矩陣對角化的案例教學(xué)

詹環(huán)　羅俊芝　李慧珍

【摘要】矩陣對角化在求解微分方程組、曲面的標(biāo)準(zhǔn)形以及動(dòng)力系統(tǒng)中有著非常廣泛的應(yīng)用.選取貼近生活的案例引入矩陣對角化的概念，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立并求解防御支出模型.采用探究式教學(xué)方法，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模應(yīng)用能力.

【關(guān)鍵詞】矩陣;對角化;案例

矩陣的對角化是矩陣運(yùn)算的重要方法，它在電路網(wǎng)絡(luò)、振動(dòng)理論及控制論等應(yīng)用領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用.當(dāng)前矩陣對角化教學(xué)中存在的問題是教材中的矩陣對角化概念方法經(jīng)過高度的抽象脫離了相似對角化產(chǎn)生的背景，學(xué)生容易感到枯燥、困難，不利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神.選取現(xiàn)實(shí)生活的熱點(diǎn)作為矩陣對角化案例，通過學(xué)生的自主思維探究討論達(dá)到拓展學(xué)生知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的目的.

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入案例

軍備競賽是指和平時(shí)期國家之間為了應(yīng)對未來可能發(fā)生的戰(zhàn)爭在軍事裝備方面展開的質(zhì)量和數(shù)量上的競賽，是一種預(yù)防式的軍事對抗.激烈軍備競賽必須選擇在必要的時(shí)候進(jìn)行，沒有必要的激烈軍備競賽會(huì)延緩自身經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，一定程度上引發(fā)不必要的敵意.裁減軍備的行動(dòng)必須是在有利于自身國家整體戰(zhàn)略的前提之下進(jìn)行的，需要保留的力量要足以對潛在敵人形成足夠威懾又能夠通過時(shí)間作用轉(zhuǎn)移潛在敵人的矛頭，以換取自身的更大生存空間，防御支出模型可以為軍備競賽提供一定的參考依據(jù).

例1 考慮甲、乙、丙之間的軍備競賽，防御支出率是指國家在時(shí)刻t的防御支出變化量.定義甲、乙、丙之間的防御支出與時(shí)間t（以年為單位）的關(guān)系分別為x1（t），x2（t），x3（t）.試建立防御支出模型.

分析 乙、丙軍備越大，出于安全的考慮，甲的防御支出增加得越快，則國家的防御支出的變化量與其他國家的防御支出成正比.其次，在一定的財(cái)政收入下，軍費(fèi)增加會(huì)擠占其他產(chǎn)業(yè)的需求，甲的防御支出越多，經(jīng)濟(jì)對軍備的制約越大，軍費(fèi)的增加變慢，所以國家的防御支出率與已支出的防御費(fèi)用成反比，防御支出模型為一個(gè)常系數(shù)微分方程組.

四、小 結(jié)

矩陣對角化不僅可以簡化矩陣運(yùn)算，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，還可以用來求解線性常系數(shù)微分方程組.為了使學(xué)生能夠更好地理解矩陣對角化的概念，本文從一個(gè)軍事案例入手引出矩陣對角化的概念，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)概念解決問題，在運(yùn)用中鞏固概念，使學(xué)習(xí)過程成為探究過程.從而激發(fā)學(xué)生興趣，拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

【參考文獻(xiàn)】

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