《三次函數(shù)的圖象》教學(xué)案例設(shè)計(jì)

于厚剛

（深圳市第二高級(jí)中學(xué)，廣東 深圳 518000）

一、任務(wù)分析

本片斷是人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修2-2第一章1.3.3節(jié)習(xí)題1.3，B組第2題.要求學(xué)生利用信息技術(shù)研究三次函數(shù)的圖象，完成兩個(gè)任務(wù)：1.歸納三次函數(shù)圖象的大致形狀；2.研究三次函數(shù)的單調(diào)性.

本習(xí)題放在1.3節(jié)后，學(xué)生已掌握用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的方法。三次函數(shù)具有豐富的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究這些性質(zhì)，其研究的過程和方法具有普適性、一般性和有效性，可以遷移到其他函數(shù)的研究中.

特別在高考中有明確要求，會(huì)求三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，三次函數(shù)的考查和應(yīng)用也非常廣泛。

本課學(xué)習(xí)是以三次函數(shù)的圖象的形狀特征為主線，探索三次函數(shù)的單調(diào)性、極值。其中需要學(xué)生自己確定研究的問題，構(gòu)建研究的思路，設(shè)計(jì)研究的方法，獲得三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在此過程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)用圖形計(jì)算器畫三次函數(shù)的圖象，并根據(jù)單調(diào)性歸納出三次函數(shù)的四種類型。

2.能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)性和極值，并在這一過程中進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)思想，鞏固用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法。

3.理解系數(shù)對(duì)四種類型的三次函數(shù)圖象的影響。

重點(diǎn)：在研究三次函數(shù)性質(zhì)的過程中，進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)思想，鞏固用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法。

難點(diǎn)：確立研究思路，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，理解系數(shù)對(duì)三次函數(shù)圖象的影響。

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，對(duì)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法有了基本認(rèn)識(shí)。但研究一類函數(shù)的圖象與性質(zhì)還是比較復(fù)雜，不僅需要調(diào)動(dòng)二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等廣泛的知識(shí)，還需要有清晰的研究思路和分類標(biāo)準(zhǔn)，本節(jié)課對(duì)學(xué)生的知識(shí)、能力有較高的要求。

四、教學(xué)方法

（一）實(shí)驗(yàn)探究法

這道習(xí)題第1問要求學(xué)生通過信息技術(shù)畫圖后歸納函數(shù)圖象的形狀，估計(jì)單調(diào)區(qū)間，第2問才讓學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性。這是典型的實(shí)驗(yàn)探究法。先動(dòng)手試、找規(guī)律，再動(dòng)腦想原因。本節(jié)課就遵循這道題的意圖，讓學(xué)生在自主活動(dòng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考、領(lǐng)悟、糾錯(cuò)、生成。

（二）應(yīng)用現(xiàn)代教育技術(shù)

三次函數(shù)學(xué)生比較陌生，所以這道習(xí)題提出讓學(xué)生利用信息技術(shù)研究三次函數(shù)，本節(jié)課采用圖形計(jì)算器這一工具，先讓學(xué)生對(duì)三次函數(shù)有直觀認(rèn)識(shí)。

1.搭建無線網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生活動(dòng)的實(shí)時(shí)上傳與共享。借助圖形計(jì)算器創(chuàng)造一個(gè)及時(shí)反饋互動(dòng)的平臺(tái)。

2.利用圖形計(jì)算器的“圖形”功能，快速繪制函數(shù)圖象，圖形計(jì)算器的“幾何”功能中，可以通過描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就能畫出一個(gè)拋物線，讓學(xué)生可以憑直觀感覺畫導(dǎo)函數(shù)的形狀，并通過“函數(shù)”“求導(dǎo)”功能，對(duì)畫出的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。

五、教學(xué)過程

先讓學(xué)生推測(cè)出系數(shù)d對(duì)函數(shù)的單調(diào)性無影響，再讓學(xué)生根據(jù)a，b，c的取值分組用圖形計(jì)算器畫的圖象，教師通過無線網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)展示同學(xué)們畫出的圖象。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生利用圖形計(jì)算器對(duì)三次函數(shù)的圖象有直觀認(rèn)識(shí)。根據(jù)a，b，c的取值分組畫圖象只是為了圖象盡可能多樣化，并不是分類標(biāo)準(zhǔn)。

選取典型的圖象讓學(xué)生回答圖象的單調(diào)性，并思考如何將三次函數(shù)按單調(diào)性分類，并回答單調(diào)區(qū)間。

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)直觀分類，說單調(diào)區(qū)間時(shí)需要用到極值點(diǎn)，引出用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)性和極值。

學(xué)生先用圖形計(jì)算器的“幾何”功能描點(diǎn)畫導(dǎo)函數(shù)的圖象，在畫的過程中思考關(guān)鍵點(diǎn)，能說明自己這樣畫的理由，再用圖形計(jì)算器畫出導(dǎo)函數(shù)圖象驗(yàn)證自己的想法。最后歸納每一類三次函數(shù)的系數(shù)特征。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在描點(diǎn)的過程中體會(huì)函數(shù)的極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征就容易想到用a與Δ作為分類標(biāo)準(zhǔn)。

思考：存在只有一個(gè)極值點(diǎn)的三次函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)問題讓學(xué)生反思剛才對(duì)三次函數(shù)的歸類是否完整。

3.活動(dòng)三：習(xí)題解答

（1）歸納函數(shù)圖象的大致形狀

（2）求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間

設(shè)計(jì)意圖：通過解答習(xí)題對(duì)本片斷內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)歸納。