對問題進(jìn)行重述，即為如下情境：

給定一元二次方程ax2+bx+c=0，從代數(shù)角度來看，其根值為這一方程的解，從幾何角度來看，其根值為一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo).由于方程參數(shù)的不同，不難得知可能會存在一個(gè)、兩個(gè)或者沒有交點(diǎn).這一交點(diǎn)橫坐標(biāo)嘗嘗被稱為函數(shù)的零點(diǎn).所以，本文所探究的一元二次方程根的分布問題，就是研究這一方程根在x軸上的具體位置.

本文針對以上問題展開研究，為了配合目前的主要研究手段，本文引入韋達(dá)定理作為主要研究手段，依托方程根的判別式，不必構(gòu)造二次函數(shù)，直接依托圖像方程的直觀性就可以巧妙地解決這一問題.

二、韋達(dá)定理

利用韋達(dá)定理求解一元二次方程根的分布問題是研究這一問題最常見的做法.首先引入韋達(dá)定理的相關(guān)知識點(diǎn).韋達(dá)定理是法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中所建立的一對數(shù)學(xué)關(guān)系，衡量了一元多次方程的方程根與系數(shù)之間的關(guān)系.韋達(dá)定理的核心之一是根的判別式，而通過對根的判別式的進(jìn)一步判斷，來分析方程是否存在可以探究的實(shí)根.總而言之，韋達(dá)定理通過數(shù)學(xué)方法直接描述了一元多次方程根與系數(shù)的關(guān)系.所以，本文基于這一分析方法，展開敘述一元二次方程根的分布問題.

首先，列出韋達(dá)定理的基本內(nèi)容，如下所示：

針對一元二次方程ax2+bx+c=0，計(jì)算并記為參數(shù)Δ=b2-4ac.

如果這一方程存在兩個(gè)正根，則參數(shù)Δ大于等于0，兩根之和和兩根之積均大于0;如果這一方程存在兩個(gè)負(fù)根，則參數(shù)Δ大于等于0，兩根之和小于0，兩根之積大于0;如果這一方程存在一正一負(fù)兩個(gè)異號更，則參數(shù)Δ大于0，兩根之積小于0.

根據(jù)韋達(dá)定理，我們不難總結(jié)出，一元二次方程存在根的充分必要條件為參數(shù)不小于0，所以，基于以上框架展開后續(xù)研究.

三、一元二次方程根的分布

為了研究一元二次方程根的分布，我們可以先從與二次方程聯(lián)系較為緊密的二次函數(shù)出發(fā)，將一個(gè)一元二次方程問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次函數(shù)問題.從而以函數(shù)的角度來推導(dǎo)出相關(guān)的引理和論證部分.

（一）零分布

首先，介紹一元二次方程根的零分布.零分布指的是一元二次方程根相對零的關(guān)系，在圖像中即為曲線與x軸交點(diǎn)與原點(diǎn)之間的位置相關(guān)關(guān)系.一般有三種情況：均在原點(diǎn)左側(cè)，均在原點(diǎn)右側(cè)，分布在原點(diǎn)左右.

四、問題求解要點(diǎn)

通過上述分析，我們可以總結(jié)出一個(gè)可用的解題框架，以下列出一些相關(guān)要點(diǎn)，主要包含如下五個(gè)方面.

第一，觀察方程的二次項(xiàng)系數(shù).對一個(gè)方程來說，雖然他的表達(dá)式中存在二次項(xiàng)，但是如果這一二次項(xiàng)含有參數(shù)，必須謹(jǐn)慎對待.必須對這一二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行合理的討論，從而確定對應(yīng)的函數(shù)圖像是一條直線還是一條拋物線.如果是一條拋物線，再利用本文所介紹的相關(guān)方法進(jìn)行深入研究.

第二，根據(jù)方程參數(shù)計(jì)算參數(shù)Δ=b2-4ac，這一參數(shù)直接決定了這一一元二次方程是否有根，有幾個(gè)根，利用這一公式可以快速判斷.

第三，利用上文介紹的韋達(dá)定理計(jì)算相關(guān)參數(shù)并進(jìn)行判斷.韋達(dá)定理可以幫助我們快速了解到一元二次方程根所具有的具體正負(fù)性情況，但是韋達(dá)定理的適用范圍有限，在大多數(shù)時(shí)候沒法直接得出根的具體值，但加以合理利用可以迅速解決一系列題目.

第四，計(jì)算并觀察一元二次方程的對稱軸.對一元二次方程衍生出來的二次函數(shù)問題，二次函數(shù)的對稱軸不僅僅決定了圖像所具有的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的位置，也直接影響了關(guān)于這一對稱軸所對稱的圖像和相關(guān)點(diǎn)的性質(zhì)，另外，對稱軸與圖像的交點(diǎn)往往具有一定的極性，值得深入判斷.

第五，最后，觀察區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.這一步驟主要用來控制函數(shù)圖像的相關(guān)函數(shù)值，未來高等數(shù)學(xué)中所經(jīng)常使用的夾逼定理，就是對這一方法的進(jìn)階版應(yīng)用.通過相關(guān)技巧可以把圖像與x軸的交點(diǎn)劃入更加細(xì)的指定區(qū)間范圍，從而快速解決問題.

總而言之，作為一類較為經(jīng)典的，已經(jīng)經(jīng)歷過廣泛研究的問題，一元二次方程根的分布具有較多的基礎(chǔ)特性，值得我們深入挖掘和思考.作為一類活躍在各個(gè)范圍內(nèi)的基礎(chǔ)考試題，我們必須充分利用各類技巧和工具，力求做到完美解答一元二次方程根的分布的相關(guān)問題.

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